專題03趙爽弦圖模型與勾股樹模型弦圖分為內弦圖與外弦圖，內弦圖是中國古代數學家趙爽發(fā)現，既可以證明勾股定理，也可以此命題，相關的題目有一定的難度，但解題方法也常常是不唯一的。弦圖被譽為“中國數學界的圖騰”，其割補思想、數形結合特性成為中考熱點。TOC\o"14"\h\z\uTOC\o"14"\h\z\u 1模型來源 1真題現模型 2提煉模型 4模型運用 6模型1.弦圖模型 6模型2.勾股樹模型 9 13“弦圖”就是我國三國時期的數學家趙爽，利用面積相等，形象巧妙的證明方法。所謂弦圖模型就是四個全等直角三角形的弦互相垂直圍成了一個正方形圖形，當弦在圍成的正方形之內叫內弦圖模型，當弦恰恰是圍城正方形的邊長時就叫外弦圖模型。勾股樹（畢達哥拉斯樹）以遞歸方式構造：從一個正方形出發(fā)，在其斜邊上構造直角三角形，再以直角邊為邊長生成新正方形，無限重復后形成樹狀分形結構。其自相似性既嚴謹又充滿自然美感?。趙爽弦圖中隱藏勾股樹雛形。若將弦圖內直角三角形不斷分割，可衍生出微型勾股樹?。希臘畢達哥拉斯用幾何法證定理，中國趙爽用代數轉換，體現東西方思維差異的奇妙共鳴?。這些模型將抽象數學轉化為可觸摸的趣味實踐，成為跨越千年的“智慧游戲”。（2024·四川眉山·中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為24，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．44（2025·甘肅·中考真題）勾股樹是一個可以無限生長的樹形圖形，它既展示了數學中的精確與秩序，還蘊含了自然界的生長與繁衍之美．如圖是勾股樹及它的形成過程，其中第1個圖形是正方形，第2個圖形是以這個正方形的邊長為斜邊在其外部構造一個直角三角形，再以這個直角三角形的兩條直角邊為邊長，分別向外生成兩個新的正方形，重復上述步驟得到第3個圖形，……，則第5個圖形中共有個正方形．（1）內弦圖模型：條件：如圖1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于點E，BF⊥CG于點F，CG⊥DH于點G，DH⊥AE于點H，結論：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH；證明：∵∠ABC＝∠BFC＝∠AEB＝90°，∴∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB=90°．∴∠ABE＝∠FCB．又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCF，同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．圖1圖2圖3圖4（2）外弦圖模型：條件：如圖2，在正方形ABCD中，E，F，G，H分別是正方形ABCD各邊上的點，EFGH是正方形，結論：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH；證明：∵∠B＝∠EFG＝∠C＝90°，∴∠BEF

＋∠EFB＝∠EFB＋∠GFC＝90°，∴∠BEF＝∠GFC．又∵EF

＝FG，∴△EBF≌△FCG．同理可得△EBF≌△FCG≌△GDH≌△HAE．（3）內外組合型弦圖模型：條件：如圖3、4，四邊形ABCD、EFGH、PQMN、均為正方形；結論：2S正方形EFGH=S正方形ABCD+S正方形PQMN.證明：由（1）（2）中的證明易得：圖3和圖4中的八個直角三角形均全等，并用S△表示他們的面積?！逽正方形ABCD=S正方形PQMN+8S△；S正方形EFGH=S正方形PQMN+4S△；∴S正方形ABCD+S正方形PQMN=S正方形PQMN+8S△+S正方形PQMN=2S正方形PQMN+8S△=2S正方形EFGH上述三類弦圖模型除了考查相關證明外，也常和完全平方公式（知二求二）結合考查。（4）半弦圖模型圖5圖6圖7條件：如圖5，EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，EF=FG，結論：△AFE≌△BGF；EA+GB=AB。證明：∵EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，∴∠A＝∠B＝∠EFG＝90°∴∠AFE＋∠AEF＝∠AEF＋∠BFG=90°．∴∠AFE＝∠BFG．又∵EF=FG，∴△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EA+GB=BF+AF=AB。條件：如圖6，EA⊥AB于點A，GB⊥AB于點B，EF⊥FG，EF=FG，結論：△AFE≌△BGF；EAGB=AB。證明：同圖5證明可得：△AFE≌△BGF，∴AE=BF，AF=BG，∴EAGB=BFAF=AB。條件：如圖7，在Rt△ABE和Rt△BCD中，AB＝BC，AE⊥BD，結論：△ABE≌△BCD；ABCD=EC。證明：∵△ABE和△BCD是Rt△，AE⊥BD，∴∠ABE＝∠C＝∠AFB＝90°?！唷螦＋∠ABF＝∠ABF＋∠DBC=90°．∴∠A＝∠DBC。又∵AB＝BC，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，∴ABCD=BCBE=EC。上面三類半弦圖模型的共同特點是兩個直角三角形，他們的弦互相垂直。所以做題中見著這樣的關鍵字眼就要想到用弦圖的相關知識解決問題。（5）勾股樹模型條件：如圖，在直角三角形外，分別以直角三角形三邊為元素向外作形狀相同的圖形，若分別以兩直角邊為元素所作圖形的面積為S1，S2，以斜邊為元素所作的圖形的面積為S3。結論：S1+S2=S3證明：設圖中兩直角邊為a、b，斜邊為c；且a、b、c三邊所對應的等邊三角形面積分別為S1、S2、S3。由于該類模型的證明基本相同，故此只證明等邊三角形。除了圖中的三類圖形，也?？嫉妊苯侨切?。條件：如圖，“勾股樹”是以邊長為m的正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，模型1.弦圖模型

