暑假預(yù)習(xí)課人教版20252026學(xué)年度第一學(xué)期九上數(shù)學(xué)第23章《旋轉(zhuǎn)》第7課時(shí)旋轉(zhuǎn)模型——手拉手學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________用時(shí)：___________1.手拉手基本圖形：如圖，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD.特征：四線共點(diǎn)，兩兩相等，夾角相等.結(jié)論：△OAC≌△OBD(SAS).2.常見(jiàn)圖形：類型一：三角形手拉手1.(1)如圖①，△ABC和△ADE均是頂角為120°等腰三角形，求證：BD＝CE；(2)如圖②，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點(diǎn)B，D，E在同一直線上，連接CE，求∠BEC的度數(shù)；(3)如圖③，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°.將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得∠DEC＝90°，連接BE，作△ADE中DE的高AF，判斷BE，CE，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.(1)證明：∵△ABC和△ADE均是等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE.∵∠BAC＝∠DAE＝120°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE.(2)解：∵△ABC和△ADE均為等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠AED＝∠ADE＝60°.∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∠ADB＝180°－∠ADE＝120°.在△BAD和△CAE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS).∴∠AEC＝∠ADB＝120°.∴∠BEC＝∠AEC－∠AED＝120°－60°＝60°.(3)解：BE＝CE＋2AF.理由如下.∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°.∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD和△CAE中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS).∴BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝∠AED＋∠DEC＝135°.∴∠ADB＋∠ADE＝180°.∴點(diǎn)B，D，E在同一直線上.∵△ADE為等腰直角三角形，AF⊥DE，∴DE＝2AF.∴BE＝BD＋DE＝CE＋2AF.類型二：正方形手拉手2.已知邊長(zhǎng)為eq\r(2)和3的兩個(gè)正方形放置在直線l上，解答下列問(wèn)題：(1)如圖①，連接AD，CF，則AD與CF的數(shù)量關(guān)系為AD＝CF；(2)如圖②，將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度，試判斷AD與CF的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)如圖③，將正方形ODEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，求CF的長(zhǎng).解：(2)AD＝CF.理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，OA＝OC，OD＝OF，∠AOC＝∠DOF＝90°，∴∠AOC＋∠COD＝∠DOF＋∠COD，即∠AOD＝∠COF.在△AOD和△COF中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(OA＝OC，,∠AOD＝∠COF，,.OD＝OF，))∴△AOD≌△COF(SAS).∴AD＝CF.(3)如答圖W7－1，連接DF交OE于點(diǎn)G，則DF⊥OE，DG＝OG＝eq\f(1,2)OE.答圖W7－1∵正方形ODEF的邊長(zhǎng)為eq\r(2)，在Rt△DOE中，OE＝eq\r(OD2＋DE2)＝eq\r((\r(2))2×(\r(2))2)＝2.∴DG＝OG＝eq\f(1,2)OE＝eq\f(1,2)×2＝1.∵正方形ABCO的邊長(zhǎng)為3，∴AG＝OA＋OG＝3＋1＝4.在Rt△ADG中，AD＝eq\r(AG2＋DG2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).同(2)可得△AOD≌△COF.∴CF＝AD＝eq\r(17).

解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。1.△ABC與△CDE都是等邊三角形，連接AD，BE．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)B，C，D在同一條直線上時(shí)，則∠BCE=________度；(2)將圖1中的△CDE繞著點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置．求證：AD=BE．【答案】解：(1)120．(2)∵△ABC與△CDE都是等邊三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，∴∠BCE=ACD．在△BCE和△ACD中，{∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴BE=AD．

2.已知：如圖．△ABC和△DEC都是等邊三角形．D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AD與BE相交于點(diǎn)P.AC、BE相交于點(diǎn)M，AD、CE相交于點(diǎn)N．(1)在圖①中，求證：AD=BE；(2)當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖②時(shí)，∠APB=______．【答案】(1)證明：∵△ABC和△CDE為等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE；(2)60°．

【解析】【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，推出∠BCE=∠ACD，根據(jù)SAS推出兩三角形全等即可；(2)證明△ACD≌△BCE(SAS)，得到∠DAC=∠EBC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可解答．【解答】(1)見(jiàn)答案；(2)解：∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴∠DAC=∠EBC，∵∠AMP=∠BMC，∴∠APB=∠ACB=60°．故答案為：60°．3.如圖①，△ABD和△ACE都是等邊三角形．(1)將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接BE，CD，若BE=5，則CD=

；(2)如圖③，將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，使得點(diǎn)C在BA的延長(zhǎng)線上，BE，CD交于點(diǎn)F，連接AF.求證：FA平分∠BFC．【答案】(1)5

