5—2.5.1等比數(shù)列的前n項(xiàng)和雷國強(qiáng)一、教材分析1.在教材中的地位與作用在《數(shù)列》一章中，《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》是一項(xiàng)重要的基礎(chǔ)內(nèi)容，從知識體系來看，它不僅是《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和》與《等比數(shù)列》的順延，也是前面所學(xué)《函數(shù)》的延續(xù)，實(shí)質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)，而且還為后繼深入學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，錯位相減法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，是求解一類混合數(shù)列前n項(xiàng)和的重要方法，因此，本節(jié)具有承上啟下的作用；從知識結(jié)構(gòu)和人文價值來看，等比數(shù)列與等差數(shù)列是平行結(jié)構(gòu)關(guān)系，兩者之間存在著一定聯(lián)系，可以進(jìn)行類比，拓展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新的能力，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和探索精神,是增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)能力的良好載體；從知識的應(yīng)用價值來看，它是從大量現(xiàn)實(shí)和數(shù)學(xué)問題中抽象出來的一個模型，前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程中蘊(yùn)涵了基本的數(shù)學(xué)思想方法，如分類討論、錯位相減等在數(shù)列求和問題中時常出現(xiàn)。等比數(shù)列的前n項(xiàng)和在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的實(shí)際應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計(jì)算等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。2．教材編排與課時安排提出問題→問題解決→等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)→強(qiáng)化公式運(yùn)用（例題與練習(xí)）。教師教學(xué)用書安排“等比數(shù)列的前n項(xiàng)和”這部分內(nèi)容授課時間2課時，本節(jié)課作為第一課時，重在研究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及簡單應(yīng)用，教學(xué)中注重公式的形成推導(dǎo)過程，并充分揭示公式的結(jié)構(gòu)特征和內(nèi)在聯(lián)系。二、教學(xué)目標(biāo)分析依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和心理特點(diǎn)，確定本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)如下：【知識與技能】理解等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法；掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式并能運(yùn)用公式解決一些簡單問題，一是已知等比數(shù)列基本量而求其前n項(xiàng)和；二是已知前n項(xiàng)和而逆向求解數(shù)列基本量；三是基本思想方法（錯位相減法）的運(yùn)用?！具^程與方法】感悟并理解公式的推導(dǎo)過程，感受公式探求過程所蘊(yùn)涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉(zhuǎn)化思想，優(yōu)化思維品質(zhì)，初步提高學(xué)生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力?！厩楦?、態(tài)度與價值觀】通過經(jīng)歷對公式的探索過程，對學(xué)生進(jìn)行思維嚴(yán)謹(jǐn)性的訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、勇于探索、敢于創(chuàng)新，磨練思維品質(zhì)，從中獲得成功的體驗(yàn)，感受思維的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的簡潔美和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美。三、重、難點(diǎn)分析【教學(xué)重點(diǎn)】等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及其簡單應(yīng)用。從知識體系看，為后繼學(xué)習(xí)提供了知識基礎(chǔ)，具有承上啟下的作用；就知識特點(diǎn)而言，蘊(yùn)涵豐富的思想方法；就能力培養(yǎng)來說，通過公式推導(dǎo)教學(xué)可培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)用數(shù)學(xué)語言交流表達(dá)的能力?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)方法的理解。從知識特點(diǎn)看，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)的可比性低，無法進(jìn)行類比推導(dǎo)，需要充分理解等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，并能整合知識，做到融會貫通，而這對學(xué)生卻是比較困難的，何況錯位相減法是初次接觸，對學(xué)生來說是很新鮮的，因此，教師在發(fā)揮學(xué)生主體性前提下要給予適當(dāng)?shù)奶崾竞椭笇?dǎo)。四、學(xué)情與教法分析1．學(xué)情分析（內(nèi)容尚缺）2．教法分析根據(jù)學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平和心理結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容的難易程度，在教學(xué)過程中可以利用計(jì)算機(jī)多媒體和實(shí)物投影等輔助教學(xué)，以建構(gòu)主義理論為指導(dǎo)，采用引導(dǎo)啟發(fā)教學(xué)法和探究-建構(gòu)教學(xué)相結(jié)合的教學(xué)模式，著重于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、探索和運(yùn)用，并輔以變式教學(xué)，注意適時適當(dāng)講解和演練相結(jié)合。3．教學(xué)構(gòu)想等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，要積極引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，類比推理，推導(dǎo)歸納，總結(jié)反思，增強(qiáng)認(rèn)知，強(qiáng)化運(yùn)用。