第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年陜西省西安市長(zhǎng)安三中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=1?i5i3，則A.1 B.?1 C.i D.?i2.已知點(diǎn)A(1,0)，B(2,?1)，則與向量AB方向相反的單位向量為(

)A.(?22,22) 3.已知向量a=(4,2)，b=(1,m)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)A.2 B.?2 C.12 D.4.在△ABC中，A=60°，AC=3，BC=362，則A.30° B.45° C.60° D.60°或120°5.已知m，n表示不同的直線，α，β表示不同的平面，A表示點(diǎn)，則下列命題正確的是(

)A.若直線m上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)在平面α內(nèi)，則m//α

B.若m?α，n?β，且α//β，則m//n

C.若m?α，n?β，則m//n

D.若α∩β=m，且A∈α，A∈β，則A∈m6.在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M，N滿足CM=2MD，BN=3NC，則MNA.13AB+34AD B.17.“七巧板”是我國(guó)古代勞動(dòng)人民的偉大發(fā)明，被譽(yù)為“東方魔方”.某同學(xué)制作了一個(gè)“七巧板”玩具，如圖所示.其中正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，O，G分別是線段AB，AC，OC的中點(diǎn)，則DE?BG=(

)A.?10

B.10

C.?14

D.148.如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折起，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)P，則三棱錐P?AEF的最短的高長(zhǎng)為(

)A.13 B.2C.34 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說(shuō)法正確的是(

)A.棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B.圓錐過(guò)軸的截面是一個(gè)等腰三角形

C.直四棱柱是長(zhǎng)方體D.任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐10.已知z1，z2都是復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(

)A.若|z1|=|z2|，則z1=±z2B.若z1+z2為實(shí)數(shù)，則z111.已知正方體ABCD?A1B1A.直線BC1與B1D1所成的角為60°B.直線BD與CA1所成的角為60°

C.平面BA1C三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖形的面積

．13.在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，挖去一個(gè)以AB為直徑的半圓，再將所得平面圖形(如圖)以線段CD的垂直平分線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，則所得幾何體的體積為______．14.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，B=60°，c=4，若△ABC有兩解，則b的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為(1,?2)，(3,1)．

(1)求|z1z2|；

16.(本小題15分)

已知平面向量a與b的夾角為3π4，且|a|=1，|b|=2．

(1)求向量3a+2b的模；

(2)若(a+217.(本小題15分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C118.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=2AB=4，PA⊥平面ABCD，且M是PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AM⊥PC；

(Ⅱ)求直線AC與平面PCD所成角的正切值．19.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且sinCsinA+sinB=a?bb+c．

(Ⅰ)求A；

(Ⅱ)設(shè)△ABC的面積為23，

(i)已知M為BC的中點(diǎn)，求△ABC底邊BC上中線AM長(zhǎng)的最小值；

(ii)求△ABC的內(nèi)角參考答案1.B

2.A

3.B

4.B

5.D

6.D

7.C

8.A

9.ABD

10.ABC

11.AD

12.213.4π314.(215.(1)由已知條件可得：z1=1?2i，z2=3+i，

∴z1z2=(1?2i)(3+i)=3+i?6i?2i2=5?5i，

∴|z1z216.(1)因?yàn)槠矫嫦蛄縜與b的夾角為3π4，且|a|=1，|b|=2，

所以a?b=1×2×(?22)=?1．

所以|3a+2b|2=9a2+12a?b+4b2=9?12+8=517.證明：(1)如圖，連接NE，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，

∵N，E分別是A1D1，B1C1的中點(diǎn)，

∴NE//A1B1，NE=A1B1，

∵A1B1//AB，A1B1=AB，

∴NE//AB，NE=AB，

∴四邊形ABEN為平行四邊形，

∴AN//BE，

∵AN?平面DBEF，BE?平面DBEF，

∴AN//18.(Ⅰ)證明：因?yàn)镻A⊥面ABCD，CD?面ABCD，

所以PA⊥CD，

又四邊形ABCD是矩形，

所以CD⊥DA，

因?yàn)镈A∩PA=A，DA?面PAD，PA?面PAD，

所以CD⊥面PAD，

因?yàn)锳M?面PAD，

所以CD⊥AM，

又M是PD的中點(diǎn)，PA=AD=4，

所以AM⊥PD，

因?yàn)镃D∩PD=D，CD?面PCD，PD?面PCD，

所以AM⊥面PCD，

又PC?面PCD，

所以AM⊥PC．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，AM⊥面PCD，

所以直線AC在平面PCD上的射影為MC，

所以直線AC與平面PCD所成角為∠ACM，

因?yàn)镻A=AD=2CD=4，PA⊥面ABCD，

所以PA⊥AD，

所以PD=42，

所以AM=4×442=22，MC=CD2+(PD2)19.(Ⅰ)因?yàn)閟inCsinA+sinB=a?bb+c，

則由正弦定理得ca+b=a?bb+c，即b2+c2?a2=?bc，