(2)證明：如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BE于點(diǎn)M，作AN⊥CD于點(diǎn)N．∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，∴AD＝AB，EA＝CA，∠BAD＝∠EAC＝60°，∴∠BAD＋∠DAE＝∠EAC＋∠DAE，即∠BAE＝∠DAC．在△BAE和△DAC中，BA=DA∠BAE=∠DAC∴△BAE≌△DAC（SAS），∴∠ABE＝∠ADC，即∠ABM＝∠ADN，∵AM⊥BE，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°．在△ABM和△ADN中，∠AMB=∠AND∠ABM=∠ADN∴△ABM≌△ADN（AAS），∴AM＝AN，∴FA平分∠BFC．

4.如圖1，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，△ABC和△CDE都是等邊三角形，BE交AC于點(diǎn)F，AD交CE于點(diǎn)H．(1)求出∠ACE的度數(shù)；(2)請(qǐng)?jiān)趫D1中找出一對(duì)全等的三角形，并說(shuō)明全等的理由；(3)若將△CDE繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖2所示的位置，其余條件不變，(2)中的結(jié)論是否還成立，試說(shuō)明理由．【答案】解：(1)∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，∵點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，∴∠ACE=180°?∠ACB?∠ECD=180°?60°?60°=60°；(2)△BCE≌△ACD．理由：∵△ABC和△CED都是等邊三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CE=CD，∴∠BCE=∠ACD，在△BCE和△ACD中，BC=AC∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD(SAS)；(3)(2)中的結(jié)論還成立．∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，EC=DC．∴∠BCE=∠ACD，∴△BCE≌△ACD(SAS)．

【解析】(1)由等邊三角形的性質(zhì)得出∠ACB=∠ECD=60°，則可求出∠ACE=60°；(2)依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得到BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，然后可證明∠ACD=∠BCE，依據(jù)SAS可證明△BCE≌△ACD；(3)(2)中的結(jié)論還成立．證明方法同(2)．本題考查了旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定，證得△BCE≌△ACD是解題的關(guān)鍵．5.如圖1，△ABC與△AEF都是等邊三角形，邊長(zhǎng)分別為4和3，連接FC，AD為△ABC高，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．(1)求證：△ACF≌△ABE；(2)將△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，如圖2，EF與AC交于點(diǎn)G，連接NG，求線段NG的長(zhǎng)；(3)連接BN，在△AEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求BN的最大值．【答案】(1)證明：如圖1中，∵△ABC與△AEF是等邊三角形，∴∠BAC=∠EAF=60°，AE=AF，AB=AC，∴∠BAE=∠CAF，在△ABE和△ACF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△ABE≌△ACF(SAS)；(2)解：如圖2中，∵AD為等邊△ABC的高，∴DC=12BC=2∴AD=∵AE=AF，∠EAG=∠FAG=30°，∴AC⊥EF，EG=FG，∴CE=CF，∵AE=∴DE=2∴EC=∴CF=CE=∵∠AEF=60°，∠DAC=30°，∴∠AGE=180°?60°?30°=90°，∴∠CGE=180°?90°=90°，∵N為CE的中點(diǎn)，∴NG=1(3)解：如圖3中，取AC的中點(diǎn)H，連接BH，NH．∵BH為等邊△ABC的中線，∴BH⊥AC，由(2)同理可得BH=2∵N為CE的中點(diǎn)，∴NH是△ACE的中位線，∴NH=1在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BN≤BH+HN，∴BN≤523而且當(dāng)點(diǎn)H在線段∴BN的最大值52【解析】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形的中位線解決問(wèn)題．(1)根據(jù)SAS證明三角形全等即可；(2)證明AC垂直平分線段EF，推出CE=CF，利用勾股定理求出CE，再利用三角形中位線定理求出GN；(3)取AC的中點(diǎn)H，連接BH，NH，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BN≤BH+HN，BN≤523而且當(dāng)點(diǎn)H在線段6.如圖，如果四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，那么將△ADE旋轉(zhuǎn)某一角度后，能不能與△ABG重合？如果能重合，那么旋轉(zhuǎn)中心是什么，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是多少？【答案】解：∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是正方形，∴∠BAD=∠EAG=90°，AD=AB，AG=AE，∴∠DAE=∠BAG，在△ADE≌△ABG中，AD=AB∴△ADE≌△ABG(SAS)，∴將△ADE旋轉(zhuǎn)某一角度后，能與△ABG重合，∴旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn)A，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是90°．

