引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿代數(shù)、幾何、三角、導(dǎo)數(shù)等多個(gè)模塊。函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性、對(duì)稱性、最值與值域）是理解函數(shù)本質(zhì)、解決函數(shù)問(wèn)題的關(guān)鍵工具。本文將系統(tǒng)總結(jié)函數(shù)核心性質(zhì)的定義、判定方法與常用結(jié)論，并配套經(jīng)典習(xí)題與解析，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的函數(shù)性質(zhì)知識(shí)體系，提升解題能力。第一章函數(shù)基本概念回顧函數(shù)的性質(zhì)建立在基本概念之上，需先明確以下內(nèi)容：1.1函數(shù)的定義與三要素函數(shù)是定義域（輸入集合）到值域（輸出集合）的對(duì)應(yīng)法則（f），記為\(y=f(x)\)。三要素中，定義域與對(duì)應(yīng)法則決定值域。定義域：使表達(dá)式有意義的自變量取值范圍（如分母≠0、根號(hào)內(nèi)≥0、對(duì)數(shù)真數(shù)>0）。對(duì)應(yīng)法則：函數(shù)的“運(yùn)算規(guī)則”（如\(f(x)=x^2\)表示平方運(yùn)算）。值域：定義域內(nèi)所有自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值集合。1.2函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示（如\(f(x)=2x+1\)）。列表法：用表格表示自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系（如三角函數(shù)表）。圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的曲線表示（如拋物線\(y=x^2\)）。1.3分段函數(shù)分段函數(shù)是定義域分成若干區(qū)間，每個(gè)區(qū)間用不同表達(dá)式表示的函數(shù)（如\(f(x)=\begin{cases}x,&x\geq0\\-x,&x<0\end{cases}\)，即絕對(duì)值函數(shù)）。注意：分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，而非多個(gè)函數(shù)；求值域時(shí)需合并各區(qū)間的值域。第二章函數(shù)的核心性質(zhì)總結(jié)2.1單調(diào)性：函數(shù)的“增減趨勢(shì)”定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x_1<x_2\inI\)，都有：\(f(x_1)<f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增；\(f(x_1)>f(x_2)\)，則\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞減。2.1.1單調(diào)性的判定方法1.定義法（基礎(chǔ)）：步驟：取值（\(x_1<x_2\)）→作差（\(f(x_1)-f(x_2)\)）→變形（因式分解、配方）→定號(hào)（判斷差的正負(fù)）→結(jié)論。例：證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增（見(jiàn)第三章習(xí)題3.1.1）。2.導(dǎo)數(shù)法（高效）：若\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上可導(dǎo)，則：\(f'(x)>0\Rightarrowf(x)\)遞增；\(f'(x)<0\Rightarrowf(x)\)遞減；\(f'(x)=0\)的點(diǎn)為極值點(diǎn)（非單調(diào)區(qū)間）。例：求\(f(x)=x^2-2x+3\)的單調(diào)區(qū)間（見(jiàn)第三章習(xí)題3.1.2）。3.復(fù)合函數(shù)單調(diào)性（“同增異減”）：若\(f(u)\)與\(u=g(x)\)單調(diào)性相同，則\(f(g(x))\)遞增；若單調(diào)性相反，則\(f(g(x))\)遞減。注意：必須先求復(fù)合函數(shù)的定義域（如\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的定義域?yàn)閈(x<0\)或\(x>2\)）。2.1.2單調(diào)性的常用結(jié)論增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)-減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù)；奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性一致（如\(f(x)=x^3\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)均遞增）；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反（如\(f(x)=x^2\)在\((-\infty,0)\)遞減，在\((0,+\infty)\)遞增）。