第3章微分方程與差分方程模型3.1微分方程理論3.2經(jīng)濟(jì)增長模型3.3人口的預(yù)測和控制3.4軍事上的應(yīng)用3.5差分方程理論

3.1微分方程理論

3.1.1微分方程的基本概念

微分方程是聯(lián)系著自變量、未知函數(shù)以及它的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式。如果微分方程中自變量的個數(shù)只有一個，這種方程叫做常微分方程。自變量個數(shù)不止一個的微分方程稱為偏微分方程。

例如，方程是常微分方程，方程是偏微分方程。在建模時主要用到的是常微分方程，下面將詳細(xì)介紹有關(guān)常微分方程的知識。

3.2經(jīng)濟(jì)增長模型

發(fā)展經(jīng)濟(jì)、提高生產(chǎn)力主要有增加投資、增加勞動力、革新技術(shù)等手段。這里暫不考慮技術(shù)革新的作用，一是因為在經(jīng)濟(jì)發(fā)展的初期（如資本主義早期社會）或者在不太長的時期內(nèi)，技術(shù)相對穩(wěn)定，二是由于技術(shù)革新量化比較困難。

本節(jié)的模型將首先建立產(chǎn)值與資金、勞動力之間的關(guān)系，然后研究資金與勞動力的最佳分配，使投資效益最大，最后討論如何調(diào)節(jié)資金與勞動力的增長率，使勞動生產(chǎn)率得到有效的增長。3.2.1道格拉斯（Douglas）生產(chǎn)函數(shù)

用Q(t)、K(t)、L(t)分別表示某一地區(qū)或者部門在時刻t的產(chǎn)值、資金和勞動力，它們的關(guān)系一般可以記作：式（3.8）可解釋為：α是資金在產(chǎn)值中占有的份額，

1－α是勞動力在產(chǎn)值中占有的份額，于是α的大小直接反映了資金、勞動力二者對于創(chuàng)造產(chǎn)值的輕重關(guān)系。

式（3.6）是經(jīng)濟(jì)學(xué)中著名的Cobb－Douglas生產(chǎn)函數(shù)，它經(jīng)受了資本主義社會一些實際數(shù)據(jù)的檢驗。更一般形式的生產(chǎn)函數(shù)表示為

Q=cKαLβ,0<α,β<1(3.9)3.2.2資金與勞動力的最佳分配

這里將根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)式（3.6），討論怎樣分配資金和勞動力，使生產(chǎn)創(chuàng)造的效益最大。

假定資金來自貸款，利率為r，每個勞動力需支付工資w，于是當(dāng)資金K、勞動力L產(chǎn)生產(chǎn)值Q時，得到的效益為

S=Q－rK－wL

(3.10)問題化為求資金與勞動力的分配比例K/L（即每個勞動力占有的資金），使效益S最大。這個模型用微分法即可解得

(3.11)

(3.12)

這就是資金與勞動力的最佳分配。從式（3.12）可以看出，當(dāng)α、w變大，

r變小時，分配比例K/L變大，這是符合常識的。再利用式（3.8），有3.2.3勞動生產(chǎn)率增長的條件

常用的衡量經(jīng)濟(jì)增長的指標(biāo)，一是總產(chǎn)值Q(t)，二是每個勞動力的產(chǎn)值z(t)=Q(t)/L(t)，這個模型討論K(t)、L(t)滿足什么條件，才能使Q(t)、z(t)保持增長。

首先需要對資金和勞動力的增長作出合理的簡化假設(shè)：（1）投資增長率與產(chǎn)值成正比，比例系數(shù)λ>0，即用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn)；

（2）勞動力的相對增長率為常數(shù)μ，μ可以是負(fù)數(shù)，表示勞動力減少。

3.3人口的預(yù)測和控制

人類社會進(jìn)入20世紀(jì)以來，在科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力飛速發(fā)展的同時，世界人口也以空前的規(guī)模增長，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表3.1所示?？梢钥闯?，人口每增加10億的時間，由100年縮短為30年和十幾年，我們賴以生存的地球，已經(jīng)攜帶著它的60億子民踏入21世紀(jì)。

