初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)題集_第1頁(yè)
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初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)題集一、前言函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的核心主線,貫穿代數(shù)、幾何、統(tǒng)計(jì)等板塊,也是中考的重點(diǎn)考查對(duì)象(占比約15%-20%)。其本質(zhì)是“變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”,復(fù)習(xí)的關(guān)鍵是理解概念本質(zhì)、掌握解題方法、聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用。本專題將從基礎(chǔ)概念鞏固、核心題型突破、綜合應(yīng)用提升、易錯(cuò)點(diǎn)警示四個(gè)維度,幫你系統(tǒng)梳理函數(shù)知識(shí),提升解題能力。二、基礎(chǔ)概念鞏固(一)函數(shù)的定義定義:在一個(gè)變化過(guò)程中,有兩個(gè)變量\(x\)(自變量)和\(y\)(函數(shù)),對(duì)于\(x\)的每一個(gè)確定的值,\(y\)都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng),那么\(y\)就是\(x\)的函數(shù)。關(guān)鍵點(diǎn):“唯一對(duì)應(yīng)”是判斷函數(shù)的核心(如“人的年齡與身高”不是函數(shù),因同一年齡可能對(duì)應(yīng)多個(gè)身高)。例題:判斷下列關(guān)系是否為函數(shù):1.正方形的面積\(S\)與邊長(zhǎng)\(a\);2.人的視力與閱讀時(shí)間;3.圓的面積\(S\)與半徑\(r\)。解析:1.是函數(shù)(\(S=a2\),每個(gè)\(a\)對(duì)應(yīng)唯一\(S\));2.不是函數(shù)(同一閱讀時(shí)間可能對(duì)應(yīng)多個(gè)視力值,如1小時(shí)閱讀后,有人視力0.8,有人1.0);3.是函數(shù)(\(S=πr2\),每個(gè)\(r\)對(duì)應(yīng)唯一\(S\))。練習(xí):判斷“汽車油箱剩余油量\(y\)與行駛里程\(x\)”是否為函數(shù)(假設(shè)勻速耗油)。(二)自變量取值范圍確定原則:1.分式:分母≠0(如\(y=\dfrac{1}{x-2}\),\(x≠2\));2.二次根式:被開(kāi)方數(shù)≥0(如\(y=\sqrt{x+3}\),\(x≥-3\));3.零次冪:底數(shù)≠0(如\(y=(x-1)^0\),\(x≠1\));4.實(shí)際問(wèn)題:符合實(shí)際意義(如長(zhǎng)度>0、人數(shù)為整數(shù))。例題:求下列函數(shù)的自變量取值范圍:1.\(y=\dfrac{\sqrt{x+1}}{x-2}\);2.實(shí)際問(wèn)題:用20元買鉛筆,每支1.5元,買\(x\)支后剩余\(y\)元,求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式及\(x\)的取值范圍。解析:1.二次根式要求\(x+1≥0\),分式要求\(x-2≠0\),故\(x≥-1\)且\(x≠2\);2.\(y=20-1.5x\),\(x\)需滿足:①非負(fù)整數(shù)(鉛筆數(shù)量);②\(20-1.5x≥0\)(剩余金額非負(fù)),故\(0≤x≤13\)(\(x\)為整數(shù))。練習(xí):求\(y=\dfrac{1}{\sqrt{x-1}}\)的自變量取值范圍。(三)函數(shù)的表示方法三種方法:1.列表法:用表格記錄自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系(如表格記錄“時(shí)間\(t\)與氣溫\(T\)”);2.解析式法:用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)關(guān)系(如\(y=3x-2\));3.圖像法:用平面直角坐標(biāo)系中的曲線(或直線)表示函數(shù)關(guān)系(如“速度-時(shí)間圖像”)。