【解析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論．本題考查旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，以及全等三角形的判定與性質(zhì)．7.如圖①，B，C，E是同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD與四邊形CEFG都是正方形．連接BG，DE．(1)探究BG與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)正方形CEFG繞點(diǎn)C在平面內(nèi)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)到如圖②所示的位置時(shí)，線段BG和ED有何關(guān)系?寫(xiě)出結(jié)論并證明．【答案】(1)猜想：BG⊥BD，且BG=DE.證明如下：延長(zhǎng)BG與DE交于H點(diǎn)．∵ABCD和CEFG都是正方形，∴BC=DC，GC=EC，∠BCG=∠DCE=90°．在△BCG和△DCE中，∵BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，GC=EC，∴△BCG≌△DCE，∴∠BGC=∠DEC，BG=DE．又∵∠BGC=∠DGH，∠DEC+∠CDE=90°，∴∠DGH+∠GDH=90°，∴∠DHG=90°，故BG⊥DE，且BG=DE．(2)BG=DE，BG⊥DE.證明如下：∵四邊形ABCD、CEFG都是正方形，∴BC=CD，CG=CE，∠BCD=∠ECG，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE．又∵∠BPC=∠DPO，∠CBG+∠BPC=90°，∴∠CDE+∠DPO=90°，∴∠DOP=90°，∴BG⊥DE，∴BG=DE，BG⊥DE．

【解析】【分析】(1)猜想BG⊥BD，且BG=DE，延長(zhǎng)BG與DE交于H點(diǎn)，用SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，再證明∠DHG=90°，即可得出結(jié)論；(2)用SAS證明△BCG≌△DCE，得出BG=DE，∠CBG=∠CDE，再根據(jù)對(duì)頂角相等和直角三角形兩銳角互余，通過(guò)等量代換即可得出結(jié)論．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了正方形各邊相等且各內(nèi)角為90°的性質(zhì)，本題中求證△BCG≌△DCE是解題的關(guān)鍵．8.已知四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，且AB>CE．(1)如圖1，連接BG、DE，求證：BG=DE；(2)如圖2，如果正方形CEFG繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到某一位置恰好使得CG//BD，BG=BD.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)是22，求正方形【答案】(1)證明：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠GCE=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE(SAS)，∴BG=DE；(2)解：連接BE，延長(zhǎng)EC交BD于H，∵CG//BD，∴∠DCG=∠BDC=45°，∴∠BCG=∠BCD+∠DCG=90°+45°=135°．∵∠GCE=90°，∴∠BCE=360°?∠BCG?∠GCE=360°?135°?90°=135°，∴∠BCG=∠BCE．∵CG=CE，BC=BC，∴△BCG≌△BCE(SAS)，∴BG=BE．∵由(1)可知BG=DE，∴BD=BE=DE，∴△BDE為等邊三角形，∴∠BDE=60°，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2∴BD=4，∵BC=CD，BE=DE，∴HE垂直平分BD，∴DH=2，HE⊥BD，∴DH=CH=2，∠DEH=30°，∴HE=2∴CE=2∴正方形CEFG的邊長(zhǎng)為23【解析】(1)結(jié)合正方形的性質(zhì)利用SAS證明△BCG≌△DCE，進(jìn)而可證明結(jié)論；(2)連接BE，通過(guò)證明△BCG≌△BCE可得△BDE為等邊三角形，可得∠BDE=60°，由正方形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求DH，HE的長(zhǎng)，即可求解．本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，能證明相關(guān)三角形全等是解題的關(guān)鍵．9.如圖1，若四邊形ABCD、四邊形GFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE；當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖2的位置時(shí)，AG=CE是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；當(dāng)正方形GFED繞D旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，延長(zhǎng)CE交AG于H，交AD于M．①求證：AG⊥CH；②當(dāng)AD=4，DG=2時(shí)，求四邊形【答案】解：如圖2，AG=CE成立成立，∵∠CDE+∠EDA=∠ADG+∠ADE=90°，∴∠ADG=∠CDE，在△ADG和△CDE中，DG=DE∠ADG=∠CDE∴△ADG≌△CDE(SAS)，∴AG=CE；如圖3，連接AC，BD交于O，①同(1)可證△ADG≌△CDE，∴∠DAG=∠DCE，∵∠DCM+∠DMC=90°，∴∠DAG+∠AMH=90°，∴AG⊥CH；②∵∠EDF=∠EDC=45°，DG=∵四邊形ABCD是正方形，∴AC=BD=2AD=4∴DO=1∵∠DAC=∠ADG=45°，∴DG/?/AC，∴四邊形ACDG的面積=12【解析】如圖2，利用SAS證△ADG≌△CDE即可；如圖3，①同樣先證明△ADG≌△CDE，得出∠DAG=∠DCE，而∠DCM+∠DMC=90°，從而∠DAG+∠AMH=90°，結(jié)論顯然；②連接AC、CG，注意到DG/?/AC，△GAC與△DAC的面積相等，于是考慮用等積變換，求出AG即可求出CH；本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10.如圖1，四邊形ABCD，AEFG都是正方形，E、G分別在AB、AD邊上，已知AB=4．(1)求正方形ABCD的周長(zhǎng)；(2)將正方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θ(0°<θ<90°)時(shí)，如圖2，求證：BE=DG．(3)將正方形AEFG繞點(diǎn)