四弦切角的性質(zhì)[對應(yīng)學(xué)生用書P28]弦切角定理(1)文字語言敘述：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角．(2)圖形語言敘述：如圖，AB與⊙O切于A點，則∠BAC＝∠D.[說明]弦切角的度數(shù)等于它所夾弧度數(shù)的一半，圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半，圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)．[對應(yīng)學(xué)生用書P29]弦切角定理[例1](2010·新課標(biāo)全國卷)如圖，已知圓上的?。?，過C點的圓的切線與BA的延長線交于E點，證明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路點撥]利用弦切角定理．[證明](1)因為＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因為EC與圓相切于點C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因為∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故eq\f(BC,BE)＝eq\f(CD,BC)，即BC2＝BE·CD.利用弦切角定理進(jìn)行計算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時與圓的直徑所對的圓周角結(jié)合運用，同時要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構(gòu)成所需要的弦切角．1．如圖，AB為⊙O的直徑，直線EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，則∠ECA＝________.解析：連接BC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.又∵EF與⊙O相切于點C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.答案：34°2.如圖，AB是⊙O的弦，CD是經(jīng)過⊙O上的點M的切線，求證：(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.證明：(1)∵CD切⊙O于M點，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B，故AM＝MB.(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.∵CD切⊙O于M點，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴AB∥CD.3．如圖，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AC平分∠DAB.(1)求證：AD⊥CD；(2)若AD＝2，AC＝eq\r(5)，求AB的長．解：(1)證明：如圖，連接BC.∵直線CD與⊙O相切于點C，∴∠DCA＝∠B.∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB.∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴eq\f(AD,AC)＝eq\f(AC,AB)，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝eq\r(5)，∴AB＝eq\f(5,2).運用弦切角定理證明比例式或乘積式[例2]如圖，PA，PB是⊙O的切線，點C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分別為D，E，F(xiàn).求證：CD2＝CE·CF.[思路點撥]eq\x(\a\al(連接CA、CB，∠CAP＝∠CBA、,∠CBP＝∠CAB))→eq\x(\a\al(Rt△CAE∽Rt△CBD,Rt△CBF∽Rt△CAD))→eq\x(\f(CE,CD)＝\f(CD,CF))→eq\x(結(jié)論)[證明]連接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切線，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴eq\f(CA,CB)＝eq\f(CE,CD)，eq\f(CB,CA)＝eq\f(CF,CD)，∴eq\f(CE,CD)＝eq\f(CD,CF)，即CD2＝CE·CF.證明乘積式成立，往往與相似三角形有關(guān)，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時需要添加輔助線創(chuàng)造條件．4．如圖，已知MN是⊙O的切線，A為切點，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求證：AC2＝AE·AB.證明：連接BC.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(MN∥CD?∠MAC＝∠ACD,MN切⊙O于A?∠MAC＝∠B))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(?∠ACD＝∠B,∠CAE＝∠CAB))?△ACE∽△ABC?eq\f(AC,AB)＝eq\f(AE,AC)?AC2＝AB·AE.(1)求證：EF∥BC；(2)求證：DF2＝AF·BE.證明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF.∴EF∥BC.(2)連接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE.由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O內(nèi)接四邊形AEDF，∴∠BED＝∠DFA.∴△BED∽△DFA.∴eq\f(DE,AF)＝eq\f(BE,DF).又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.[對應(yīng)學(xué)生用書P30]一、選擇題1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，則()A．∠MCB＝∠B B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠B D．∠PAC＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.答案：C2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，EC切⊙O于點C.若∠BOC＝76°，則∠BCE等于()A．14° B．38°C．52° D．76°解析：∵EC為⊙O的切線，∴∠BCE＝∠BAC＝eq\f(1,2)∠BOC＝38°.答案：B3．如圖，AB是⊙O的直徑，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，則AC的長為()A．2 B．3C．2eq\r(3) D．4解析：連接BC，則∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝12，即AC＝2eq\r(3).答案：C4．如圖，AB是⊙O直徑，P在AB的延長線上，PD切⊙O于C點，連接AC，若AC＝PC，PB＝1，則⊙O的半徑為()A．1 B．2C．3 D．4解析：連接BC.∵AC＝PC，∴∠A＝∠P.∵∠BCP＝∠A，∴∠BCP＝∠P.∴BC＝BP＝1.由△BCP∽△CAP得PC2＝PB·PA，即AC2＝PB·PA.而AC2＝AB2－BC2，設(shè)⊙O半徑為r，則4r2－12＝1·(1＋2r)，解得r＝1.答案：A二、填空題5.如圖，已知AB與⊙O相切于點M，且＝，且，為eq\f(1,4)圓周長，則∠AMC＝________，∠BMC＝________，∠MDC＝________，∠MOC＝________.解析：弦切角等于所夾弧所對的圓周角，等于所夾弦所對圓心角度數(shù)的一半．答案：45°135°45°90°解析：連接BC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°.又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝∠PBC＝50°.∴∠P＝80°.答案：80°解析：連接OC，∵PC切⊙O于C點，∵PB＝OB＝2，OC＝2.∴PC＝2eq\r(3).∵OC·PC＝OP·CD，∴CD＝eq\f(2×2\r(3),4)＝eq\r(3).答案：eq\r(3)三、解答題8.如圖所示，⊙O1與⊙O2交于A、B兩點，過⊙O1上一點P作直線PA、PB分別交⊙O2于點C和點D，EF切⊙O1于點P.求證：EF∥CD.證明：如圖，連接AB，∵EF是⊙O切線，∴∠FPA＝∠PBA.又在⊙O2中，ABCD為⊙O內(nèi)接四邊形，∴∠C＝∠ABP.∴∠FPA＝∠C.∴EF∥CD.9.如圖所示，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，直線XY切⊙O于點C，弦BD∥XY，AC、BD相交于E.(1)求證：△ABE≌△ACD；(2)若AB＝6cm，BC＝4cm，求AE的長．解：(1)證明：因為XY是⊙O的切線，所以∠1＝∠2.因為BD∥XY，所以∠1＝∠3，所以∠2＝∠3.因為∠3＝∠4，所以∠2＝∠4.因為∠ABD＝∠ACD，又因為AB＝AC，所以△ABE≌△ACD.(2)因為∠3＝∠2，∠ABC＝∠ACB，所以△BCE∽△ACB，eq\f(BC,AC)＝eq\f(CE,CB)，AC·CE＝BC2.因為AB＝AC＝6cm，BC＝4cm，所以6·(6－AE)＝16.所以AE＝eq\f(10,3)cm.10.如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，AD平分∠BAC交圓O于點D，過點B作圓O的切線交直線AD于點E.(1)求證：∠EBD＝∠CBD；(2)求證：AB·BE＝AE·DC.證明：(1)∵BE為圓O的