長期以來，人類的繁殖一直在自然地進(jìn)行著。只是由于人口數(shù)量的迅速膨脹和環(huán)境質(zhì)量的急劇惡化，人們才猛然醒悟，開始研究人類和自然的關(guān)系，人口數(shù)量的變化規(guī)律，以及如何進(jìn)行人口控制等問題。我國是世界第一人口大國，地球上每5個人中就有一個是中國人。在20世紀(jì)的一段時間內(nèi)，我國人口的增長速度過快，見表3.2。

有效地控制我國人口的增長，不僅是深入貫徹落實科學(xué)發(fā)展觀，到2020年全面建成小康社會的需要，而且對于全人類的美好理想來說，也是我們義不容辭的責(zé)任。認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，做出比較準(zhǔn)確的預(yù)報，是有效控制人口增長的前提。

長期以來，人們在這方面做了不少工作，下面先介紹兩個最基本的人口模型，并利用表3.3給出的近兩個世紀(jì)的美國人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)作模型參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報，最后介紹考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型。3.3.1指數(shù)增長模型

最簡單的人口增長模型是人所共知的。記當(dāng)年人口為x0，k年后人口為xk，年增長率為r，則

xk=x0（1+r)k(3.25)

顯然，這個公式的基本條件是年增長率r保持不變。

200多年前英國人口學(xué)家T.Malthus(1766—1834年)調(diào)查了英國100多年的人口統(tǒng)計資料，得出了人口增長率不變的假說，并據(jù)此建立了著名的人口指數(shù)增長模型。記時刻t的人口為x(t)，當(dāng)考察一個國家或一個較大地區(qū)的人口時，x(t)是一個很大的整數(shù)。為了利用微積分這一數(shù)學(xué)工具，將x(t)視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時刻(t=0)的人口為x0。假設(shè)人口增長率為常數(shù)r，即單位時間內(nèi)x(t)的增量dx／dt等于r乘以x(t)，于是得到x(t)滿足微分方程:

(3.26)由這個方程很容易解出

(3.27)r>0時，式（3.27）表示人口將按指數(shù)規(guī)律隨時間無限增長，稱為指數(shù)增長模型。思考：說明常用的預(yù)報公式（3.25）就是指數(shù)增長模型（式（3.27））的離散近似形式。

歷史上，指數(shù)增長模型與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)可以很好地吻合，遷往加拿大的歐洲移民后代人口也大致符合這個模型。另外，用它作短期人口預(yù)測可以得到較好的結(jié)果。顯然，這是因為在這些情況下，人口增長率這個基本假設(shè)大致成立。但是長期來看，任何地區(qū)的人口都不可能無限增長，即指數(shù)模型不能描述，也不能預(yù)測較長時期的人口演變過程。這是因為，人口增長率事實上是在不斷地變化著。排除災(zāi)難、戰(zhàn)爭等特殊時期，一般來說，當(dāng)人口較少時，增長較快，即增長率較大；人口增加到一定數(shù)量以后，增長就會慢下來，即增長率變小。如果根據(jù)表3.3的數(shù)據(jù)計算美國人口的年增長率，可以看到增長率從19世紀(jì)開始就基本上在緩慢下降。如果用一個平均的年增長率作為r，用指數(shù)增長模型描述美國人口的變化，就會發(fā)現(xiàn)與表3.3的實際數(shù)據(jù)相差很大。3.3.2阻滯增長模型——Logistic模型

分析人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的主要原因，人們注意到，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口的增長起著阻滯作用，并且隨著人口的增加，阻滯作用越來越大。阻滯增長模型就是考慮到這個因素，對指數(shù)增長模型的基本假設(shè)進(jìn)行修改后得到的。

阻滯作用體現(xiàn)在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。若將r表示為x的函數(shù)r(x)，則它應(yīng)是減函數(shù)。于是方程（3.26）寫為圖3.2阻滯增長模型x~t曲線3.3.3模型的參數(shù)估計、檢驗和預(yù)報

用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型進(jìn)行人口預(yù)報，先要進(jìn)行參數(shù)估計。除了初始人口x0外，指數(shù)增長模型還要估計r和xm。它們可以用人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)擬合得到，也可以輔之以專家的估計。

