第五節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建課時(shí)跟蹤檢測考點(diǎn)分類突破PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

1.函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

－3＋2（

a

＞0且

a

≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（

）A.（0，1）B.

（0，3）

C

.

（3，3）D.

（4，1）解析：

對于函數(shù)

f

（

x

），令

x

－3＝0，可得

x

＝3，則

f

（3）＝

a

0＋2＝3，所以函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

－3＋2（

a

＞0且

a

≠1）的圖象恒過

定點(diǎn)（3，3）.故選C.2.已知

a

＝0.22，

b

＝30.3，

c

＝log40.4，則（

）A.

a

＜

b

＜

c

B.

b

＜

c

＜

a

C.

c

＜

a

＜

b

D.

c

＜

b

＜

a

解析：

因?yàn)?＜0.22＜0.20＝1，30.3＞30＝1，log40.4＜log41＝0，

所以

c

＜

a

＜

b

，故選C.3.函數(shù)

f

（

x

）＝1－e｜

x

｜的圖象大致是（

）解析：

易知

f

（

x

）為偶函數(shù)，且

f

（

x

）＝1－e｜

x

｜≤0，A正確.

A.（－∞，8]B.

[8，＋∞）C.（－∞，1]D.

[1，＋∞）

指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)（1）

y

＝

ax

，（2）

y

＝

bx

，（3）

y

＝

cx

，（4）

y

＝

dx

的圖象，底數(shù)

a

，

b

，

c

，

d

與1之間的大小關(guān)系為

c

＞

d

＞1＞

a

＞

b

＞0.在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)

y

＝

ax

（

a

＞0，且

a

≠1）的圖象越高，

底數(shù)越大.

解析：

由結(jié)論知選A.PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練指數(shù)式的運(yùn)算

A.－

B.

－

C.－

D.6

ab

2.設(shè)α，β是方程5

x

2＋10

x

＋1＝0的兩個(gè)根，則2α·2β＝

，（2α）β

＝

?.

3.（2024·寧波一模）已知

f

（

x

）＝2

x

＋2－

x

，若

f

（

a

）＝3，則

f

（2

a

）＝

?.解析：∵

f

（

a

）＝2

a

＋2－

a

＝3，∴

f

（2

a

）＝22

a

＋2－2

a

＝（2

a

＋2

－

a

）2－2＝32－2＝7.

7

練后悟通指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)函數(shù)的圖象與應(yīng)用【例1】

（1）（2024·長春模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）＝（

x

－

a

）·（

x

－

b

）（其中

a

＞

b

）的圖象如圖所示，則函數(shù)

g

（

x

）＝

ax

＋

b

的圖

象是（

）解析：由圖象可知，

b

＜－1，0＜

a

＜1，所以函數(shù)

g

（

x

）＝

ax

＋

b

是減函數(shù)，

g

（0）＝1＋

b

＜0，所以選項(xiàng)A符合.（2）若函數(shù)

y

＝｜3

x

－1｜在（－∞，

k

]上單調(diào)遞減，則

k

的取值范

圍為

?.解析：函數(shù)

y

＝｜3

x

－1｜的圖象是由函數(shù)

y

＝3

x

的圖象向下平

移一個(gè)單位長度后，再把位于

x

軸下方的圖象沿

x

軸翻折到

x

軸

上方得到的，函數(shù)圖象如圖所示.由圖象知，其在（－∞，0]上

單調(diào)遞減，所以

k

的取值范圍為（－∞，0].（－∞，0]