教學(xué)中可以給出等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)的其他方法，以提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，開拓學(xué)生的思維視野。例題和鞏固練習(xí)的選擇要全面，不能忽略q=1的情況，注意分類討論思想的滲透。通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的綜合運(yùn)用涉及五個基本量，要對已知其中三個量求另兩個量進(jìn)行強(qiáng)化訓(xùn)練，但要注意避免難度較大的指數(shù)方程的求解。還要適當(dāng)補(bǔ)充可以轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列求和的混合數(shù)列求和問題。五、教具準(zhǔn)備教科書（人教A版·必修5）多媒體課件和操作系統(tǒng)六、教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)過程設(shè)計(jì)意圖教學(xué)內(nèi)容教師活動學(xué)生活動（預(yù)設(shè)）問題情境國際象棋起源于古印度，相傳國王要獎賞它的發(fā)明者，問他想要什么.發(fā)明著說：請您在棋盤上的第一個格子上放1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒……即每一個格子中放的麥粒都是前一個格子麥粒數(shù)的2倍，直到第64個格子.國王覺得這個要求不高，便欣然答應(yīng).請問：國王需要給他多少麥子呢？打開多媒體課件，展示故事情境，展示結(jié)束后引導(dǎo)、啟發(fā)學(xué)生分析、思考問題漫步故事，感受數(shù)學(xué)問題的情景化，趣味吸引的同時有自己的猜測，并在教師的引導(dǎo)、啟發(fā)后展開自己的思維分析以故事引題,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和熱情，調(diào)動學(xué)習(xí)積極性，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)應(yīng)用價值。構(gòu)建教學(xué)教師誘導(dǎo)提取公比q當(dāng)q≠1時,Sn=EQ\F(a1（1－qn）,1－q)=EQ\F(a1－anq,1－q)當(dāng)q=1時,Sn=na1。引導(dǎo)學(xué)生對上述計(jì)算中的觀察和思考，對接下來學(xué)生探討并構(gòu)建做鋪墊，使學(xué)生更深刻的理解錯位相減法學(xué)生探討一般地，=則于是，當(dāng)時，=當(dāng)時，分組討論，得出結(jié)果問題求解錯位相減法S64=1+2+22+23+…+2632S64=2+22+23+24+…+264相減得－S64=1－264∴S64=264－1經(jīng)測算，需要麥粒1.84×1019粒，約7000億噸，這么多小麥沿地球表面可鋪3厘米厚，能從地球到太陽鋪設(shè)一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產(chǎn)量的459倍，古印度國王顯然無法滿足西薩的要求。在師生相互交流中思維逐步展開，動筆演算，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時感受了錯位相減法的優(yōu)勢。感受和驚嘆結(jié)果的“大”！進(jìn)一步激勵學(xué)習(xí)的主動性。通過引言實(shí)例的探究解決，使學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，同時也為下面的學(xué)習(xí)作好鋪墊，在特殊具體的問題情境中蘊(yùn)涵著一般的規(guī)律和方法，激勵學(xué)生模仿創(chuàng)新，作好認(rèn)知準(zhǔn)備?？偨Y(jié)反思1．一個公式：等比數(shù)列前n項(xiàng)和當(dāng)q≠1時,Sn=EQ\F(a1（1－qn）,1－q)=EQ\F(a1－anq,1－q)當(dāng)q=1時,Sn=na12．兩個方法：錯位相減法、方程求解3．三個思想：分類討論、方程、化歸思想提問，在師生相互交流的同時打開課件，幫助學(xué)生整合所學(xué)知識?；貞浛偨Y(jié)所學(xué)知識，加深印象。整理、歸納所學(xué)知識，完善學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)和知識體系，明確本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容。作業(yè)布置教材58頁“練習(xí)”中第1（2）、2題。鞏固知識七、板書設(shè)計(jì)等比數(shù)列前n項(xiàng)和投S64=1+2+22+23+…+263=？影當(dāng)q≠1時,Sn=EQ\F(a1（1－qn）,1－q)=EQ\F(a1－anq,1－q)當(dāng)q=1時,Sn=na1。儀屏幕八、教學(xué)設(shè)計(jì)說明問題情境故事化。采用故事來創(chuàng)設(shè)問題情景，意在營造和諧、積極的學(xué)習(xí)氣氛，激發(fā)學(xué)生的探究欲，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，通過問題的解決，在特殊方法之中蘊(yùn)涵一般規(guī)律，使學(xué)生自己去體會其中的思想方法，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基石。問題情境與公式推導(dǎo)探究活動化。教學(xué)中本著以學(xué)生發(fā)展為本的理念，充分給學(xué)生思考、分析時間、討論研究和交流展示思維的機(jī)會，通過他們自主學(xué)習(xí)、合作探究,展示學(xué)生解決問題的思想方法，共享學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成功的喜悅。通過師生之間不斷對話合作交流，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)觀察能力和語言表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和嚴(yán)謹(jǐn)性。通過教師的積極引導(dǎo)和啟發(fā)，借助于變式教學(xué)的模式，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深度與廣度，加深學(xué)生對知識的理解。鞏固練習(xí)結(jié)構(gòu)、層次化。在理解公式的基礎(chǔ)上,及時進(jìn)行必要的思維訓(xùn)練練習(xí)，強(qiáng)化對公式的理解和運(yùn)用。通過例題的板書和分析，進(jìn)一步強(qiáng)化了公式的結(jié)構(gòu)特征，促進(jìn)學(xué)生主動建構(gòu)，有助于學(xué)生形成知識模塊，優(yōu)化知識體系，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)思想方法的感悟。板書設(shè)計(jì)人性化。必要的推理和演算過程板書在黑板上，有助于學(xué)生的閱讀和理解，即時在黑板上整理總結(jié)歸納知識，作到知識和思想方法的一目了然，方便學(xué)生作筆記。通過幾種推導(dǎo)方法的研究，使學(xué)生從不同的思維角度掌握了等比數(shù)列前n項(xiàng)和