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通過日常生活和數(shù)學中的實例，了解數(shù)列的概念和表示方法（列

表、圖象、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).目錄CONTENTS123知識體系構建課時跟蹤檢測考點分類突破PART1知識體系構建必備知識系統(tǒng)梳理基礎重落實課前自修

A.10B.

－10

C

.

－11D.

A.－

B.

C

.

5D.

3.（多選）已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通

項可能是（

）A.

an

＝（－1）

n

－1＋1B.

an

＝

C.

an

＝2sin

D.

an

＝cos（

n

－1）π＋1

4.在數(shù)列{

an

}中，

Sn

＝2

n

2－3

n

（

n

∈N*），則

a

4＝

?.解析：當

n

＝1時，

a

1＝

S

1＝－1，當

n

≥2時，

an

＝

Sn

－

Sn

－1＝2

n

2

－3

n

－[2（

n

－1）2－3（

n

－1）]＝4

n

－5，當

n

＝1時，上式也滿

足，故

an

＝4

n

－5，所以

a

4＝4×4－5＝11.11

A.第6項B.

第7項

C

.

第8項D.

第9項

PART2考點分類突破精選考點典例研析技法重悟通課堂演練由

an

與

Sn

的關系求

an

【例1】

（1）（2024·長沙模擬）數(shù)列{

an

}的前

n

項的和

Sn

＝2

n

－

3，則此數(shù)列的通項公式

an

＝

?；

（2

n

－1）·3

n

－1

解題技法1.已知

Sn

求

an

的3個步驟（1）先利用

a

1＝

S

1求出

a

1；（2）用

n

－1替換

Sn

中的

n

得到一個新的關系，利用

an

＝

Sn

－

Sn

－1

（

n

≥2）即可求出當

n

≥2時

an

的表達式；（3）注意檢驗

n

＝1時的表達式是否可以與

n

≥2時的表達式合并.2.

Sn

與

an

關系問題的求解思路根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化.（1）利用

an

＝

Sn

－

Sn

－1（

n

≥2）轉化為只含

Sn

，

Sn

－1的關系式，

再求解；（2）利用

Sn

－

Sn

－1＝

an

（

n

≥2）轉化為只含

an

，

an

－1的關系式，

再求解.

1.設

Sn

為數(shù)列{

an

}的前

n

項和，若2

Sn

＝3

an

－3，則

a

4＝（

）A.27B.81C.93D.243解析：

根據(jù)2

Sn

＝3

an

－3，可得2

Sn

＋1＝3

an

＋1－3，兩式相減得

2

an

＋1＝3

an

＋1－3

an

，即

an

＋1＝3

an

，當

n

＝1時，2

S

1＝3

a

1－3，

解得

a

1＝3，所以數(shù)列{

an

}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所

以

a

4＝

a

1

q

3＝34＝81.2.設數(shù)列{

an

}滿足

a

1＋3

a

2＋…＋（2

n

－1）

an

＝2

n

，則

an

＝

?.

由遞推關系求通項公式技法1

累加、累乘法求通項公式【例2】

（教材題改編）若數(shù)列{

an

}滿足：

a

1＝1，

an

＋1＝

an

＋2

n

，則數(shù)列{

an

}的通項公式

an

＝

?.2

n

－1

解析：由

an

＋1＝

an

＋2

n

，得

an

＋1－

an

＝2

n

，所以當

n

≥2時，

an

＝

（

an

－

an

－1）＋（

an

－1－

an

－2）＋…＋（

a

2－

a

1）＋

a

1＝2

n

－1＋2

n

－

－1.

（變條件）本例中遞推關系改為“

an

＝2

n

－1

an

－1（

n

≥2）”，則

數(shù)列{

an

}的通項公式

an

＝

?.

解題技法由數(shù)列的遞推關系求通項公式的2類方法（1）形如

an

＋1－

an

＝

f

（

n

）的數(shù)列，利用累加法，即利用公式

an

＝

（

an

－

an

－1）＋（

an

－1－

an

－2）＋…＋（

a

2－

a

1）＋

a

1（

n

≥2），即可求數(shù)列{

an

}的通項公式；

技法2

構造法（待定系數(shù)法、倒數(shù)法）求通項公式

9

解題技法

（4）寫出數(shù)列{

an

}的通項公式.