例題:用三種方法表示“邊長(zhǎng)為\(a\)的正方形的周長(zhǎng)\(C\)”:列表法:\(a=1\)時(shí)\(C=4\),\(a=2\)時(shí)\(C=8\),\(a=3\)時(shí)\(C=12\);解析式法:\(C=4a\);圖像法:以\(a\)為橫軸、\(C\)為縱軸,畫(huà)出過(guò)原點(diǎn)的直線(\(a≥0\))。練習(xí):用解析式法表示“圓柱的底面半徑為\(r\),高為\(5cm\),體積\(V\)與\(r\)的關(guān)系”,并列表表示\(r=1,2,3\)時(shí)的\(V\)值(\(π\(zhòng))取3.14)。三、核心題型突破(一)求函數(shù)解析式(待定系數(shù)法)方法步驟:1.設(shè):根據(jù)函數(shù)類型設(shè)一般形式(如一次函數(shù)設(shè)\(y=kx+b\),反比例函數(shù)設(shè)\(y=\dfrac{k}{x}\),二次函數(shù)設(shè)頂點(diǎn)式/一般式);2.代:代入已知點(diǎn)的坐標(biāo),得到方程組;3.解:解方程組求出系數(shù);4.寫(xiě):寫(xiě)出函數(shù)解析式。例題1(一次函數(shù)):已知一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)\((1,4)\)和\((3,8)\),求其解析式。解析:設(shè)\(y=kx+b\),代入兩點(diǎn)得:\[\begin{cases}k+b=4\\3k+b=8\end{cases}\]解得\(k=2\),\(b=2\),故解析式為\(y=2x+2\)。例題2(反比例函數(shù)):反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)\((-2,3)\),求其解析式。解析:設(shè)\(y=\dfrac{k}{x}\),代入得\(3=\dfrac{k}{-2}\),故\(k=-6\),解析式為\(y=-\dfrac{6}{x}\)。例題3(二次函數(shù)):已知二次函數(shù)頂點(diǎn)為\((2,1)\),且過(guò)點(diǎn)\((0,5)\),求其解析式(提示:設(shè)頂點(diǎn)式\(y=a(x-2)2+1\))。解析:代入點(diǎn)\((0,5)\)得\(5=a(0-2)2+1\),解得\(a=1\),故解析式為\(y=(x-2)2+1\)(展開(kāi)后為\(y=x2-4x+5\))。練習(xí):1.一次函數(shù)過(guò)點(diǎn)\((0,5)\)和\((2,9)\),求解析式;2.反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)\((4,-1)\),求解析式;3.二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)\((1,0)\)、\((2,0)\)、\((0,2)\),求解析式(提示:設(shè)交點(diǎn)式\(y=a(x-1)(x-2)\))。(二)函數(shù)圖像的識(shí)別與應(yīng)用關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn):一次函數(shù)\(y=kx+b\):\(k\)表示斜率(\(k>0\)→圖像上升,\(k<0\)→圖像下降);\(b\)表示截距(圖像與\(y\)軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo));反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\):\(k\)的符號(hào)決定象限(\(k>0\)→第一、三象限,\(k<0\)→第二、四象限);二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\):\(a\)決定開(kāi)口方向(\(a>0\)→向上,\(a<0\)→向下);頂點(diǎn)坐標(biāo)為\(\left(-\dfrac{2a},\dfrac{4ac-b2}{4a}\right)\);對(duì)稱軸為\(x=-\dfrac{2a}\)。例題1(一次函數(shù)圖像):下列圖像中,符合\(y=3x-1\)的是()(選項(xiàng):A.過(guò)(0,-1)且上升的直線;B.過(guò)(0,-1)且下降的直線;C.