整式加減高階練習(xí)題及解析引言整式加減是初中代數(shù)的基礎(chǔ)核心內(nèi)容，是后續(xù)學(xué)習(xí)因式分解、一元一次方程、二次函數(shù)等知識(shí)的重要鋪墊。它不僅考查學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算能力，更培養(yǎng)邏輯推理與綜合應(yīng)用能力。在掌握合并同類項(xiàng)“系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變”、去括號(hào)“括號(hào)前負(fù)號(hào)，內(nèi)項(xiàng)全變號(hào)”等基本規(guī)則后，高階練習(xí)需聚焦復(fù)雜整式處理“多層括號(hào)、多類項(xiàng)合并”、跨知識(shí)融合“與絕對(duì)值/數(shù)軸結(jié)合”、實(shí)際問題建?！皥D形面積、費(fèi)用計(jì)算”及創(chuàng)新思維“規(guī)律探究、新運(yùn)算定義”等方向，助力學(xué)生突破難點(diǎn)，提升解題能力。一、同類項(xiàng)辨析與合并高階練習(xí)核心知識(shí)點(diǎn)：同類項(xiàng)需滿足“字母相同+相同字母指數(shù)相同”，與系數(shù)、字母順序無(wú)關(guān)；合并同類項(xiàng)時(shí)，系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變。1.例題1（同類項(xiàng)判斷）下列各組單項(xiàng)式中，屬于同類項(xiàng)的是（）A.\(3x^2y\)與\(2xy^2\)B.\(5a^2b\)與\(-3ba^2\)C.\(2^3\)與\(a^3\)D.\(3xy\)與\(3x\)解析選項(xiàng)A：\(3x^2y\)中\(zhòng)(x\)指數(shù)為2、\(y\)指數(shù)為1；\(2xy^2\)中\(zhòng)(x\)指數(shù)為1、\(y\)指數(shù)為2，指數(shù)不同，不是同類項(xiàng)。選項(xiàng)B：\(5a^2b\)與\(-3ba^2\)均含字母\(a\)（指數(shù)2）、\(b\)（指數(shù)1），字母順序不影響，是同類項(xiàng)。選項(xiàng)C：\(2^3\)是常數(shù)項(xiàng)（無(wú)字母），\(a^3\)含字母\(a\)，不是同類項(xiàng)。選項(xiàng)D：\(3xy\)含字母\(x\)、\(y\)，\(3x\)僅含\(x\)，不是同類項(xiàng)。答案：B2.例題2（合并同類項(xiàng)）合并下列同類項(xiàng)：\(3a^2b-2ab^2+5a^2b-ab^2+4ab\)解析步驟1：分組同類項(xiàng)\(a^2b\)類：\(3a^2b+5a^2b\)；\(ab^2\)類：\(-2ab^2-ab^2\)；\(ab\)類：\(4ab\)（無(wú)同類項(xiàng)，保留）。步驟2：合并同類項(xiàng)\(a^2b\)類：\((3+5)a^2b=8a^2b\)；\(ab^2\)類：\((-2-1)ab^2=-3ab^2\)。結(jié)果：\(8a^2b-3ab^2+4ab\)答案：\(8a^2b-3ab^2+4ab\)二、去括號(hào)與添括號(hào)技巧進(jìn)階核心知識(shí)點(diǎn)：去括號(hào)時(shí)，括號(hào)前是“+”，內(nèi)項(xiàng)不變號(hào)；括號(hào)前是“-”，內(nèi)項(xiàng)全變號(hào)；添括號(hào)時(shí)，括號(hào)前符號(hào)決定內(nèi)項(xiàng)是否變號(hào)（如\(a-b+c=a-(b-c)\)）。1.例題3（多層括號(hào)去括號(hào)）化簡(jiǎn)：\(-3(2x-1)+2[-x+3(1-x)]\)解析步驟1：從內(nèi)到外去括號(hào)先去小括號(hào)：\(2[-x+3(1-x)]=2[-x+3-3x]\)；合并中括號(hào)內(nèi)同類項(xiàng)：\(2[(-x-3x)+3]=2[-4x+3]\)；去中括號(hào)：\(2\times(-4x)+2\times3=-8x+6\)。