3．3冪函數(shù)（單元教學(xué)設(shè)計）一、【單元目標(biāo)】【知識與能力目標(biāo)】（1）通過具體實例，結(jié)合的圖象，理解它們的變化規(guī)律，了解冪函數(shù)．（2）通過研究函數(shù)圖象與性質(zhì)，理解函數(shù)圖象與性質(zhì)的探究方法，感受圖形直觀與代數(shù)運算相結(jié)合的思想方法，發(fā)展直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．【過程與方法目標(biāo)】（1）通過對具體實例的分析，能從自變量、函數(shù)值及函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)等角度，歸納共性，抽象出冪函數(shù)的一般形式，獲得冪函數(shù)的概念．會畫出五個常見幕函數(shù)的圖象，并利用圖象得到它們的性質(zhì)；能利用冪函數(shù)的性質(zhì)解決一些簡單的問題．（2）類比冪函數(shù)的研究方法，能通過代數(shù)運算和函數(shù)圖象探究函數(shù)，在探究過程中體會數(shù)形結(jié)合思想，積累研究一類函數(shù)的經(jīng)驗．【情感態(tài)度價值觀目標(biāo)】使學(xué)生感受學(xué)習(xí)冪函數(shù)的必要性和重要性，增加學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣．二、【單元知識結(jié)構(gòu)框架】三、【學(xué)情分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書-必修一》（人教A版）第三章《函數(shù)的概念與性質(zhì)》，本節(jié)課是第3節(jié)，冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)之后，進(jìn)入高中以來遇到的第一種特殊函數(shù)，是對函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用，能培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用性質(zhì)（定義域，值域，圖象，單調(diào)性，奇偶性）研究一個函數(shù)的意識．本節(jié)課從概念到圖象，通過探究歸納出冪函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生再次體會利用信息技術(shù)來探索函數(shù)的圖象和性質(zhì)，從教材整體安排上來看，學(xué)習(xí)冪函數(shù)是為了讓學(xué)生進(jìn)一步了解研究函數(shù)的方法，學(xué)會利用這種方法去研究其他函數(shù)．因而本節(jié)課更是對學(xué)生研究函數(shù)方法和能力的一個綜合提升．四、【教學(xué)設(shè)計思路/過程】課時安排：約1課時教學(xué)重點：從五個具體的冪函數(shù)中認(rèn)識冪函數(shù)的一些性質(zhì)．教學(xué)難點：畫五個冪函數(shù)的圖象并由圖象概括其性質(zhì)．教學(xué)方法/過程：五、【教學(xué)問題診斷分析】環(huán)節(jié)一、情景引入，溫故知新前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念，利用函數(shù)概念和對圖象的觀察，研究了函數(shù)的一些性質(zhì)．本節(jié)我們利用這些知識、方法研究一類新的函數(shù)．一起看看幾個實例．（1）如果張紅購買了每千克1元的蔬菜千克，那么她需要付的錢數(shù)元，這里是的函數(shù)．（2）如果正方形的邊長為，那么正方形的面積，這里是的函數(shù)．（3）如果正方體的邊長為，那么正方體的體積，這里V是的函數(shù)．（4）如果正方形場地的面積為，那么正方形的邊長，這里是的函數(shù)．（5）如果某人s內(nèi)騎車行進(jìn)了1km，那么他騎車的平均速度km/s，這里v是t的函數(shù)．問題1：上面的五個實際問題得到哪些函數(shù)解析式?有哪些是你熟悉的?【破解方法】通過具體實例，引導(dǎo)學(xué)生感知明確研究范圍對研究數(shù)學(xué)問題的重要性，從而了解本章的學(xué)習(xí)意義．環(huán)節(jié)二、抽象概念，內(nèi)涵辨析問題2：觀察這五個函數(shù)的解析式，從自變量、函數(shù)值和解析式的結(jié)構(gòu)特征看，它們有什么共性?【破解方法】為了方便觀察共性，教師可以引導(dǎo)學(xué)生按照習(xí)慣的書寫方式表示五個解析式，．學(xué)生思考并回答，教師點評并歸納共性：（1）底數(shù)都是自變量；（2）指數(shù)都是常數(shù)．最后指明：這幾個函數(shù)解析式都是指數(shù)冪的形式，指數(shù)冪的底數(shù)是自變量，指數(shù)為定值．教師給出冪函數(shù)的定義，并進(jìn)行板書．【歸納新知】冪函數(shù)概念形如的函數(shù)，叫做冪函數(shù)，其中為常數(shù)．知識點詮釋：冪函數(shù)必須是形如的函數(shù)，冪函數(shù)底數(shù)為單一的自變量，系數(shù)為1，指數(shù)為常數(shù)．例如：等都不是冪函數(shù)．問題3：有了冪函數(shù)的定義，結(jié)合初中學(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的經(jīng)驗及前面學(xué)習(xí)的函數(shù)知識，說一說接著應(yīng)該研究什么?【破解方法】學(xué)生思考，回顧前面學(xué)習(xí)的函數(shù)性質(zhì)，列舉定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、圖象等內(nèi)容．問題4：五個冪函數(shù)，，請在同一個坐標(biāo)系中畫出它們的圖象，并分析它們的共性．【破解方法】學(xué)生用描點法（列表一描點一連線），把圖象依次畫到同一個坐標(biāo)系中，教師逐步投影出函數(shù)和從列表、圖象到性質(zhì)．【歸納新知】常見的冪函數(shù)圖像及性質(zhì)：函數(shù)圖象定義域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增在和上單調(diào)遞減公共點問題5：從上述表格中，你能總結(jié)這些函數(shù)具有哪些共同性質(zhì)嗎?它們又有哪些不同的性質(zhì)?【破解方法】教師提問，學(xué)生觀察圖形作答，教師引導(dǎo)歸納冪函數(shù)的共性和分析差異性，可以從圖象分布的區(qū)域、公共點、對稱性、變化趨勢等角度思考五個冪函數(shù)的性質(zhì)．（1）圖象分布的區(qū)域和公共點：函數(shù)和的圖象都過點．（2）函數(shù)的奇偶性：函數(shù)是奇函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)．（3）函數(shù)的變化趨勢：在區(qū)間上，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)單調(diào)遞減．（4）在第一象限內(nèi)，函數(shù)的圖象向上與軸無限接近，向右與軸無限接近．【歸納新知】冪函數(shù)隨著的取值不同，它們的定義域、性質(zhì)和圖象也不盡相同，但它們有一些共同的性質(zhì)：（1）所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點；（2）時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)時，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．環(huán)節(jié)三：例題練習(xí)，鞏固理解題型一：冪函數(shù)的概念【例1】現(xiàn)有下列函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中冪函數(shù)的個數(shù)為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由于冪函數(shù)的一般表達(dá)式為：；逐一對比可知題述中的冪函數(shù)有①；⑤共兩個．故選：C．【對點訓(xùn)練1】下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對于選項A，，故它是冪函數(shù)．故A項正確；對于選項B，是冪函數(shù)，故B項正確；對于選項C，選項的系數(shù)為3，所以它不是冪函數(shù)．故C項不成立；對于選項D，是冪函數(shù)，故D項正確．故選：C．題型二：求函數(shù)解析式【例2】已知點在冪函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，解得，所以．故選：B．【對點訓(xùn)練2】若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過，則（

