分式重點考點及典型例題詳解引言分式是初中數(shù)學的核心內(nèi)容之一，是整式運算的延伸與拓展，也是后續(xù)學習方程、函數(shù)、不等式的基礎。在中考及期末考中，分式考查占比約10%-15%，重點涉及定義理解、性質(zhì)應用、運算能力、方程解法及化簡求值等題型。本文將系統(tǒng)梳理分式的重點考點，結合典型例題詳解解題思路，并提醒易錯點，幫助學生構建完整的知識體系，提升解題能力。一、分式的定義及有意義的條件1.知識點梳理分式的定義：形如\(\frac{A}{B}\)（\(A\)、\(B\)是整式，\(B\)中含有字母且\(B\neq0\)）的式子稱為分式。有意義的條件：分母\(B\neq0\)（分式無意義的條件是\(B=0\)）。值為0的條件：分子\(A=0\)且分母\(B\neq0\)（二者缺一不可）。2.典型例題例1：判斷下列式子是否為分式：(1)\(\frac{x}{2}\)；(2)\(\frac{1}{x+1}\)；(3)\(\frac{x^2-1}{x-1}\)；(4)\(\frac{\sqrt{x}}{x}\)。解：(1)分母是常數(shù)2，不含字母，不是分式；(2)分母\(x+1\)含字母，是分式；(3)化簡前分母\(x-1\)含字母，是分式（注意：分式判斷看“原始形式”，不看化簡結果）；(4)分子\(\sqrt{x}\)不是整式，不是分式。例2：求分式\(\frac{2x-1}{x^2-4}\)有意義時\(x\)的取值范圍。解：分母\(x^2-4\neq0\)，即\(x\neq\pm2\)。例3：若分式\(\frac{x^2-9}{x-3}\)的值為0，求\(x\)的值。解：分子\(x^2-9=0\)，得\(x=\pm3\)；分母\(x-3\neq0\)，得\(x\neq3\)；故\(x=-3\)。3.易錯點提醒分式判斷只看原始形式，不看化簡后的結果（如\(\frac{x^2-1}{x-1}\)是分式）；分式值為0時，必須同時滿足分子為0且分母不為0，切勿遺漏分母條件；求有意義的條件時，分母是多項式需先因式分解（如\(x^2-4=(x-2)(x+2)\)），再解不等式。二、分式的基本性質(zhì)及約分通分1.知識點梳理基本性質(zhì)：分式的分子、分母同乘（或除以）一個不為0的整式，分式值不變，即：\[\frac{A}{B}=\frac{A\cdotC}{B\cdotC}=\frac{A\divC}{B\divC}\quad(C\neq0,C\text{為整式})\]約分：約去分子、分母的最大公因式（GCF），結果為最簡分式（分子、分母無公因式）。通分：將異分母分式化為同分母分式，關鍵是找最簡公分母（LCD）：①系數(shù)取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)；②字母取各分母所有字母的最高次冪；③不同字母的因式都要包含。2.典型例題例1：約分：(1)\(\frac{6a^2b^3}{9a^3b^2}\)；(2)\(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}\)。解：(1)分子、分母的最大公因式是\(3a^2b^2\)，約去得：\[\frac{6a^2b^3\div3a^2b^2}{9a^3b^2\div3a^2b^2}=\frac{2b}{3a}\](2)因式分解后約分：\[\frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2}=\frac{x+2}{x-2}\]例2：通分：(1)\(\frac{1}{2x^2y}\)和\(\frac{3}{5xy^2}\)；(2)\(\frac{1}{x^2-1}\)和\(\frac{1}{x-1}\)。解：(1)最簡公分母是\(10x^2y^2\)，通分后：\[\frac{1}{2x^2y}=\frac{5y}{10x^2y^2},\quad\frac{3}{5xy^2}=\frac{6x}{10x^2y^2}\](2)\(x^2-1=(x-1)(x+1)\)，最簡公分母是\((x-1)(x+1)\)，通分后：\[\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{(x-1)(x+1)},\quad\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{(x-1)(x+1)}\]3.易錯點提醒約分時分母不能為0，因此約去的公因式必須不為0（如\(\frac{x-2}{(x-2)(x+3)}\)約分后為\(\frac{1}{x+3}\)，但\(x\neq2\)）；通分時最簡公分母要包含所有分母的因式，切勿遺漏（如\(\frac{1}{x-1}\)和\(\frac{1}{x+1}\)的最簡公分母是\((x-1)(x+1)\)）。三、分式的運算1.知識點梳理分式運算遵循“先乘方，再乘除，后加減，有括號先算括號內(nèi)”的順序，具體規(guī)則如下：加減法：同分母：\(\frac{a}{c}\pm\frac{c}=\frac{a\pmb}{c}\)；異分母：\(\frac{a}\pm\frac{c}z3jilz61osys=\frac{ad\pmbc}{bd}\)（先通分，再加減）。乘法：\(\frac{a}\cdot\frac{c}z3jilz61osys=\frac{ac}{bd}\)（分子乘分子，分母乘分母，再約分）。除法：\(\frac{a}\div\frac{c}z3jilz61osys=\frac{a}\cdot\fracz3jilz61osys{c}=\frac{ad}{bc}\)（除以分式等于乘其倒數(shù)）。乘方：\(\left(\frac{a}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}\)（分子、分母分別乘方，符號由負號個數(shù)決定：奇負偶正）。2.典型例題例1：計算：(1)\(\frac{3}{x+1}+\frac{2}{x+1}\)；(2)\(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)。