為了估計指數(shù)增長模型（式（3.26））或（式（3.27））中的參數(shù)r和x0，需將式（3.27）取對數(shù)，得

y=rt+a,

y=lnx,

a=lnx0

(3.32)以美國人口實際數(shù)據(jù)為例（將表3.3中的數(shù)據(jù)列為表3.4中的第1、2列），對式（3.32）作數(shù)據(jù)擬合，如用1790年至1900年的數(shù)據(jù)，得到r=0.2743/(10年)，x0=4.1884；如用全部數(shù)據(jù)可得r=0.2022/(10年)，x0=6.0450。也可以令x0=3.9

(1790年實際人口），只計算r。

用得到的r和x0代入式（3.27），將計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)作比較。表3.4中計算人口x1是用1790年至1900年數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，x2是用全部數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，圖3.3(a)和(b)是它們的圖形表示（圖中·是實際數(shù)據(jù)，曲線是計算結(jié)果）。圖3.3指數(shù)增長模型擬合圖形圖3.4阻滯增長模型擬合圖形（1790年為起點）可以看出，這個模型雖然中間一段（19世紀(jì)中葉到20世紀(jì)中葉）擬合得不太好，但是最后一段（20世紀(jì)中葉以后）擬合得不錯。

在估計阻滯增長模型的參數(shù)時沒有用2000年的實際數(shù)據(jù)，是為了用它作模型檢驗。我們用模型計算2000年的人口，與已知的實際數(shù)據(jù)比較，來檢驗?zāi)Ｐ褪欠窈线m。

為簡單起見，可利用x(1990)和方程(3.30)作如下計算：得到x(2000)=274.5百萬，與實際數(shù)據(jù)281.4百萬誤差約

2.5%，可以認(rèn)為該模型是相當(dāng)滿意的。

為了預(yù)報美國2010年的人口，應(yīng)將2000年的實際數(shù)據(jù)加進(jìn)去重新估計參數(shù)，可得r=0.2490/(10年)，xm=433.9886。然后再用模型檢驗中的計算方法進(jìn)行預(yù)報，得到x(2010)=306.0百萬。這個預(yù)報結(jié)果的準(zhǔn)確性如何呢？據(jù)美國人口普查局2010年12月21日公布，截至2010年4月1日，美國總?cè)丝跒?.087億，預(yù)報誤差不到1%。3.3.4考慮年齡結(jié)構(gòu)和生育模式的人口模型

指數(shù)增長模型和阻滯增長模型都是針對人口總數(shù)和總

的增長率的，不涉及年齡結(jié)構(gòu)。事實上，在人口預(yù)測中人口按年齡的分布狀況是十分重要的，因為不同年齡人的生育率和死亡率有著很大的差別，兩個國家或地區(qū)目前人口一樣，如果一個國家或地區(qū)年輕人的比例明顯高于另一國家或地區(qū)，那么二者人口的發(fā)展?fàn)顩r將大不一樣。在考慮年齡結(jié)構(gòu)的人口模型中，除了時間變量外，年齡是另一個變量。圖3.5

tOr平面上的p（r,t）圖3.6生育模式h(r)示意圖這樣，人口發(fā)展方程（3.38）和單位時間出生的嬰兒數(shù)f(t)的表達(dá)式（3.45），構(gòu)成了連續(xù)型人口模型。模型中死亡率函數(shù)μ(r,t)、女性性別比函數(shù)k(r,t)和初始密度函數(shù)p0(r)可以由人口統(tǒng)計資料直接得到，或在資料的基礎(chǔ)上估計，而生育率β(t)和生育模式h(r,t)則是可以用于控制人口發(fā)展過程的兩種手段。β(t)可以控制生育的多少，h(r,t)可以控制生育的早晚和疏密，我國的計劃生育政策正是通過這兩種手段實施的。從控制論觀點看，在方程（3.38）描述的人口系統(tǒng)中，p(r,t)可視為狀態(tài)變量，p(0,t)=f(t)可視為控制變量，是分布參數(shù)系統(tǒng)的邊界控制函數(shù)。式（3.45）表明控制輸入中含有狀態(tài)變量，形成狀態(tài)反饋，β(t)視為反饋增益，并且通常是一種正反饋，即人口密度函數(shù)p(r,t)的增加，通過嬰兒出生率f(t)又使p(r,t)進(jìn)一步增大。方程的解式（3.40）中因子

f(t－r)表明這種反饋還有相當(dāng)大的滯后作用，所以一旦人口策略失誤，使p(r,t)在一段時間內(nèi)增長過多過快，再想通過控制手段β(t)和h(r,t)把人口增長勢頭降下來就很困難了，并且常常需要相當(dāng)長（幾代人）的時間。3.4軍事上的應(yīng)用

