小學(xué)數(shù)學(xué)極值問(wèn)題專項(xiàng)訓(xùn)練一、引言：為什么要學(xué)極值問(wèn)題？極值問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)中的核心能力考點(diǎn)，本質(zhì)是研究“如何讓某個(gè)量達(dá)到最大或最小”。它不僅在數(shù)學(xué)競(jìng)賽（如希望杯、華杯賽）中高頻出現(xiàn)，更能解決生活中的實(shí)際問(wèn)題——比如“用最少的錢買最多的水果”“圍籬笆時(shí)怎樣讓菜園面積最大”“分蘋果時(shí)怎樣讓最多的人拿到的蘋果最少”。學(xué)好極值問(wèn)題，能培養(yǎng)孩子的邏輯推理能力（通過(guò)規(guī)律推導(dǎo)結(jié)論）、抽象思維能力（用代數(shù)或圖形表示數(shù)量關(guān)系）和解決實(shí)際問(wèn)題的能力（將數(shù)學(xué)與生活聯(lián)系起來(lái)）。二、基礎(chǔ)概念：什么是“極值”？“極值”指一組數(shù)據(jù)中的最大值（極大值）或最小值（極小值）。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，極值問(wèn)題通常涉及以下場(chǎng)景：數(shù)的拆分：將一個(gè)數(shù)拆成幾個(gè)數(shù)，求乘積的最大值或和的最小值；圖形問(wèn)題：周長(zhǎng)固定時(shí)求面積的最大值，或面積固定時(shí)求周長(zhǎng)的最小值；實(shí)際應(yīng)用：購(gòu)物、運(yùn)輸、分配中的最值問(wèn)題（最省錢、最多運(yùn)貨、最公平分配）。三、核心類型與解題策略（一）類型1：和一定，求乘積的最大值（或最小值）核心規(guī)律：兩個(gè)數(shù)：和一定時(shí)，兩數(shù)越接近（差越?。朔e越大；反之，差越大，乘積越小。多個(gè)數(shù)：和一定時(shí)，拆成3和2的組合（3越多越好），乘積最大（注意：不能拆成1，因?yàn)?乘任何數(shù)都不改變結(jié)果，反而會(huì)減少乘積）。例題1（兩個(gè)數(shù)的情況）：把10拆成兩個(gè)自然數(shù)（不能為0），乘積最大是多少？解題步驟：列舉所有可能的拆分：1+9（乘積9）、2+8（16）、3+7（21）、4+6（24）、5+5（25）。結(jié)論：當(dāng)兩數(shù)相等時(shí)（差為0），乘積最大。例題2（多個(gè)數(shù)的情況）：把12拆成幾個(gè)自然數(shù)（不能為0），乘積最大是多少？解題步驟：嘗試拆成不同組合：拆成6個(gè)2：2×2×2×2×2×2=64；拆成4個(gè)3：3×3×3×3=81；拆成3個(gè)4：4×4×4=64；拆成2個(gè)6：6×6=36；結(jié)論：拆成3的倍數(shù)時(shí)乘積最大（12=3×4），乘積為81。技巧總結(jié)：兩個(gè)數(shù)：和一定，相等時(shí)乘積最大；多個(gè)數(shù)：和一定，拆成3和2（3優(yōu)先），乘積最大（如11拆成3+3+3+2，乘積3×3×3×2=54）。（二）類型2：積一定，求和的最小值（或最大值）核心規(guī)律：積一定時(shí)，兩數(shù)越接近（差越?。?，和越??；反之，差越大，和越大。例題：乘積是24的兩個(gè)自然數(shù)，和最小是多少？解題步驟：列舉所有因數(shù)對(duì)：(1,24)和25、(2,12)和14、(3,8)和11、(4,6)和10。結(jié)論：當(dāng)兩數(shù)為4和6時(shí)（差2），和最小為10。技巧總結(jié)：積一定，拆成相等或接近的數(shù)，和最?。徊鸪?和本身，和最大。（三）類型3：圖形中的極值問(wèn)題核心場(chǎng)景：周長(zhǎng)固定時(shí)，求面積的最大值；面積固定時(shí)，求周長(zhǎng)的最小值；一邊靠墻時(shí)，圍圖形的面積最大值。例題1（周長(zhǎng)固定，長(zhǎng)方形面積最大）：用16米長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，怎樣圍面積最大？解題步驟：設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\(a\)，寬為\(b\)，則\(2(a+b)=16\)，即\(a+b=8\)（和一定）。