步驟2：處理剩余括號(hào)去小括號(hào)：\(-3(2x-1)=-6x+3\)。步驟3：合并所有項(xiàng)原式\(=(-6x+3)+(-8x+6)=(-6x-8x)+(3+6)=-14x+9\)。答案：\(-14x+9\)2.例題4（添括號(hào)變形）將多項(xiàng)式\(3x^2-2xy+y^2-5x+3y-1\)按以下要求變形：二次項(xiàng)放在前面帶正號(hào)的括號(hào)里；一次項(xiàng)放在前面帶負(fù)號(hào)的括號(hào)里；常數(shù)項(xiàng)單獨(dú)放。解析步驟1：識(shí)別各項(xiàng)次數(shù)二次項(xiàng)：\(3x^2\)、\(-2xy\)、\(y^2\)（次數(shù)為2）；一次項(xiàng)：\(-5x\)、\(3y\)（次數(shù)為1）；常數(shù)項(xiàng)：\(-1\)（次數(shù)為0）。步驟2：添括號(hào)二次項(xiàng)帶正號(hào)：\(+(3x^2-2xy+y^2)\)；一次項(xiàng)帶負(fù)號(hào)：\(-(5x-3y)\)（注意：原一次項(xiàng)是\(-5x+3y\)，添負(fù)號(hào)括號(hào)后變號(hào)為\(5x-3y\)）；常數(shù)項(xiàng)：\(-1\)。結(jié)果：\((3x^2-2xy+y^2)-(5x-3y)-1\)答案：\((3x^2-2xy+y^2)-(5x-3y)-1\)三、整式化簡(jiǎn)求值綜合訓(xùn)練核心策略：先化簡(jiǎn)（合并同類項(xiàng)、去括號(hào)），再代入求值（避免直接代入計(jì)算量大，減少錯(cuò)誤）。1.例題5（復(fù)雜整式化簡(jiǎn)求值）化簡(jiǎn)求值：\((2x^3-3x^2y-2xy^2)-(x^3-2xy^2+y^3)+(-x^3+3x^2y-y^3)\)，其中\(zhòng)(x=\frac{1}{2}\)，\(y=-1\)。解析步驟1：去括號(hào)（注意符號(hào)）原式\(=2x^3-3x^2y-2xy^2-x^3+2xy^2-y^3-x^3+3x^2y-y^3\)。步驟2：合并同類項(xiàng)（關(guān)鍵：抵消冗余項(xiàng)）\(x^3\)項(xiàng)：\(2x^3-x^3-x^3=0\)；\(x^2y\)項(xiàng)：\(-3x^2y+3x^2y=0\)；\(xy^2\)項(xiàng)：\(-2xy^2+2xy^2=0\)；\(y^3\)項(xiàng)：\(-y^3-y^3=-2y^3\)。化簡(jiǎn)結(jié)果：\(-2y^3\)（\(x\)項(xiàng)全部抵消，計(jì)算量驟減）。步驟3：代入求值當(dāng)\(y=-1\)時(shí)，\(-2y^3=-2\times(-1)^3=-2\times(-1)=2\)。答案：22.例題6（代入值為分?jǐn)?shù)/負(fù)數(shù)的情況）化簡(jiǎn)求值：\(\frac{1}{2}(4a^2-2ab)-3(a^2-ab+\frac{1}{3})\)，其中\(zhòng)(a=-2\)，\(b=\frac{1}{2}\)。解析步驟1：去括號(hào)（注意分?jǐn)?shù)系數(shù)）原式\(=\frac{1}{2}\times4a^2-\frac{1}{2}\times2ab-3a^2+3ab-3\times\frac{1}{3}\)\(=2a^2-ab-3a^2+3ab-1\)。步驟2：合并同類項(xiàng)\(a^2\)項(xiàng)：\(2a^2-3a^2=-a^2\)；\(ab\)項(xiàng)：\(-ab+3ab=2ab\)；常數(shù)項(xiàng)：\(-1\)?；?jiǎn)結(jié)果：\(-a^2+2ab-1\)。步驟3：代入求值（注意負(fù)數(shù)平方、分?jǐn)?shù)乘法）當(dāng)\(a=-2\)，\(b=\frac{1}{2}\)時(shí)：\(a^2=(-2)^2=4\)；\(2ab=2\times(-2)\times\frac{1}{2}=-2\)。原式\(=-4+(-2)-1=-7\)。