山東省東營市2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（

）A． B． C． D．2．已知角終邊上一點，則（

）A． B． C． D．3．已知平面向量，，且，則（

）A． B． C． D．4．圭表（如圖1）是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標竿垂直的長尺（稱為“圭”）.當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.圖2是一個根據(jù)北京的地理位置設(shè)計的圭表的示意圖，已知北京冬至正午太陽高度角（即）為，夏至正午太陽高度角（即）為，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即的長）為a，則表高（即的長）為（

）A． B．C． D．5．下列說法正確的是（

）A．底面是矩形的平行六面體是長方體B．正四面體的高為其棱長的倍C．用一個平面截正方體，得到的截面可能為五邊形D．過圓錐頂點的所有截面中，軸截面面積最大6．若，且是第三象限角，則（

）A． B． C． D．7．如圖，在平行四邊形中，，，E為的中點，若，則（

）A．1 B． C． D．28．將函數(shù)的圖像向左平移個單位，得到函數(shù)的圖像，若為奇函數(shù)，則ω的最小值是（

）A． B．1 C． D．2二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z，則下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．10．已知O是所在平面內(nèi)一點，，，，則下列說法正確的是（

）A．外接圓的半徑為 B．內(nèi)切圓的半徑為C．若O是的外心，則在上的投影向量為 D．若O是的垂心，則在上的投影向量為11．已知某平面圖形由如圖所示的四個全等的等腰，，，拼成，其中線段，，的中點均為點O，.若將該平面圖形繞著直線a旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為，將該平面圖形繞著直線b旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體記為，直線直線b，則（

）A．的體積為B．的體積為C．經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點A所有的運動軌跡總長為D．的表面積為三、填空題12．已知正三棱柱的高為2，底面邊長為，則該三棱柱的外接球的體積為.13．已知，且，則.14．設(shè)n次多項式，若其滿足，則稱這些多項式為切比雪夫多項式.已知，則；若，則.四、解答題15．已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若，，求的面積.16．已知函數(shù)的部分圖像，如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)將函數(shù)的圖像向右平移個單位，再將得到的圖像上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間.17．如圖，在扇形中，半徑，圓心角，是扇形弧上的動點，矩形內(nèi)接于扇形，記，矩形的面積為.(1)求，并求當取得最大值時的值；(2)若，求的取值范圍.18．如圖，已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，面積記為S，且，D是的中點，點E在線段上且，線段與線段交于點M.(1)求角A的大小；(2)若，求的值；(3)若，且點G是的重心，求線段的最小值.19．如圖，我們把由平面內(nèi)夾角為的兩條數(shù)軸，構(gòu)成的坐標系稱為“完美坐標系”，設(shè)，分別為，正方向上的單位向量，若向量，則把實數(shù)對叫做向量的“完美坐標”.(1)若向量的“完美坐標”為，求；(2)已知，分別為向量，的“完美坐標”，證明：；(3)若向量，的“完美坐標”分別為，，設(shè)函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.