）A． B．3 C． D．【答案】C【解析】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過點，則，故，∴，∴，故選：C．題型三：定義域、值域問題【例3】（1）函數(shù)的定義域是，值域是；（2）函數(shù)的定義域是，值域是；（3）函數(shù)的定義域是，值域是；（4）函數(shù)的定義域是，值域是．【答案】【解析】（1）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域為，值域為，（2）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域為，值域為，（3）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域為，值域為，（4）冪函數(shù)圖像如圖所示，定義域為，值域為，故答案為：（1）；，（2）；，（3）；，（4）；．【對點訓(xùn)練3】函數(shù)，其中，則其值域為．【答案】【解析】設(shè)，則．因為，所以．當(dāng)時，．所以函數(shù)的值域為．故答案為：【對點訓(xùn)練4】若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意：函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，要使值域為，則函數(shù)的值域要包括，即最小值要小于等于．當(dāng)時，顯然不成立，所以，當(dāng)時，則有，解得，所以的取值范圍是．故選：B．題型四：冪函數(shù)的圖象問題【例4】給定一組函數(shù)解析式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對應(yīng)的解析式號碼順序正確的是（

）

A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①【答案】C【解析】圖象（1）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（2）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過原點、第一象限遞減，故滿足；圖象（4）關(guān)于軸對稱，為偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（5）關(guān)于原點對稱，為奇函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，故滿足；圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞減，故滿足；圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過原點、第一象限遞增，而增長率隨增大遞增，故滿足；故圖象對應(yīng)解析式順序為⑥④③②⑦①⑤．故選：C【對點訓(xùn)練5】已知冪函數(shù)（且p與q互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（