2.2奇偶性：函數(shù)的“對(duì)稱特征”定義：函數(shù)\(f(x)\)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（前提），若對(duì)任意\(x\)：\(f(-x)=f(x)\)，則\(f(x)\)為偶函數(shù)（關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）；\(f(-x)=-f(x)\)，則\(f(x)\)為奇函數(shù)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。2.2.1奇偶性的判定方法1.定義法（核心）：步驟：檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱→計(jì)算\(f(-x)\)→比較\(f(-x)\)與\(f(x)\)、\(-f(x)\)的關(guān)系。例：判斷\(f(x)=x|x|\)的奇偶性（見(jiàn)第三章習(xí)題3.2.1）。2.圖像法：偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱（如\(y=x^2\)）；奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（如\(y=x^3\)）。3.性質(zhì)法：奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇；若\(f(x)\)是奇函數(shù)且在\(x=0\)處有定義，則\(f(0)=0\)（偶函數(shù)無(wú)此結(jié)論）。2.2.2奇偶性的常用結(jié)論偶函數(shù)的“對(duì)稱區(qū)間”值域相同（如\(f(x)=x^2\)在\([-2,2]\)上的值域?yàn)閈([0,4]\)）；奇函數(shù)的“對(duì)稱區(qū)間”值域相反（如\(f(x)=x^3\)在\([-2,2]\)上的值域?yàn)閈([-8,8]\)）；復(fù)合函數(shù)奇偶性：若\(g(x)\)是偶函數(shù)，則\(f(g(x))\)必為偶函數(shù)（如\(f(x)=\sin(x^2)\)）。2.3周期性：函數(shù)的“重復(fù)規(guī)律”定義：若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對(duì)任意\(x\)，都有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則\(T\)為\(f(x)\)的周期。最小的正周期稱為最小正周期（如\(\sinx\)的最小正周期為\(2\pi\)）。2.3.1周期性的判定方法1.定義法：找到非零常數(shù)\(T\)，驗(yàn)證\(f(x+T)=f(x)\)對(duì)任意\(x\)成立。2.性質(zhì)法（常用周期推導(dǎo)）：若\(f(x+a)=-f(x)\)，則周期\(T=2a\)（如\(f(x+2)=-f(x)\)，周期為4）；若\(f(x+a)=\frac{1}{f(x)}\)，則周期\(T=2a\)；若\(f(x+a)+f(x)=c\)（\(c\)為常數(shù)），則周期\(T=2a\)。2.3.2周期性的常用結(jié)論周期函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為周期函數(shù)（周期相同）；正弦函數(shù)（\(\sinx\)）、余弦函數(shù)（\(\cosx\)）周期為\(2\pi\)；正切函數(shù)（\(\tanx\)）周期為\(\pi\)；常數(shù)函數(shù)（如\(f(x)=5\)）的周期為任意非零常數(shù)（無(wú)最小正周期）。2.4對(duì)稱性：函數(shù)的“鏡像關(guān)系”函數(shù)的對(duì)稱性分為中心對(duì)稱（點(diǎn)對(duì)稱）和軸對(duì)稱（線對(duì)稱），是周期性的重要來(lái)源。2.4.1中心對(duì)稱（點(diǎn)對(duì)稱）定義：函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意\(x\)，有\(zhòng)(f(a+x)+f(a-x)=2b\)。特例：關(guān)于原點(diǎn)\((0,0)\)對(duì)稱→奇函數(shù)（\(f(x)+f(-x)=0\)）。2.4.2軸對(duì)稱（線對(duì)稱）定義：函數(shù)\(f(x)\)關(guān)于直線\(x=a\)對(duì)稱，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意\(x\)，有\(zhòng)(f(a+x)=f(a-x)\)。特例：關(guān)于\(y\)軸（\(x=0\)）對(duì)稱→偶函數(shù)（\(f(x)=f(-x)\)）。2.4.3對(duì)稱性與周期性的關(guān)系若函數(shù)關(guān)于兩條對(duì)稱軸\(x=a\)和\(x=b\)（\(a\neqb\)）對(duì)稱，則周期為\(2|a-b|\)（如\(\sinx\)關(guān)于\(x=\frac{\pi}{2}\)和\(x=\frac{3\pi}{2}\)對(duì)稱，周期為\(2\pi\)）；若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)\((a,b)\)和直線\(x=c\)（\(a\neqc\)）對(duì)稱，則周期為\(4|a-c|\)（如\(\cosx\)關(guān)于\((0,0)\)和\(x=\pi\)對(duì)稱，周期為\(2\pi\)）。