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目錄CONTENTS123知識體系構(gòu)建課時跟蹤檢測考點(diǎn)分類突破PART1知識體系構(gòu)建必備知識系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.已知函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖，f'（

x

）是

f

（

x

）的導(dǎo)函數(shù)，則下列

數(shù)值排序正確的是（

）A.0＜f'（2）＜f'（3）＜

f

（3）－

f

（2）B.0＜f'（3）＜f'（2）＜

f

（3）－

f

（2）C.0＜f'（3）＜

f

（3）－

f

（2）＜f'（2）D.0＜

f

（3）－

f

（2）＜f'（2）＜f'（3）解析：

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，0＜f'（3）＜

f

（3）－

f

（2）＜f'

（2），故選C.2.（多選）下列導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算中正確的是（

）A.（3

x

）'＝3

x

ln3B.（

x

2ln

x

）'＝2

x

ln

x

＋

x

C.（ln2）'＝

D.

（sin

x

cos

x

）'＝cos2

x

解析：

因為ln2是常數(shù)，所以（ln2）'＝0，選項C錯誤，其

余都正確.3.某旅游者爬山的高度

h

（單位：m）是時間

t

（單位：h）的函數(shù)，

關(guān)系式是

h

＝－100

t

2＋800

t

，則他在2h這一時刻的高度變化的速

度是

?m/h.解析：h'（

t

）＝－200

t

＋800，∴h'（2）＝－200×2＋800＝400

（m/h）.400

4.已知函數(shù)

f

（

x

）＝f'（－1）

x

3＋

x

2－

x

，則f'（－1）＝

?.

1.奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，周期函數(shù)的

導(dǎo)函數(shù)還是周期函數(shù).2.區(qū)分在點(diǎn)處的切線與過點(diǎn)處的切線（1）在點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)一定是切點(diǎn)，切線有且僅有一條；（2）過點(diǎn)處的切線，該點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，切線至少有一條.

1.（2024·保定一模）已知曲線

y

＝

x

ln

x

＋

a

e－

x

在點(diǎn)

x

＝1處的切線方

程為2

x

－

y

＋

b

＝0，則

b

＝（

）A.－1B.

－2

C

.

－3D.0

2.觀察（

x

2）'＝2

x

，（

x

4）'＝4

x

3，（cos

x

）'＝－sin

x

，由歸納推

理可得：若定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）滿足

f

（－

x

）＝

f

（

x

），記

g

（

x

）為

f

（

x

）的導(dǎo)函數(shù)，則

g

（－

x

）＝

?.解析：由結(jié)論1，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，因此當(dāng)

f

（

x

）是偶函

數(shù)時，其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù)，故

g

（－

x

）＝－

g

（

x

）.－

g

（

x

）

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算

A.－1B.1C.2D.

－3

2.（多選）下列求導(dǎo)正確的是（

）A.（e3

x

）'＝3e2

x

B.（2sin

x

－3）'＝2cos

x

C.（

）'＝

x

D.（

x

cos

x

）'＝cos

x

－

x

sin

x

1

4.已知函數(shù)

f

（

x

）的導(dǎo)函數(shù)為f'（

x

），且滿足關(guān)系式

f

（

x

）＝

x

2＋

3xf'（2）＋ln

x

，則

f

（1）＝

?.

練后悟通函數(shù)求導(dǎo)應(yīng)遵循的原則（1）求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等變換等對函數(shù)進(jìn)行化簡，然

后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯；（2）進(jìn)行導(dǎo)數(shù)運(yùn)算時，要牢記導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，切

忌記錯記混；（3）復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變

量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo).提醒

當(dāng)函數(shù)解析式中含有待定系數(shù)（如f'（

x

0），

a

，

b

等），求導(dǎo)時把待定系數(shù)看成常數(shù)，再根據(jù)題意求解即可.導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用

A.

y

＝

x

B.

y

＝

x

C.

y

＝

x

＋

D.

y

＝

x

＋

解題技法求曲線切線方程的步驟（1）求出函數(shù)

y

＝

f

（

x

）在點(diǎn)

x

＝

x

0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線

y

＝

f

（

x

）在

點(diǎn)

P

（

x

0，

f

（

x

0））處切線的斜率；（2）由點(diǎn)斜式方程求得切線方程為

y

－

f

（

x

0）＝f'（

x

0）·（

x

－

x

0）.提醒

注意“過”與“在”的區(qū)別，前者

P

（

x

0，

f

（

x

0））為

切點(diǎn)，而后者

P

（

x

0，

f

（

x

0））不一定為切點(diǎn).考向2

求切點(diǎn)坐標(biāo)【例2】

（2024·鄭州一模）已知曲線

f

（

x

）＝

x

3－

x

＋3在點(diǎn)

P

處的

切線與直線

x

＋2

y

－1＝0垂直，則

P

點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.（1，3）B.

（－1，3）C.（1，3）或（－1，3）D.

（1，－3）

解題技法求切點(diǎn)坐標(biāo)的思路已知切線方程（或斜率）求切點(diǎn)的一般思路是先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，

再讓導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率，從而求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將橫坐標(biāo)代入函

數(shù)解析式求出切點(diǎn)的縱坐標(biāo).考向3

求參數(shù)的值（范圍）【例3】

（2022·新高考Ⅰ卷15題）若曲線

y

＝（

x

＋

a

）e

x

有兩條過

坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則

a

的取值范圍是

?.（－∞，－4）∪（0，＋∞）

解析：因為

y

＝（

x

＋

a

）e

x

，所以y'＝（

x

＋

a

＋1）e

x

.設(shè)切點(diǎn)為

A

（

x

＝0.因為曲線

y

＝（

x

＋

a

）e

x

有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，所以關(guān)于

x

0

＜－4或

a

＞0，所以

a

的取值范圍是（－∞，－4）∪（0，＋∞）.