）

A．p、q均為奇數(shù)且 B．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且C．p為奇數(shù)，q為偶數(shù)且 D．p為偶數(shù)，q為奇數(shù)且【答案】D【解析】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以p為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定，又因為p與q互質(zhì)，所以q為奇數(shù)，故選：D．題型五：定點問題【例5】下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，C．冪函數(shù)的圖象有可能出現(xiàn)在第四象限D(zhuǎn)．若冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則【答案】D【解析】當(dāng)時，此時要求，所以的圖象是一條直線是錯誤的，因此選項A不正確；冪函數(shù)的圖象不經(jīng)過點，所以選項B不正確；當(dāng)時，冪函數(shù)，所以冪函數(shù)的圖象不可能出現(xiàn)在第四象限，所以選項C不正確；當(dāng)冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有，所以選項D正確，故選：D【對點訓(xùn)練6】任意兩個冪函數(shù)圖象的交點個數(shù)是（

）A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個【答案】A【解析】因為所有冪函數(shù)的圖象都過，所以最少有個交點，如圖所示：當(dāng)函數(shù)為和時，它們有個交點，故選：．題型六：利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解不等式問題【例6】已知冪函數(shù)，若，則a的取值范圍是．【答案】【解析】由冪函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且是遞減函數(shù)，因為，可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為．故答案為：【對點訓(xùn)練7】若＜，則實數(shù)m的取值范圍．【答案】【解析】因為冪函數(shù)的定義域是{x|}，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則原不等式等價于，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是．故答案為：．題型七：比較大小【例7】若，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域為，由，則，又，所以．故選：D【對點訓(xùn)練8】設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，，，又，在上單調(diào)遞增，所以．綜上，．故選：A．題型八：冪函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例8】已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求的解析式；（2）若在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【解析】（1）因為冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，解得，故．（2）由（1）可知，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，所以，，因此，實數(shù)的取值范圍是．【對點訓(xùn)練9】已知冪函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱．

（1）求該冪函數(shù)的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，在如圖的坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖像；（3）直接寫出函數(shù)的解集．【解析】（1）因為是冪函數(shù)，所以，解得或，當(dāng)時，函數(shù)定義域是，易得是奇函數(shù)，圖像關(guān)于原點對稱，則滿足題意；當(dāng)時，函數(shù)，易知是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對稱，關(guān)于原點不對稱；綜上：冪函數(shù)的解析式是．（2）因為函數(shù)，定義域為，且，所以是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，其圖像是反比例函數(shù)在第一象限的圖像，作出函數(shù)在第一象限的圖像，再將其關(guān)于y翻折即可得在定義域上的圖像，如圖，（3）觀察（2）中圖像可得，的解集為．環(huán)節(jié)四：小結(jié)提升，形成結(jié)構(gòu)問題6：請你帶著下列問題回顧本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容：（1）我們是按照怎么樣的路徑研究冪函數(shù)的?（2）什么是冪函數(shù)?結(jié)合具體的幕函數(shù)，你能說說冪函數(shù)具有哪些性質(zhì)嗎?【破解方法】幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的知識以及主要的研究思路與方法．六、【教學(xué)成果自我檢測】環(huán)節(jié)五：目標(biāo)檢測，檢驗效果1．在函數(shù)，中，冪函數(shù)的個數(shù)為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】∵冪函數(shù)y＝xa，∴是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，不是冪函數(shù)，比冪函數(shù)的圖象多一個點，∴冪函數(shù)的個數(shù)為1．故選：B．2．已知冪函數(shù)的圖象過點，則的值為（

）A． B． C．0 D．1【答案】C【解析】由題意是冪函數(shù)，則，即，將代入可得，故，故選：C3．冪函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】冪函數(shù)定義域為，且，所以為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，又當(dāng)時單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，故符合題意的只有C．故選：C4．下列命題正確的是（

）A．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過，兩點 B．函數(shù)的圖象經(jīng)過第二象限C．如果兩個冪函數(shù)的圖象有三個公共點，那么這兩個函數(shù)一定相同 D．如果冪函數(shù)為偶函數(shù)，則圖象一定經(jīng)過點【答案】D【解析】對于A，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，當(dāng)時，不過點，故A項錯誤；對于B，的圖象過第一、三象限，故B項錯誤；對于C，與的圖象有三個交點，這兩個函數(shù)不相同，故C項錯誤；對于D，因為冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點，所以冪函數(shù)為偶函數(shù)時，圖象一定經(jīng)過點，故D項正確．故選：D．5．記，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，由冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故選：C6．已知冪函數(shù)的定義域為，則