2.5最值與值域：函數(shù)的“取值范圍”最值：函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值（\(\maxf(x)\)）或最小值（\(\minf(x)\)）；值域：函數(shù)所有可能的函數(shù)值集合（記為\(f(D)\)，\(D\)為定義域）。2.5.1最值的判定方法單調(diào)函數(shù)：在區(qū)間端點(diǎn)處取得最值（如\(f(x)=x\)在\([1,2]\)上的最大值為2，最小值為1）；二次函數(shù)：在對(duì)稱軸處取得最值（如\(f(x)=x^2-2x+3\)的最小值為2）；周期函數(shù)：在一個(gè)周期內(nèi)找最值（如\(\sinx\)的最大值為1，最小值為-1）。2.5.2值域的求法匯總方法適用類(lèi)型示例直接法簡(jiǎn)單函數(shù)（如\(y=2x+1\)）值域?yàn)閈(\mathbb{R}\)配方法二次函數(shù)（如\(y=x^2-2x+3\)）值域?yàn)閈([2,+\infty)\)換元法含根號(hào)（如\(y=\sqrt{x-1}\)）令\(t=\sqrt{x-1}\geq0\)，值域?yàn)閈([0,+\infty)\)分離常數(shù)法分式函數(shù)（如\(y=\frac{x+1}{x-1}\)）變形為\(1+\frac{2}{x-1}\)，值域?yàn)閈((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)單調(diào)性法單調(diào)函數(shù)（如\(y=\log_2x\)）定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，值域?yàn)閈(\mathbb{R}\)均值不等式法含乘積項(xiàng)（如\(y=x+\frac{1}{x}\)，\(x>0\)）值域?yàn)閈([2,+\infty)\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(x=1\)時(shí)取等）導(dǎo)數(shù)法高次函數(shù)、超越函數(shù)（如\(y=x^3-3x\)）求導(dǎo)找極值點(diǎn)，值域?yàn)閈(\mathbb{R}\)第三章經(jīng)典習(xí)題解析與實(shí)戰(zhàn)演練3.1單調(diào)性專項(xiàng)習(xí)題3.1.1定義法證明單調(diào)性例1：證明\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。證明：設(shè)\(x_1<x_2\in\mathbb{R}\)，則：\[f(x_1)-f(x_2)=x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)\]\(x_1<x_2\Rightarrowx_1-x_2<0\)；\(x_1^2+x_1x_2+x_2^2=(x_1+\frac{1}{2}x_2)^2+\frac{3}{4}x_2^2>0\)（平方和非負(fù)，且\(x_1\neqx_2\)）。故\(f(x_1)-f(x_2)<0\Rightarrowf(x_1)<f(x_2)\)，即\(f(x)=x^3\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。3.1.2導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間例2：求\(f(x)=x^2-2x+3\)的單調(diào)區(qū)間。解：求導(dǎo)得\(f'(x)=2x-2\)：令\(f'(x)<0\Rightarrow2x-2<0\Rightarrowx<1\)，故單調(diào)遞減區(qū)間為\((-\infty,1]\)；令\(f'(x)>0\Rightarrow2x-2>0\Rightarrowx>1\)，故單調(diào)遞增區(qū)間為\([1,+\infty)\)。3.1.3復(fù)合函數(shù)單調(diào)性分析例3：求\(f(x)=\log_2(x^2-2x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間。解：1.求定義域：\(x^2-2x>0\Rightarrowx(x-2)>0\Rightarrowx<0\)或\(x>2\)；2.令\(u=x^2-2x\)，則\(f(x)=\log_2u\)（外層函數(shù)為增函數(shù)）；3.內(nèi)層函數(shù)\(u=x^2-2x\)的對(duì)稱軸為\(x=1\)，開(kāi)口向上，單調(diào)遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)；4.結(jié)合定義域，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\cap(x<0\text{或}x>2)=(2,+\infty)\)。3.2奇偶性專項(xiàng)習(xí)題3.2.1奇偶性的判斷例1：判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)\(f(x)=x|x|\)；(2)\(f(x)=x^2+1\)；(3)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)。解：(1)定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。