題號12345678910答案DAADCBAABCACD題號11答案ABD1．D根據(jù)題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算求得，即可得z的虛部.【詳解】由題意可得：，所以z的虛部為.故選：D.2．A求出斜邊OP的長，再根據(jù)余弦的定義解即可，其中O為坐標系原點.【詳解】設(shè)角的終邊過,則有..故選：A.3．A先根據(jù)向量共線求解出參數(shù)的值，然后根據(jù)坐標運算即可計算出的結(jié)果.【詳解】因為，，且，所以，，故選：A.4．D利用正弦定理結(jié)合條件即可求得正確答案.【詳解】由題可知，在△BAD中由正弦定理得：，即，又因為在中，，所以.故選：D5．C由長方體的結(jié)構(gòu)特征判斷A；根據(jù)正四面體的定義求解判斷B；由正方體的結(jié)構(gòu)特征，作出截面即可判斷C；根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，即可判斷D.【詳解】對于A，底面是矩形的平行六面體，它的側(cè)面不一定是矩形，故它也不一定是長方體，即A不正確；對于B，設(shè)棱長為a，正四面體的高是從一個頂點垂直于對面的高度，所以底面的等邊三角形的高為，底面的重心將高分為，又正四面體的高h與側(cè)棱a和底面重心到頂點的距離構(gòu)成直角三角形：所以，故B不正確；對于C，用一個平面去截一個正方體，分別是所在棱的中點，所得截面形狀可能為三角形、四邊形、五邊形、六邊形，如圖所示：，故C正確；對于D，過圓錐頂點的截面為等腰三角形，且兩腰長為母線長，設(shè)該等腰三角形頂角為，則截面三角形面積為，顯然當，面積最大，故當圓錐的軸截面三角形頂角大于時，圓錐的軸截面面積不一定是最大的，故D錯誤.故選：C.6．B利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角三角關(guān)系可得，再利用誘導(dǎo)公式運算求解.【詳解】因為，即，且是第三象限角，則，所以.故選：B.7．A設(shè)的長為，又，，根據(jù)數(shù)量積的運算律及定義得到方程，解得即可.【詳解】設(shè)的長為，因為，，所以，解得或（舍去）．故選：A8．A利用平移思想，結(jié)合函數(shù)平移得到的是奇函數(shù)，可得的取值可能，從而可得最小值.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到函數(shù)，由為奇函數(shù)，則，因為，所以的最小值是.故選：A9．BC對于A，由已知可得，則復(fù)數(shù)不確定，即可判斷；對于B，由于，可得，即可判斷；對于C，由，可得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合為以原點為圓心，以1為半徑的圓，即單位圓，由表示單位圓上的點與點的距離，即可求得的范圍，即可判斷；對于D，設(shè)，計算求得及，即可判斷.【詳解】根據(jù)題意，對于選項A，設(shè)，由于，所以，則復(fù)數(shù)不確定，故選項A不正確；對于選項B，設(shè)，由于，所以，則，所以，，則，故選項B正確；對于選項C，設(shè)，由于，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的集合為以原點為圓心，以1為半徑的圓，即單位圓，因為表示單位圓上的點與點的距離，所以的最小值為，最大值為，所以，故選項C正確；對于選項D，設(shè)，，，當時，，例如，，，，所以選項D錯誤.故選：BC．10．ACD利用余弦定理求出，再利用正弦定理求解判斷A；利用三角形面積公式計算判斷B；利用投影向量的意義求解判斷CD.【詳解】對于A，在中，，則，由余弦定理得，即.設(shè)外接圓的半徑，由正弦定理可得，則，A正確；對于B，的面積為，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，則，解得，B錯誤；對于C，若為的外心，結(jié)合投影向量定義可得在上的投影向量為，C正確.對于D，，若為的垂心，則在上的投影向量為，D正確.故選：ACD11．ABD該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個圓臺挖去2個圓錐，根據(jù)圓臺和圓錐的體積公式計算可判斷A；該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個大圓錐挖去2個小圓錐，根據(jù)圓錐的側(cè)面積、體積公式可判斷BD；該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點A的運動軌跡為半徑為3的半圓，該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點A的運動軌跡為半徑為的半圓，根據(jù)圓面積公式可判斷C；【詳解】如圖，過點A作直線的垂線，垂足為，過點A作直線的垂線，垂足為，由題意得，所以，即，所以，所以，對于A：該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個圓臺挖去2個圓錐，其中圓臺的2個底面半徑分別為，高為，圓錐的底面半徑為，高為，所以的體積為，故正確；對于D：該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周所圍成的幾何體為2個大圓錐挖去2個小圓錐，其中大圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，小圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，則的表面積為2個大圓錐和2個小圓錐的側(cè)面積組成，所以的表面積為，故D正確；對于B：由D知的體積為，故B正確.對于C：該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點A的運動軌跡為半徑為3的半圓，該平面圖形繞著直線旋轉(zhuǎn)半周，點A的運動軌跡為半徑為的半圓，所以經(jīng)過兩次旋轉(zhuǎn)后，點A所有的運動軌跡總長為，故C錯誤；故選：ABD.12．利用正弦定理求底面等邊三角形的外接圓半徑，結(jié)合正三棱柱的結(jié)構(gòu)特征求半徑和體積.【詳解】由題意可知：底面等邊三角形的外接圓半徑，則外接球的半徑，所以該三棱柱的外接球的體積為.故答案為：.13．/由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出，再根據(jù)兩角差的余弦公式即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以，故的值為.故答案為：14．本題可先根據(jù)切比雪夫多項式的定義求出的表達式，再利用三角函數(shù)的相關(guān)公式化簡計算可得，先求，進而化簡計算可得結(jié)果.【詳解】時，由，可得,時，由，可得,時，由，可得,所以，，得.由，即，，結(jié)合，可得..故答案為：；15．(1)(2)（1）由正弦定理得，由，求出，由此求出角A．（2）由余弦定理得，從而，由此能求出的面積．【詳解】（1）由正弦定理可得：由兩角和的正弦公式.因為在中，，則，所以，因為，所以，即，又因為，所以.（2）已知，，，根據(jù)余弦定理代入可得：，化簡可得，解得或（舍）根據(jù)三角形面積公式可得.16．(1)(2)，（1）結(jié)合三角函數(shù)的圖像求參數(shù)的值即可得解；（2）由三角函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出函數(shù)的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法即可.【詳解】（1）由題圖得，因為，∴.由，得，所以，解得.又因為，∴當時，.又由，得.故.（2）將的圖像向右平移個單位，得到的圖像，再將得到的圖像上各點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到的圖像.由，，得，當時，；當時，，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間為，17．(1)，時，取得最大值；(2).（1）求出、、關(guān)于的表達式，利用三角恒等變換化簡函數(shù)的表達式即可，并寫出該函數(shù)的定義域，由可求出的取值范圍，由正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最大值及其對應(yīng)的值；（2）由可求出的取值范圍，由可得出，可得出的取值范圍，解之即可.【詳解】（1）根據(jù)題意可知，，，所以，整理得.即.所以，顯然時，取得最大值，此時.（2）由，可得，因為，所以，解得，即不等式的解集為.18．(1)(2)(3)（1）根據(jù)題意利用面積公式和余弦定理化簡得到，求出，可得；（2）由三點共線得到，，從而得到方程組，求出，得到答案；（3）由重心定義得到，進而求出，根據(jù)三角形面積公式得到，兩邊平方，結(jié)合基本不等式運算求解.【詳解】（1）因為，則，可得，則，可得，又因為，則，則，所以；（2）由題意可得：，，由D、M、C三點共線得，由B、M、E三點共線可得，則，解得，可得，可得，所以；（3）由重心定義得，則，又因為，可得，可得，當且僅當時，等號成立，即，所以線段GM的最小值為.19．(1)(2)證明見解析(3).（1）先計算的值，再由，利用向量數(shù)量積的運算律計