過(guò)(0,1)且上升的直線;D.過(guò)(0,1)且下降的直線)解析:\(k=3>0\)→圖像上升;\(b=-1\)→過(guò)(0,-1),選A。例題2(二次函數(shù)圖像):二次函數(shù)\(y=-x2+2x+3\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______,對(duì)稱軸是______,開(kāi)口方向______。解析:配方得\(y=-(x-1)2+4\),故頂點(diǎn)\((1,4)\),對(duì)稱軸\(x=1\),開(kāi)口向下(\(a=-1<0\))。練習(xí):1.反比例函數(shù)\(y=\dfrac{5}{x}\)的圖像在第______象限;2.二次函數(shù)\(y=2x2-4x+1\)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______,開(kāi)口方向______。(三)函數(shù)值的計(jì)算與比較例題1(求函數(shù)值):已知一次函數(shù)\(y=2x+3\),求:(1)當(dāng)\(x=-1\)時(shí),\(y=\)______;(2)當(dāng)\(y=7\)時(shí),\(x=\)______。解析:(1)代入\(x=-1\),得\(y=2×(-1)+3=1\);(2)代入\(y=7\),得\(7=2x+3\),解得\(x=2\)。例題2(比較函數(shù)值):已知反比例函數(shù)\(y=\dfrac{8}{x}\)和二次函數(shù)\(y=x2+2\),當(dāng)\(x=2\)時(shí),哪個(gè)函數(shù)的值更大?解析:當(dāng)\(x=2\)時(shí),反比例函數(shù)值為\(\dfrac{8}{2}=4\),二次函數(shù)值為\(22+2=6\),故二次函數(shù)值更大。練習(xí):1.反比例函數(shù)\(y=-\dfrac{6}{x}\),當(dāng)\(x=3\)時(shí),\(y=\)______;當(dāng)\(y=2\)時(shí),\(x=\)______;2.二次函數(shù)\(y=x2-2x+4\),當(dāng)\(x=0\)時(shí),\(y=\)______;當(dāng)\(x=1\)時(shí),\(y=\)______。四、綜合應(yīng)用提升(一)一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常見(jiàn)場(chǎng)景:行程問(wèn)題、工程問(wèn)題、銷售問(wèn)題(線性關(guān)系)。例題(行程問(wèn)題):甲、乙兩人從A地出發(fā),甲以每小時(shí)\(4km\)的速度步行,乙以每小時(shí)\(12km\)的速度騎車,乙比甲晚出發(fā)\(1\)小時(shí),求乙出發(fā)后多久追上甲(設(shè)乙出發(fā)時(shí)間為\(t\)小時(shí))。解析:甲走的路程:\(4(t+1)\)(甲多走1小時(shí));乙走的路程:\(12t\);追上時(shí)路程相等:\(4(t+1)=12t\),解得\(t=0.5\)小時(shí)。練習(xí):某工廠生產(chǎn)零件,每天生產(chǎn)\(80\)個(gè),生產(chǎn)\(x\)天后超額完成\(20\)個(gè),總?cè)蝿?wù)為\(y\)個(gè),求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式,并求生產(chǎn)\(5\)天后的總?cè)蝿?wù)量。(二)反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用常見(jiàn)場(chǎng)景:面積問(wèn)題、效率問(wèn)題、壓強(qiáng)問(wèn)題(\(xy=k\)型關(guān)系)。例題(面積問(wèn)題):如圖,反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像過(guò)點(diǎn)\(A(3,2)\),過(guò)\(A\)作\(x\)軸、\(y\)軸的垂線,垂足分別為\(B\)、\(C\),求矩形\(OBAC\)的面積。解析:矩形面積=長(zhǎng)×寬=|x_A|×|y_A|=3×2=6,而\(k=x_A×y_A=6\),故矩形面積=|k|=6(無(wú)論點(diǎn)在哪個(gè)象限,面積均為|k|)。