解：(1)同分母相加，分母不變，分子相加：\[\frac{3+2}{x+1}=\frac{5}{x+1}\](2)異分母相減，通分后計算：\[\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}\]例2：計算：\(\frac{a^2-4}{a^2+2a+1}\times\frac{a+1}{a-2}\)。解：先因式分解，再約分：\[\frac{(a-2)(a+2)}{(a+1)^2}\times\frac{a+1}{a-2}=\frac{a+2}{a+1}\]例3：計算：\(\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}\div\frac{x-3}{x+3}\)。解：除法變乘法，再因式分解約分：\[\frac{(x-3)(x+3)}{(x+3)^2}\times\frac{x+3}{x-3}=1\]例4：計算：\(\left(-\frac{2x}{y^2}\right)^3\)。解：分子、分母分別乘方，符號為負（奇次冪）：\[-\frac{(2x)^3}{(y^2)^3}=-\frac{8x^3}{y^6}\]3.易錯點提醒異分母分式加減時，通分后分子要加括號（如\(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\)不能直接寫成\(\frac{x+1-x-1}{(x-1)(x+1)}\)）；除法變乘法時，只顛倒除式的分子分母（如\(\frac{a}\div\frac{c}z3jilz61osys=\frac{a}\times\fracz3jilz61osys{c}\)，切勿顛倒被除式）；乘方時，每個因式都要乘方（如\((-2x)^3=-8x^3\)，不能漏掉系數(shù)的乘方）。四、分式方程的解法及應用1.知識點梳理定義：分母中含有未知數(shù)的方程稱為分式方程（如\(\frac{1}{x-2}=\frac{3}{x}\)）。解法步驟：①去分母：兩邊乘最簡公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；②解整式方程：用常規(guī)方法解得到的整式方程；③驗根：將解代入最簡公分母，若公分母≠0，則是原方程的解；若公分母=0，則是增根（舍去）。應用題型：工程問題（工作量=效率×時間）、行程問題（路程=速度×時間）、銷售問題（總價=單價×數(shù)量）等，關鍵是找等量關系。2.典型例題例1：解分式方程：\(\frac{1}{x-2}+3=\frac{x-1}{x-2}\)。解：①去分母（乘\(x-2\)）：\(1+3(x-2)=x-1\)；②解整式方程：\(1+3x-6=x-1\)，得\(2x=4\)，\(x=2\)；③驗根：代入\(x-2=0\)，故\(x=2\)是增根，原方程無解。例2（工程問題）：一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需18天完成，兩人合作多少天可以完成這項工程的\(\frac{2}{3}\)？解：設合作\(x\)天完成\(\frac{2}{3}\)，甲的效率為\(\frac{1}{12}\)，乙的效率為\(\frac{1}{18}\)，等量關系：\[\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{18}\right)x=\frac{2}{3}\]化簡得：\(\frac{5}{36}x=\frac{2}{3}\)，解得\(x=\frac{24}{5}=4.8\)（天）。答：兩人合作4.8天完成工程的\(\frac{2}{3}\)。例3（行程問題）：某人騎自行車從A地到B地，原計劃每小時行10千米，后來每小時行12千米，結果提前1小時到達，求A、B兩地的距離。解：設A、B兩地距離為\(s\)千米，原計劃時間為\(\frac{s}{10}\)小時，實際時間為\(\frac{s}{12}\)小時，等量關系：\[\frac{s}{10}-\frac{s}{12}=1\]通分后：\(\frac{6s-5s}{60}=1\)，解得\(s=60\)（千米）。答：A、B兩地距離為60千米。3.易錯點提醒解分式方程必須驗根，因為去分母時可能引入增根（如例1中\(zhòng)(x=2\)使分母為0，需舍去）；應用問題中單位要統(tǒng)一（如時間單位“小時”與“分鐘”需轉(zhuǎn)換，1小時=60分鐘）；設未知數(shù)時要明確含義（如例2中“\(x\)表示合作天數(shù)”，避免歧義）。五、分式的化簡求值1.知識點梳理步驟：①化簡：通過約分、通分、運算等將分式化為最簡形式（分子、分母無公因式）；②求值：代入使原分式有意義的數(shù)值（即分母≠0），計算結果。2.典型例題例1：化簡求值：\(\frac{a^2-4}{a^2+4a+4}\div\frac{a-2}{a+2}\)，其中\(zhòng)(a=1\)。解：先化簡：\[\frac{(a-2)(a+2)}{(a+2)^2}\times\frac{a+2}{a-2}=1\]代入\(a=1\)（\(a=1\)使分式有意義），結果為1。例2：化簡求值：\(\left(1-\frac{1}{x+1}\right)\div\frac{x}{x^2-1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)。解：先算括號內(nèi)的部分：\[1-\frac{1}{x+1}=\frac{x+1-1}{x+1}=\frac{x}{x+1}\]再算除法（變乘法）：\[\frac{x}{x+1}\times\frac{(x-1)(x+1)}{x}=x-1\]代入\(x=2\)（\(x=2\)使分式有意義），結果為1。3.易錯點提醒化簡時要逐步運算，避免跳步（如例2中先算括號內(nèi)的減法，再算除法，切勿直接代入）；代入求值前必須檢查數(shù)值是否使分式有意義（如例1中\(zhòng)(a\)不能為\(-2\)或\(2\)，否則分母為0）；化簡結果為常數(shù)時（如例1），無論代入何值（只要有意義），結果都不變。結語分式的學習核心是“理解定義