A.4B.3＋10lg3C.13D.12＋2lg3

3.（2024·廣州模擬）已知數(shù)列{

an

}中，

a

1＝1，

an

＋1＝3

an

＋2，則

an

＝

?.解析：因為

an

＋1＝3

an

＋2，所以

an

＋1＋1＝3（

an

＋1），因為1＋

a

1＝2，所以數(shù)列{1＋

an

}是以2為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以1

＋

an

＝2×3

n

－1，所以

an

＝2×3

n

－1－1.2×3

n

－1－1

數(shù)列的性質考向1

數(shù)列的周期性

1

解題技法解決數(shù)列周期性問題的方法

根據(jù)給出的關系式求出數(shù)列的若干項，通過觀察歸納出數(shù)列的周

期，進而求出有關項的值或者前

n

項的和.考向2

數(shù)列的單調性

A.

B.4

－1C.

D.

（2）已知數(shù)列{

an

}的通項公式為

an

＝

n

2－λ

n

＋1，若{

an

}是遞增數(shù)

列，則實數(shù)λ的取值范圍是

?.解析：由題意得

an

＋1＞

an

，即（

n

＋1）2－λ（

n

＋1）＋1＞

n

2

－λ

n

＋1.化簡得λ＜2

n

＋1，

n

∈N*，所以λ＜3.（－∞，3）

解題技法1.解決數(shù)列單調性問題的方法（1）作差比較法：根據(jù)

an

＋1－

an

的符號判斷數(shù)列{

an

}是遞增數(shù)

列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列；

（3）函數(shù)法：結合相應的函數(shù)圖象直觀判斷.

A.（3，＋∞）B.

（2，＋∞）C.（1，＋∞）D.

（0，＋∞）

2

PART3課時跟蹤檢測關鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習

A.第8項B.

第9項C.第10項D.

第11項

12345678910111213141516171819202122232425262728

A.

an

＝

n

B.

an

＝

n

2C.

an

＝

D.

an

＝

3.（2024·南陵模擬）數(shù)列{

an

}中，

a

1＝1，

an

＋1＝

an

＋2

n

，則

an

＝

（

）A.

n

2－

n

＋1B.

n

2＋1C.（

n

－1）2＋1D.2

n

A.13B.15C.16D.29

A.－2B.

－1C.3D.1

6.（多選）若數(shù)列{

an

}滿足：對任意正整數(shù)

n

，{

an

＋1－

an

}為遞減數(shù)

列，則稱數(shù)列{

an

}為“差遞減數(shù)列”.給出下列數(shù)列{

an

}（

n

∈N*），其中是“差遞減數(shù)列”的有（

）A.

an

＝3

n

B.

an

＝

n

2＋1C.

an

＝

D.

an

＝ln

5

（1）求數(shù)列{

bn

}的通項公式；

（2）求數(shù)列{

an

}的通項公式.

A.（2，3]B.

（1，3）C.（2，3）D.

（1，

）

A.若數(shù)列{

an

}是遞增數(shù)列，則其“倒差數(shù)列”不一定是遞增數(shù)列B.若

an

＝3

n

－1，則其“倒差數(shù)列”有最大值C.若

an

＝3

n

－1，則其“倒差數(shù)列”有最小值D.若

an

＝1－（－

）

n

，則其“倒差數(shù)列”有最大值

11.設數(shù)列{

an

}的前

n

項和為

Sn

，且?

n

∈N*，

an

＋1＞

an

，

Sn

≥

S

6.請

寫出一個滿足條件的數(shù)列{

an

}的通項公式

an

＝

?

?.解析：?

n

∈N*，

an

＋1＞

an

，則數(shù)列{

an

}是遞增的；?

n

∈N*，

Sn

≥

S

6，即

S

6最小，只要前6項均為負數(shù)，第7項為非負數(shù)，或前5項

為負數(shù)，第6項為