3正方形的性質(zhì)與判定第1課時(shí)正方形的性質(zhì)教師備課素材示例●歸納導(dǎo)入在小學(xué)學(xué)過有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．正方形既是矩形又是菱形，它都有什么性質(zhì)呢？(1)邊的性質(zhì)：__正方形的四條邊都相等__；(2)角的性質(zhì)：__正方形的四個(gè)角都是直角__；(3)對(duì)角線的性質(zhì)：__正方形的兩條對(duì)角線互相垂直平分且相等，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角__；(4)對(duì)稱性：__軸對(duì)稱、中心對(duì)稱__．【教學(xué)與建議】教學(xué)：歸納矩形、菱形的性質(zhì)探求正方形的性質(zhì)．建議：通過演示操作，發(fā)現(xiàn)正方形與矩形、菱形之間存在的特殊與一般的關(guān)系．●情景導(dǎo)入做一做：用一張長(zhǎng)方形的紙片(如圖所示)折出一個(gè)正方形．學(xué)生在動(dòng)手中對(duì)正方形產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，并感知正方形與矩形的關(guān)系．今天我們先來學(xué)習(xí)正方形的有關(guān)知識(shí)．【教學(xué)與建議】教學(xué)：實(shí)際操作從矩形中折疊出正方形，感知正方形．建議：借助圖形的特征從邊、角、對(duì)角線、對(duì)稱性上分析．命題角度1利用正方形的性質(zhì)解決線段、角度的問題正方形的四條邊都相等，正方形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等且互相垂直平分．【例1】(1)如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點(diǎn)，BE＝BC，則∠BEC為(C)A．45°B．60°C．67.5°D．82.5°eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，直線a經(jīng)過正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別于正方形的頂點(diǎn)B，D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E.若DE＝8，BF＝5，則EF的長(zhǎng)為__13__．命題角度2利用正方形的性質(zhì)求解與面積有關(guān)的問題利用正方形軸對(duì)稱性可以將不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．【例2】(1)用兩條直線四等分正方形的面積，不同的畫法有(D)A．一種B．兩種C．三種D．無數(shù)種(2)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E，F(xiàn)是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，EG⊥AB，EI⊥AD，F(xiàn)H⊥AB，F(xiàn)J⊥AD，垂足分別為G，I，H，J.則圖中陰影部分的面積等于(B)A．1B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,3)D．eq\f(1,4)命題角度3利用正方形的性質(zhì)求最小值在矩形或正方形中，可以根據(jù)垂線段最短或根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求最小值．【例3】(1)如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，ME⊥BC于E，MF⊥CD于F，則EF的最小值為(B)A．4eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．1eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（1）題圖]))eq\o(\s\up7(),\s\do5([第（2）題圖]))(2)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE＝1，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF＋PE的最小值是__eq\r(17)__．命題角度4正方形與其他圖形的組合綜合運(yùn)用正方形、矩形、三角形等圖形的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)推理論證的能力．【例4】(1)如圖，正方形ABCD的面積為1，則以相鄰兩邊中點(diǎn)的連線EF為邊的正方形EFGH的周長(zhǎng)為(B)A．eq\r(2)B．2eq\r(2)C．eq\r(2)＋1D．2eq\r(2)＋1(2)以正方形ABCD的邊AD作等邊△ADE，則∠BEC的度數(shù)是__30°或150°__．高效課堂教學(xué)設(shè)計(jì)1．了解正方形的有關(guān)概念，理解并掌握正方形的性質(zhì)定理．2．會(huì)利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)計(jì)算和證明．▲重點(diǎn)探索正方形的性質(zhì)定理．▲難點(diǎn)正方形的性質(zhì)的應(yīng)用方法．◆活動(dòng)1創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課(課件)顯示投影片：展示生活中有關(guān)正方形的圖片(多幅幻燈片)．教師活動(dòng)：操作投影儀，邊展示圖片，邊提出下面的問題：1．同學(xué)們觀察顯示的圖片后，有什么聯(lián)想？正方形的四條邊有什么關(guān)系？四個(gè)角呢？2．正方形是矩形嗎？是菱形嗎？為什么？3．正方形具有哪些性質(zhì)呢？學(xué)生活動(dòng)：觀察屏幕上所展示的生活中的正方形圖片，進(jìn)行聯(lián)想．