\(f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x)\)，故為奇函數(shù)；(2)定義域?yàn)閈(\mathbb{R}\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。\(f(-x)=(-x)^2+1=x^2+1=f(x)\)，故為偶函數(shù)；(3)定義域?yàn)閈((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。\(f(-x)=-x+\frac{1}{-x}=-(x+\frac{1}{x})=-f(x)\)，故為奇函數(shù)。3.2.2利用奇偶性求參數(shù)例2：若\(f(x)=ax^3+bx^2+cx\)是奇函數(shù)，求\(b\)的值。解：因\(f(x)\)是奇函數(shù)，故\(f(-x)=-f(x)\)：\[f(-x)=-ax^3+bx^2-cx=-f(x)=-ax^3-bx^2-cx\]比較系數(shù)得\(bx^2=-bx^2\Rightarrow2bx^2=0\)對(duì)任意\(x\)成立，故\(b=0\)。3.2.3奇偶性與函數(shù)值計(jì)算例3：已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，\(f(1)=2\)，求\(f(-1)\)的值。解：因\(f(x)\)是偶函數(shù)，故\(f(-1)=f(1)=2\)。3.3周期性專項(xiàng)習(xí)題3.3.1求函數(shù)的周期例1：已知\(f(x+2)=-f(x)\)，求\(f(x)\)的周期。解：\(f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=-(-f(x))=f(x)\)，故周期\(T=4\)。3.3.2周期性與函數(shù)值計(jì)算例2：已知\(f(x)\)是周期為3的函數(shù)，\(f(1)=1\)，求\(f(7)\)的值。解：\(f(7)=f(3\times2+1)=f(1)=1\)。3.3.3周期性與奇偶性結(jié)合例3：已知\(f(x)\)是周期為2的偶函數(shù)，\(f(1)=2\)，求\(f(3)\)的值。解：\(f(3)=f(3-2)=f(1)=2\)（周期性）；因\(f(x)\)是偶函數(shù)，\(f(1)=f(-1)=2\)，但此處無(wú)需用到奇偶性。3.4對(duì)稱性專項(xiàng)習(xí)題3.4.1求對(duì)稱點(diǎn)與對(duì)稱軸例1：求\(f(x)=x^2-2x+3\)的對(duì)稱軸。解：配方得\(f(x)=(x-1)^2+2\)，故對(duì)稱軸為\(x=1\)（驗(yàn)證：\(f(1+x)=(1+x-1)^2+2=x^2+2\)，\(f(1-x)=(1-x-1)^2+2=x^2+2\)，故\(f(1+x)=f(1-x)\)）。3.4.2利用對(duì)稱性求函數(shù)值例2：已知\(f(x)\)關(guān)于\(x=2\)對(duì)稱，\(f(1)=3\)，求\(f(3)\)的值。解：因\(f(x)\)關(guān)于\(x=2\)對(duì)稱，故\(f(2+x)=f(2-x)\)。令\(x=1\)，得\(f(3)=f(1)=3\)。3.4.3對(duì)稱性與周期性結(jié)合例3：已知\(f(x)\)關(guān)于\(x=1\)和\(x=3\)對(duì)稱，求\(f(x)\)的周期。解：因\(f(x)\)關(guān)于\(x=1\)對(duì)稱，故\(f(1+x)=f(1-x)\)；關(guān)于\(x=3\)對(duì)稱，故\(f(3+x)=f(3-x)\)。令\(x=t+2\)，則\(f(1+t+2)=f(1-t-2)\Rightarrowf(t+3)=f(-t-1)\)；令\(x=t\)，則\(f(3+t)=f(3-t)\Rightarrowf(t+3)=f(3-t)\)；故\(f(-t-1)=f(3-t)\)，令\(s=-t-1\)，則\(t=-s-1\)，代入得\(f(s)=f(3-(-s-1))=f(s+4)\)，故周期\(T=4\)。3.5最值與值域?qū)ｍ?xiàng)習(xí)題3.5.1二次函數(shù)值域求解例1：求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\(x\in[0,3]\)上的值域。解：\(f(x)=(x-1)^2+2\)，對(duì)稱軸\(x=1\in[0,3]\)，故最小值為\(f(1)=2\)；最大值為\(\max\{f(0),f(3)\}=\max\{3,6\}=6\)，值域?yàn)閈([2,6]\)。3.5.2分式函數(shù)值域求解例2：求\(f(x)=\frac{x+1}{x-1}\)的值域。解：分離常數(shù)得\(f(x)=1+\frac{2}{x-1}\)，因\(\frac{2}{x-1}\neq0\)，故值域?yàn)閈((-\infty,1)\cup(1,+\infty)\)。3.5.3超越函數(shù)值域求解例3：求\(f(x)=\log_2(x^2+1)\)的值域。解：\(x^2+1\geq1\)，故\(\log_2(x^2+1)\geq\log_21=0\)，值域?yàn)閈([0,+\infty)\)。第四章函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用技巧4.1性質(zhì)之間的聯(lián)動(dòng)關(guān)系函數(shù)的性質(zhì)常組合使用，如：奇偶性+周期性：若\(f(x)\)是周期為\(T\)的奇函數(shù)，則\(f(T)=f(0)=0\)（如\(f(x)=\sinx\)，\(\sin2\pi=0\)）