練習(xí):反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像過(guò)點(diǎn)\((-4,3)\),求\(k\)值,并求過(guò)該點(diǎn)作\(y\)軸垂線形成的三角形面積。(三)二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(最值問(wèn)題)關(guān)鍵思路:二次函數(shù)\(y=ax2+bx+c\)(\(a≠0\))的最值出現(xiàn)在頂點(diǎn)處,當(dāng)\(a>0\)時(shí),有最小值;當(dāng)\(a<0\)時(shí),有最大值。例題(面積最大化):用長(zhǎng)為\(24m\)的籬笆圍一個(gè)矩形菜園,一面靠墻,求菜園面積的最大值(設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為\(xm\))。解析:平行于墻的邊長(zhǎng)為\(24-2xm\)(籬笆只圍三邊),面積\(y=x(24-2x)=-2x2+24x\);配方得\(y=-2(x-6)2+72\)(頂點(diǎn)式);故當(dāng)\(x=6m\)時(shí),面積最大,最大值為\(72m2\)。練習(xí):某商店銷售某種商品,每件售價(jià)為\(x\)元(\(x≥10\)),每天銷售量為\(____x\)件,每件成本為\(8\)元,求每天利潤(rùn)\(y\)與售價(jià)\(x\)的函數(shù)關(guān)系式,并求售價(jià)為多少時(shí)利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)是多少。五、易錯(cuò)點(diǎn)警示與規(guī)避1.自變量取值范圍漏掉實(shí)際意義錯(cuò)誤示例:求“矩形的長(zhǎng)為\(xcm\),寬為\(12-xcm\),面積\(ycm2\)”的自變量取值范圍,錯(cuò)解為\(x\)為任意實(shí)數(shù)。正確解法:\(x>0\)且\(12-x>0\),故\(0<x<12\)(長(zhǎng)度不能為負(fù))。2.二次函數(shù)平移方向搞反錯(cuò)誤示例:將\(y=x2\)向左平移\(3\)個(gè)單位,錯(cuò)解為\(y=(x-3)2\)。正確解法:“左加右減”(針對(duì)\(x\)),故\(y=(x+3)2\)。3.反比例函數(shù)\(k\)值的面積忘記絕對(duì)值或除以2錯(cuò)誤示例:反比例函數(shù)\(y=-\dfrac{8}{x}\)的圖像過(guò)點(diǎn)\((2,-4)\),作\(x\)軸垂線形成的三角形面積,錯(cuò)解為\(8\)或\(4\)。正確解法:三角形面積=|k|/2=|?8|/2=4(三角形面積是矩形面積的一半)。六、參考答案基礎(chǔ)概念鞏固練習(xí)1.是函數(shù)(勻速耗油時(shí),每個(gè)\(x\)對(duì)應(yīng)唯一\(y\));2.\(x>1\)(二次根式要求\(x-1≥0\),分式要求\(\sqrt{x-1}≠0\),故\(x>1\));3.解析式\(V=5πr2\),列表:\(r=1\)時(shí)\(V=15.7\),\(r=2\)時(shí)\(V=62.8\),\(r=3\)時(shí)\(V=141.3\)(\(π=3.14\))。核心題型突破練習(xí)(一)求函數(shù)解析式1.\(y=2x+5\)(代入\((0,5)\)得\(b=5\),代入\((2,9)\)得\(k=2\));2.\(y=-\dfrac{4}{x}\)(代入\((4,-1)\)得\(k=-4\));3.\(y=(x-1)(x-2)\)(代入\((0,2)\)得\(a=1\),展開(kāi)后為\(y=x2-3x+2\))。(二)函數(shù)圖像的識(shí)別與應(yīng)用1.一、三象限(\(k=5>0\));2.頂點(diǎn)\((1,-1)\)(配方得\(y=2(x-1)2-1\)),開(kāi)口向上(\(a=2>0\))。(三)函數(shù)值的計(jì)算與比較1.\(y=-2\)(\(-6÷3=-2\)),\(x=-3\)(\(-6÷2=-3\));2.\(y=4\)(\(0-0+4=4\)),\(y=3\)(\(1-2+4=3\))。綜合應(yīng)用提升練習(xí)1.\(y=80x-20\)(總?cè)蝿?wù)=每天生產(chǎn)×天數(shù)-

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