易知：正方形的四條邊都相等(小學(xué)已學(xué)過)；正方形的四個(gè)角都是直角(小學(xué)已學(xué)過)．試驗(yàn)活動(dòng)：教師拿出矩形按下圖折疊，然后展示，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要矩形有一組鄰邊相等，這樣的矩形就是正方形；同樣，教師拿出活動(dòng)菱形框架，框架變形過程中讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：只要菱形有一個(gè)內(nèi)角為90°，這樣的特殊菱形也是正方形．◆活動(dòng)2實(shí)踐探究交流新知【探究1】正方形的概念問題：什么樣的圖形叫做正方形？歸納：有一組鄰邊相等，并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形．有一個(gè)角是直角的__菱形__是正方形．有一組__鄰邊相等__的矩形是正方形．【探究2】正方形的性質(zhì)組織學(xué)生聯(lián)想正方形還具有哪些性質(zhì)，板書畫出一個(gè)正方形，如下圖：學(xué)生活動(dòng)：觀察、聯(lián)想到它是矩形，所以具有矩形的所有性質(zhì)；它又是菱形，所以具有菱形的一切性質(zhì)．歸納：正方形的性質(zhì)：(1)邊的性質(zhì)：對(duì)邊__平行且相等__，四條邊都__相等__．(2)角的性質(zhì)：四個(gè)角都是__直角__．(3)對(duì)角線的性質(zhì)：兩條對(duì)角線__互相垂直平分__且__相等__，每條對(duì)角線__平分一組對(duì)角__．(4)對(duì)稱性：是__軸對(duì)稱圖形__，有__四__條對(duì)稱軸，也是__中心__對(duì)稱圖形．◆活動(dòng)3開放訓(xùn)練應(yīng)用舉例例1(教材P21例1)如圖，在正方形ABCD中，E為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF.BE與DF之間有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【方法指導(dǎo)】正方形的性質(zhì)及三角形全等的應(yīng)用．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：(1)∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四條邊相等，四個(gè)角都是直角)，∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°，∴∠BCE＝∠DCF.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF(SAS)，∴BE＝DF；(2)延長(zhǎng)BE交DF于點(diǎn)M，∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°，∴∠CBE＋∠F＝90°，∴∠BMF＝90°，∴BE⊥DF.例2如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，連接AC，BD相交于點(diǎn)O，CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，求DE的長(zhǎng)．【方法指導(dǎo)】過點(diǎn)E作EF⊥DC于F，根據(jù)正方形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)以及勾股定理即可求出DE的長(zhǎng)．解：過點(diǎn)E作EF⊥CD于F.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∠BDC＝45°，∴∠EDF＝45°，∴EF＝DF.∵CE平分∠ACD交BD于點(diǎn)E，∴EO＝EF.又∵∠EOC＝∠EFC＝90°，EC＝EC，∴Rt△CEO≌Rt△CEF.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∴AC＝eq\r(2)，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(\r(2),2)，∴CF＝CO＝eq\f(\r(2),2)，∴DF＝DC－CF＝1－eq\f(\r(2),2)，在Rt△DEF中，由勾股定理，得DE＝eq\r(EF2＋DF2)＝eq\r(2)－1.◆活動(dòng)4隨堂練習(xí)1．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是(A)A．對(duì)角線互相平分B．對(duì)角線相互垂直C．對(duì)角線相等D．對(duì)角線互相垂直平分且相等2．如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為(C)A．14B．15C．12D．173．已知正方形ABCD在直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，1)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，0)，則點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為__(1，0)__和__(1，1)__．(只寫一組)4．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊DC，BC上，AG⊥EF，垂足為G，且AG＝AB，求∠EAF的度數(shù)．解：在Rt△ABF和Rt△AGF中，AB＝AG，AF＝AF，∴Rt△ABF≌Rt△AGF(HL)，∴∠BAF＝∠FAG.同理可證：∠GAE＝∠DAE，∵∠BAD＝90°＝∠BAG＋∠GAD＝2∠FAG＋2∠GAE，∴∠FAG＋∠GAE＝45°，即∠EAF＝45°.◆活動(dòng)5課堂小結(jié)與作業(yè)學(xué)生活動(dòng)：你這