答案：-7三、整式加減與絕對(duì)值/數(shù)軸結(jié)合核心知識(shí)點(diǎn)：絕對(duì)值的性質(zhì)（\(|a|=\begin{cases}a,&a\geq0\\-a,&a<0\end{cases}\)）；數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)（如\(a<0<b\)，則\(a-b<0\)）。1.例題7（數(shù)軸與絕對(duì)值化簡(jiǎn)）已知有理數(shù)\(a\)、\(b\)、\(c\)在數(shù)軸上的位置如圖所示（\(a<0<b<c\)，且\(|a|>|c|\)），化簡(jiǎn)：\(|a-b|+|b-c|-|a+c|\)。解析步驟1：判斷絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式的符號(hào)\(a<0<b\)，故\(a-b<0\)（負(fù)數(shù)減正數(shù)）；\(b<c\)，故\(b-c<0\)（小數(shù)減大數(shù)）；\(a<0\)，\(c>0\)，且\(|a|>|c|\)，故\(a+c=-(|a|-|c|)<0\)（負(fù)數(shù)絕對(duì)值更大，和為負(fù)）。步驟2：去掉絕對(duì)值符號(hào)（負(fù)數(shù)絕對(duì)值取相反數(shù)）\(|a-b|=-(a-b)=b-a\)；\(|b-c|=-(b-c)=c-b\)；\(|a+c|=-(a+c)=-a-c\)。步驟3：代入化簡(jiǎn)原式\(=(b-a)+(c-b)-(-a-c)\)\(=b-a+c-b+a+c\)（去括號(hào)）\(=(b-b)+(-a+a)+(c+c)\)（合并同類項(xiàng)）\(=2c\)。答案：2c2.例題8（絕對(duì)值與整式恒成立）若\(|x+2|+|x-3|=a\)（\(a\)為常數(shù)），求\(a\)的值，并化簡(jiǎn)\(a-(x^2-2x+1)\)。解析步驟1：分析絕對(duì)值表達(dá)式的幾何意義\(|x+2|+|x-3|\)表示數(shù)軸上點(diǎn)\(x\)到\(-2\)和\(3\)的距離之和。當(dāng)\(x\leq-2\)時(shí)，\(|x+2|+|x-3|=-(x+2)-(x-3)=-2x+1\)（隨\(x\)減小而增大）；當(dāng)\(-2<x<3\)時(shí)，\(|x+2|+|x-3|=(x+2)-(x-3)=5\)（常數(shù)）；當(dāng)\(x\geq3\)時(shí)，\(|x+2|+|x-3|=(x+2)+(x-3)=2x-1\)（隨\(x\)增大而增大）。結(jié)論：\(a=5\)（只有當(dāng)\(-2<x<3\)時(shí)，表達(dá)式為常數(shù)5）。步驟2：化簡(jiǎn)\(a-(x^2-2x+1)\)代入\(a=5\)，得：\(5-(x^2-2x+1)=5-x^2+2x-1=-x^2+2x+4\)。答案：\(a=5\)，化簡(jiǎn)結(jié)果為\(-x^2+2x+4\)四、整式加減的實(shí)際應(yīng)用核心策略：用整式表示實(shí)際量（如面積、費(fèi)用），再通過加減運(yùn)算解決問題（如面積差、費(fèi)用變化）。1.例題9（圖形面積差）一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為\((3x+2y)\)，寬為\((x-y)\)，一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為\((2x-y)\)，求長(zhǎng)方形與正方形的面積差（用含\(x\)、\(y\)的整式表示）。解析步驟1：計(jì)算長(zhǎng)方形面積長(zhǎng)方形面積\(=(3x+2y)(x-y)=3x\cdotx+3x\cdot(-y)+2y\cdotx+2y\cdot(-y)=3x^2-3xy+2xy-2y^2=3x^2-xy-2y^2\)（展開后合并同類項(xiàng)）。步驟2：計(jì)算正方形面積正方形面積\(=(2x-y)^2=(2x)^2-2\cdot2x\cdoty+y^2=4x^2-4xy+y^2\)（完全平方公式）。