（變條件）本例中條件改為“曲線

y

＝

f

（

x

）＝

x

lnx

過點(diǎn)

P

（1，

a

）的切線有且只有兩條”，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.（－∞，0）

解題技法利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求參數(shù)的基本方法

利用切點(diǎn)的坐標(biāo)、切線的斜率、切線的方程等得到關(guān)于參數(shù)

的方程（組）或者參數(shù)滿足的不等式（組），進(jìn)而求出參數(shù)的值

或取值范圍.提醒

注意曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍.

A.（e，1）B.

（1，0）C.（2，ln2）D.

（

，－ln2）

y

＝5

x

＋2

3.已知

a

，

b

∈R，函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

3＋

bx

2－

x

＋2.若曲線

y

＝

f

（

x

）

在點(diǎn)（1，1）處的切線與

x

軸平行，則｜

a

｜＋｜

b

｜＝

?.

2

兩曲線的公切線問題

A.

y

＝2

x

＋1B.

y

＝2

x

＋

C.

y

＝

x

＋1D.

y

＝

x

＋

（2）（2024·金華模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2與

g

（

x

）＝ln

x

的圖

象在公共點(diǎn)處有共同的切線，則實(shí)數(shù)

a

＝

?.

解題技法破解兩曲線公切線問題的基本方法（1）利用其中一條曲線在某點(diǎn)處的切線與另一條曲線相切，列出關(guān)

系式求解；

1.若直線

y

＝

kx

＋

b

是曲線

y

＝ln

x

＋2的切線，也是曲線

y

＝ln（

x

＋

1）的切線，則

b

＝

?.

1－ln2

2.若曲線

C

1：

y

＝

ax

2（

a

＞0）與曲線

C

2：

y

＝e

x

存在公共切線，求

實(shí)數(shù)

a

的取值范圍.

PART3課時跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)1.（2024·通州一模）某物體做直線運(yùn)動，位移

y

（單位：m）與時間

t

（單位：s）滿足關(guān)系式

y

＝2

t

2＋1，那么該物體在

t

＝3s時的瞬時

速度是（

）A.2m/sB.4m/sC.7m/sD.12m/s解析：

y'＝4

t

，當(dāng)

t

＝3時，y'＝4×3＝12（m/s），所以物體在

t

＝3s時的瞬時速度是12m/s，故選D.12345678910111213141516

A.f'（

x

）B.

f'（2）C.

f

（

x

）D.

f

（2）

12345678910111213141516

A.0B.1C.2D.4

12345678910111213141516

A.3

x

＋2

y

－3＝0B.3

x

－2

y

－3＝0C.2

x

－3

y

－2＝0D.2

x

－3

y

＋2＝0

123456789101112131415165.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A.（

x

＋

）'＝1＋

B.（

）'＝

C.[（3

x

＋5）3]'＝3（3

x

＋5）2D.（2

x

＋cos

x

）'＝2

x

ln2－sin

x

12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多選）已知函數(shù)

f

（

x

）及其導(dǎo)函數(shù)f'（

x

），若存在

x

0使得

f

（

x

0）＝f'（

x

0），則稱

x

0是

f

（

x

）的一個“巧值點(diǎn)”.下列選項中有

“巧值點(diǎn)”的函數(shù)是（

）A.

f

（

x

）＝

x

2B.

f

（

x

）＝e－

x

C.

f

（

x

）＝ln

x

D.

f

（

x

）＝tan

x

12345678910111213141516

12345678910111213141516

解析：

f

（

x

）為奇函數(shù)，則

f

（－

x

）＝－

f

（

x

）.取

x

＞0，得

x

2－

2

x

＝－（－

x

2＋

ax

），則

a

＝2.當(dāng)

x

＞0時，f'（

x

）＝－2

x

＋2.∴f'

（2）＝－2.－2

12345678910111213141516

12345678910111213141516（2）當(dāng)

a

＝1時，若直線

l

：

y

＝

kx

－1與曲線

y

＝

f

（

x

）相切，求

直線

l

的方程.

12345678910111213141516①＋②得

x

0＝

kx

0－1＋

k

，即（

k

－1）（

x

0＋1）＝0.若

k

＝1，則②式無解，∴

x

0＝－1，

k

＝1－e.∴直線

l

的方程為

y

＝（1－e）

x

－1.12345678910111213141516

9.已知

P

是曲線

y

＝－sin

x

（

x

∈[0，π]）上的動點(diǎn)，點(diǎn)

Q

在直線

x

－

2

y

－6＝0上運(yùn)動，則當(dāng)｜

PQ

｜取最小值時，點(diǎn)

P

的橫坐標(biāo)為

（

）A.

B.

C

.

D.

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f

（

x

）＝

B.

f

（

x

）＝

x

4C.

f

（

x

）＝sin

x

D.

f

（

x

）＝e

x

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

f

（

x

）＝sin

x

＋cos

x

B.

f

（

x

）＝ln

x

－2

x

C.

f

（

x

）＝－

x

3＋2

x

－1D.

f

（

x

）＝－

x

e－

x

12345678910111213141516

12345678910111213141516

1234567891011121314151612.已知點(diǎn)

P

在曲線

y

＝

x

3－

x

上移動，設(shè)點(diǎn)

P

處切線的傾斜角為α，則

角α的取值范圍是

?.

1234567891011121314151613.我國魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，實(shí)施“以直代

曲”的近似計算，用正

n

邊形進(jìn)行“內(nèi)外夾逼”的辦法求出了圓周

率π的精度