戰(zhàn)術(shù)謀略在戰(zhàn)爭中起著不可估量的作用。將領(lǐng)與士兵的區(qū)別，就是士兵執(zhí)行命令去沖鋒陷陣，而將領(lǐng)主要是根據(jù)當(dāng)前形勢制定最佳的作戰(zhàn)方案。

隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，特別是在決策論等方面的不斷成熟，數(shù)學(xué)在戰(zhàn)爭中的應(yīng)用意義越來越大。本節(jié)不對決策論方面的知識進(jìn)行介紹，只運(yùn)用微分方程的知識，定性甚至定量地分析軍事上的一些相關(guān)問題，例如戰(zhàn)爭勝利與兵種和兵力的關(guān)系、軍備競賽對經(jīng)濟(jì)的影響等等。3.4.1軍隊作戰(zhàn)模型

早在第一次世界大戰(zhàn)期間，Lanchester已經(jīng)提出了幾個尚不成熟的作戰(zhàn)模型。自此以后，人們不斷地推廣這些模型，并用它們分析了一些戰(zhàn)爭實例。本節(jié)將介紹三個Lanchester模型。

下面依次介紹這三個Lanchester戰(zhàn)斗模型。假設(shè)一支部隊x和一支部隊y互相交戰(zhàn)，其中x(t)和y(t)分別表示兩個部隊在t時刻的兵力。t以天為計算單位，從戰(zhàn)斗開始時算起。不妨認(rèn)為兵力x(t)和y(t)就是士兵的數(shù)量（實際戰(zhàn)斗中，兵力一般還包括相應(yīng)的軍事裝備），并且假定x(t)和y(t)是連續(xù)變化的關(guān)于時間t的可導(dǎo)函數(shù)。

對于部隊x，由于各種不可避免的因素（包括疾病、逃兵以及其他非作戰(zhàn)事故）所引起的兵力損失率，記為自然損失率Lx。

另一方面，部隊x與部隊y遭遇而產(chǎn)生的兵力戰(zhàn)斗損失率，可以記為CLx，兵力補(bǔ)充率可以記為Rx，那么x(t)滿足下面的微分方程：3.4.2模型求解

現(xiàn)在依次求解上述三個戰(zhàn)斗模型（常規(guī)戰(zhàn)爭、游擊戰(zhàn)爭和常規(guī)—游擊戰(zhàn)混合型）。

1.常規(guī)戰(zhàn)爭

為了簡化問題，這里考慮雙方都沒有增援的情況，即F(t)=G(t)=0，并且假設(shè)自然損失率為零，那么常規(guī)戰(zhàn)爭模型簡化為圖3.7常規(guī)戰(zhàn)勝負(fù)圖解圖3.8常規(guī)戰(zhàn)雙方兵力圖圖3.9游擊戰(zhàn)勝負(fù)圖解圖3.10混合戰(zhàn)勝負(fù)圖解但是，這仍不足以使美國常規(guī)部隊在越南戰(zhàn)場的狀況有較大的改變。另一方面，越南部隊也將會增加到31.4萬人，比例仍保持為6∶1。正是基于這樣的分析，以及美國人民對整個事態(tài)的焦慮，約翰遜總統(tǒng)才不得不從政治上尋求解決越南問題的辦法。他最終拒絕了Westmoreland將軍的要求，提倡并發(fā)起了巴黎和平會談。最后，美國于1973年撤離戰(zhàn)斗，越南取得了最后的勝利。

3.5差分方程理論

3.5.1差分的概念3.5.2差分方程的概念

定義3.2含有未知函數(shù)yt的差分的方程稱為差分方程。差分方程的一般形式為或差分方程中所含未知函數(shù)差分的最高階數(shù)稱為該差分方程的階。差分方程的不同形式可以互相轉(zhuǎn)化。定義3.3滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解。如果差分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個解為該差分方程的通解。

我們往往要根據(jù)系統(tǒng)在初始時刻所處的狀態(tài)對差分方程