步驟3：計(jì)算面積差面積差\(=(3x^2-xy-2y^2)-(4x^2-4xy+y^2)=3x^2-xy-2y^2-4x^2+4xy-y^2=-x^2+3xy-3y^2\)（去括號(hào)后合并同類項(xiàng)）。答案：\(-x^2+3xy-3y^2\)2.例題10（實(shí)際費(fèi)用問題）某商店銷售甲、乙兩種商品，甲每件\(a\)元，乙每件\(b\)元。1月份甲賣了\(m\)件，乙賣了\(n\)件；2月份甲降價(jià)10%，乙提價(jià)5%，且銷量均不變。求2月份比1月份的總收入多（或少）多少元。解析步驟1：計(jì)算1月份總收入1月份收入\(=甲銷售額+乙銷售額=am+bn\)（元）。步驟2：計(jì)算2月份總收入甲降價(jià)10%后單價(jià)：\(a(1-10\%)=0.9a\)（元/件）；乙提價(jià)5%后單價(jià)：\(b(1+5\%)=1.05b\)（元/件）；2月份收入\(=0.9a\cdotm+1.05b\cdotn=0.9am+1.05bn\)（元）。步驟3：計(jì)算收入差（2月份-1月份）收入差\(=(0.9am+1.05bn)-(am+bn)=0.9am+1.05bn-am-bn=-0.1am+0.05bn\)（元）。結(jié)論：若\(-0.1am+0.05bn>0\)，則2月份收入增加；若\(<0\)，則減少；若\(=0\)，則不變。答案：\(-0.1am+0.05bn\)（或?qū)懗蒤(-\frac{1}{10}am+\frac{1}{20}bn\)）五、綜合創(chuàng)新題核心能力：規(guī)律探究（從具體到抽象）、新運(yùn)算理解（按定義轉(zhuǎn)化為整式加減）、恒等式應(yīng)用（系數(shù)為零條件）。1.例題11（規(guī)律探究與整式表示）觀察下列圖形，第1個(gè)圖形由1個(gè)正方形組成，第2個(gè)圖形由3個(gè)正方形組成，第3個(gè)圖形由6個(gè)正方形組成，第4個(gè)圖形由10個(gè)正方形組成……按此規(guī)律，第\(n\)個(gè)圖形由多少個(gè)正方形組成？（用含\(n\)的整式表示）（圖形描述：第1個(gè)圖形1行1個(gè)；第2個(gè)圖形2行，第1行1個(gè)，第2行2個(gè)；第3個(gè)圖形3行，第1行1個(gè)，第2行2個(gè)，第3行3個(gè)；第4個(gè)圖形4行，第1行1個(gè)，第2行2個(gè)，第3行3個(gè)，第4行4個(gè)……）解析步驟1：分析圖形與數(shù)量關(guān)系第1個(gè)圖形：\(1=1\)；第2個(gè)圖形：\(1+2=3\)；第3個(gè)圖形：\(1+2+3=6\)；第4個(gè)圖形：\(1+2+3+4=10\)。步驟2：歸納規(guī)律第\(n\)個(gè)圖形的正方形個(gè)數(shù)是從1到\(n\)的連續(xù)整數(shù)之和，即\(1+2+3+\cdots+n\)。步驟3：用整式表示根據(jù)等差數(shù)列求和公式，\(1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\)（展開為\(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\)）。驗(yàn)證：當(dāng)\(n=1\)時(shí)，\(\frac{1\times2}{2}=1\)，正確；當(dāng)\(n=2\)時(shí)，\(\frac{2\times3}{2}=3\)，正確。答案：\(\frac{n(n+1)}{2}\)（或\(\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{2}n\)）2.例題12（新運(yùn)算與整式加減）定義新運(yùn)算“⊕”：\(a⊕b=3a-2b\)，求\((2⊕3)⊕4\)的值。解析步驟1：按定義計(jì)算內(nèi)層運(yùn)算先算\(2⊕3\)：\(3\times2-2\times3=6-6=0\)。步驟2：計(jì)算外層運(yùn)算再算\(0⊕4\)：\(3\times0-2\times4=0-8=-8\)。答案：-83.例題13（恒等式與系數(shù)確定）已知多項(xiàng)式\(2x^3+ax^2+bx+1\)與\(x^3+2x^2-3x+1\)的和不