根據(jù)“和一定，差小積大”，當(dāng)\(a=b=4\)時(shí)（正方形），面積最大為\(4×4=16\)平方米。例題2（一邊靠墻，長(zhǎng)方形面積最大）：用12米長(zhǎng)的籬笆圍一個(gè)長(zhǎng)方形菜園，一邊靠墻，怎樣圍面積最大？解題步驟：設(shè)靠墻的一邊為長(zhǎng)\(a\)，寬為\(b\)，則\(a+2b=12\)（籬笆長(zhǎng)度），面積為\(S=ab\)。列舉可能的\(b\)值：\(b=1\)，\(a=10\)，面積=10×1=10；\(b=2\)，\(a=8\)，面積=8×2=16；\(b=3\)，\(a=6\)，面積=6×3=18；\(b=4\)，\(a=4\)，面積=4×4=16；結(jié)論：當(dāng)\(b=3\)，\(a=6\)時(shí)，面積最大為18平方米（此時(shí)長(zhǎng)是寬的2倍）。技巧總結(jié)：周長(zhǎng)固定，正方形面積最大；一邊靠墻時(shí)，長(zhǎng)是寬的2倍時(shí)，面積最大（或用代數(shù)法：\(a=12-2b\)，\(S=b(12-2b)=-2b2+12b\)，頂點(diǎn)在\(b=3\)時(shí)面積最大）。（四）類型4：實(shí)際應(yīng)用中的極值問(wèn)題核心場(chǎng)景：購(gòu)物：用固定錢買最多的商品；分配：將物品分給多人，求最公平的分配方式；運(yùn)輸：用最少的車輛運(yùn)最多的貨物。例題（購(gòu)物中的最值）：媽媽帶了40元錢，買蘋果每斤6元，買香蕉每斤4元，怎樣買剛好花完40元，并且買的水果總重量最多？解題步驟：設(shè)買蘋果\(x\)斤，香蕉\(y\)斤，則\(6x+4y=40\)，化簡(jiǎn)得\(3x+2y=20\)（求\(x+y\)最大）。列舉可能的\(x\)值（\(x\)必須是偶數(shù)，否則\(2y\)不是整數(shù)）：\(x=0\)，\(y=10\)，總重量=0+10=10；\(x=2\)，\(y=7\)，總重量=2+7=9；\(x=4\)，\(y=4\)，總重量=4+4=8；\(x=6\)，\(y=1\)，總重量=6+1=7；結(jié)論：買10斤香蕉（\(x=0\)）時(shí)，總重量最大。四、專項(xiàng)訓(xùn)練題：分難度突破（一）基礎(chǔ)題（鞏固規(guī)律）1.兩個(gè)數(shù)的和是18，乘積最大是多少？（答案：81，拆成9+9）2.把9拆成幾個(gè)自然數(shù)，乘積最大是多少？（答案：18，拆成3+3+3）3.乘積是36的兩個(gè)自然數(shù)，和最小是多少？（答案：12，拆成6+6）（二）提高題（靈活應(yīng)用）1.用20米籬笆圍長(zhǎng)方形，一邊靠墻，面積最大是多少？（答案：50平方米，寬5米，長(zhǎng)10米）2.把15拆成3個(gè)自然數(shù)（每人至少1個(gè)），怎樣分讓最多的人拿到的蘋果最少？（答案：5+5+5，最多的人拿5個(gè)）3.媽媽帶30元，買梨每斤7元，買橘子每斤3元，剛好花完，怎樣買總重量最多？（答案：10斤橘子，0斤梨，總重量10斤）（三）拓展題（挑戰(zhàn)思維）1.把20拆成幾個(gè)自然數(shù)，乘積最大是多少？（答案：1458，拆成6個(gè)3+1個(gè)2，即3×3×3×3×3×3×2=1458）2.用16根1厘米長(zhǎng)的小棒圍長(zhǎng)方形，面積最大是多少？（答案：16平方厘米，正方形，邊長(zhǎng)4厘米）3.有18個(gè)蘋果，分給4個(gè)小朋友，每人至少2個(gè)，怎樣分讓最多的人拿到的蘋果最少？（答案：5+5+4+4，最多的人拿5個(gè)）五、總結(jié)與提升建議（一）核心規(guī)律回顧和一定：拆成3和2（3優(yōu)先），乘積最大；兩數(shù)相等時(shí)，乘積最大。積一定：拆成相等的數(shù)，和最小；拆成1和本身，和最大。圖形：周長(zhǎng)固定，正方形面積最大；一邊靠墻，長(zhǎng)是寬的2倍時(shí)面積最大。（二）提升建議1.多列舉，驗(yàn)證規(guī)律：比如拆10成不同組合，計(jì)算乘積，驗(yàn)證“3越多乘積越大”。2.聯(lián)系生活，具體化問(wèn)題：比如圍籬笆問(wèn)題，用家里的繩子模擬，讓孩子直觀感受“正方形面積最大”。3.用簡(jiǎn)單代數(shù)，培養(yǎng)抽象思維：比如設(shè)寬為\(x\)，長(zhǎng)為\(12-2x\)，計(jì)算面積，讓孩子學(xué)