A．144 B．104 C．72 D．52模型2.勾股樹模型A．①② B．①③④ C．②③ D．①②③④例3（2425·八年級下·山東德州·期中）有一個邊長為1的大正方形，經過1次“生長”后，在它的左右肩上生出兩個小正方形，其中三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過1次“生長”后，形成的圖形如圖1所示．如果繼續(xù)“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”如圖2所示，若“生長”了2025次后，形成的圖形中所有的正方形的面積和是（

）例4（2425山西呂梁·八年級統(tǒng)考階段練習）“勾股樹”是以正方形－邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復這－過程所畫出來的圖形，因為重復數次后的形狀好似－－棵樹而得名．假設下圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第五代勾股樹中正方形的個數為（

）A． B． C． D．

A．48 B．36 C．24 D．253．（2425八年級下·云南昆明·期中）如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．連接四條線段得到如圖2的新的圖案．如果圖1中的直角三角形的長直角邊為10，短直角邊為6，圖2中的陰影部分的面積為S，那么S的值為（）A．48 B．64 C．96 D．112

A．8 B．12 C．16 D．20A．48 B．56 C．66 D．78A．200 B．175 C．150 D．125

A．100 B．110 C．121 D．144A．2 B．3 C．4 D．5A． B． C． D．12．（2425八年級下·山東臨沂·期末）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成．若圖1中大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，現將這四個直角三角形拼成圖2，則圖2中大正方形的面積為（

）A．24 B．36 C．40 D．4413．（2425八年級下·重慶江津·期末）如圖是按照一定規(guī)律“生長”的“勾股樹”．經觀察可以發(fā)現：圖①中共有3個正方形，圖②中共有7個正方形，圖③中共有15個正方形，照此規(guī)律“生長”下去，圖⑤中共有正方形的個數是（

）A．31 B．32 C．63 D．64

17．（2425八年級下·湖北恩施·期中）實踐活動活動背景我校結合校園內豐富的樹木資源，堅持立德樹人育人理念，著力打造學?！皹浠菸幕逼放?，以培養(yǎng)學生扎根、向上的品質，逐步形成初一深扎知識土壤，培育基礎和品德的“樹根文化”，初二淬煉生命筋骨，注重承上啟下、塑造責任與擔當的“樹干文化”，初三舒展理想蒼穹，拼搏理想和勇爭第一的“樹冠文化”，八年級部分學生在學習勾股定理后，對“勾股樹”產生了濃厚的興趣，他們組建了興趣小組并展開相關探究活動．素材1畢達哥拉斯樹，也叫“勾股樹”，是由畢達哥拉斯根據勾股定理畫出來的一個可以無限重復的樹形圖形（圖中三角形均為直角三角形，四邊形均為正方形）．因為重復數次后的形狀好似一棵樹，所以被稱為畢達哥拉斯樹（勾股樹）．素材2經過學生興趣小組討論，對圖形作出改變，制定了如下規(guī)則：1．畫出不同類型三角形形成的樹形圖；2．所畫的基礎三角形周長為8cm，其中一條邊長固定為2cm．根據規(guī)則，三位同學分別畫出了如下不同類型的樹形圖并進行探究．解決問題任務一任務二任務三任務四活動小結18．（2425八年級上·湖北·期中）勾股定理是人類最偉大的十個科學發(fā)現之一，西方國家稱之為畢達哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)請敘述勾股定理；勾股定理的證明，人們已經找到了多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定