1.（變條件）若本例（2）條件變?yōu)椋汉瘮?shù)

y

＝｜3

x

－1｜與直線

y

＝

m

有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

?.解析：函數(shù)

y

＝｜3

x

－1｜的圖象是由函數(shù)

y

＝3

x

的圖象向下平移一

個(gè)單位長度后，再把位于

x

軸下方的圖象沿

x

軸翻折到

x

軸上方得到

的，而直線

y

＝

m

的圖象是平行于

x

軸的一條直線，圖象如圖所

示，由圖象可得，如果函數(shù)

y

＝｜3

x

－1｜與直線

y

＝

m

有兩個(gè)不同

交點(diǎn)，則

m

的取值范圍是（0，1）.（0，1）

2.（變條件）若本例（2）條件變?yōu)椋汉瘮?shù)

y

＝｜3

x

－1｜＋

m

的圖象

不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

?.解析：作出函數(shù)

y

＝｜3

x

－1｜＋

m

的圖象如圖所示.由圖象知

m

≤

－1，即

m

∈（－∞，－1].（－∞，－1]

解題技法指數(shù)函數(shù)的圖象及其應(yīng)用要點(diǎn)（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象時(shí)，可通過圖象經(jīng)過的定點(diǎn)和特殊

點(diǎn)來進(jìn)行分析判斷；（2）進(jìn)行圖象識(shí)別與應(yīng)用時(shí)，可從基本的指數(shù)函數(shù)圖象入手，通過

平移、伸縮、對稱等變換得到相關(guān)函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)的大小問題，可通過直線

x

＝1與圖

象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷.

1.（多選）已知函數(shù)

y

＝

ax

（

a

＞0且

a

≠1）的圖象如圖所示，則下列

四個(gè)函數(shù)圖象與函數(shù)解析式對應(yīng)的是（

）

2.（多選）已知實(shí)數(shù)

a

，

b

滿足等式2

a

＝3

b

，下列關(guān)系式中可能成立

的是（

）A.0＜

b

＜

a

B.

a

＜

b

＜0C.

b

＜

a

＜0D.

a

＝

b

解析：

作出函數(shù)

y

＝2

x

與函數(shù)

y

＝3

x

的圖象（如圖），當(dāng)

2

a

＝3

b

＞1時(shí)，根據(jù)圖象得0＜

b

＜

a

，故A選項(xiàng)正確；當(dāng)2

a

＝3

b

＝1時(shí)，根據(jù)圖象得

a

＝

b

＝0，故D選項(xiàng)正確；當(dāng)2

a

＝3

b

＜1

時(shí)，根據(jù)圖象得

a

＜

b

＜0，故B選項(xiàng)正確；

b

＜

a

＜0不可能成

立，故選A、B、D.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

A.

a

＞

b

＞

c

B.

c

＞

a

＞

b

C.

b

＞

a

＞

c

D.

c

＞

b

＞

a

A.

b

＞

c

＞

a

B.

b

＞

a

＞

c

C.

c

＞

b

＞

a

D.

c

＞

a

＞

b

解題技法比較指數(shù)式大小的方法（1）能化成同底數(shù)的先化成同底數(shù)冪，再利用單調(diào)性比較大小；（2）不能化成同底數(shù)的，一般引入“1”等中間量比較大小.

A.

B.

C.

D.

[2，＋∞）

解題技法指數(shù)方程或不等式的解法（1）解指數(shù)方程或不等式的依據(jù)：①

af

（

x

）＝

ag

（

x

）?

f

（

x

）＝

g

（

x

）；②

af

（

x

）＞

ag

（

x

），當(dāng)

a

＞1時(shí)，等價(jià)于

f

（

x

）＞

g

（

x

）；當(dāng)0＜

a

＜1時(shí)，等價(jià)于

f

（

x

）＜

g

（

x

）；（2）解指數(shù)方程或不等式的方法：先利用冪的運(yùn)算性質(zhì)化為同底數(shù)

冪，再利用函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為一般不等式求解.

A.函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱B.函數(shù)

f

（

x

）的圖象關(guān)于

y

軸對稱C.函數(shù)

f

（

x

）的值域?yàn)椋ǎ?，1）D.函數(shù)

f

（

x

）是減函數(shù)

（2）不等式4

x

－2

x

＋1＋

a

＞0對任意

x

∈R都成立，則實(shí)數(shù)

a

的取值范

圍是

?.（1，＋∞）

解析：原不等式可化為

a

＞－4

x

＋2

x

＋1對

x

∈R恒成立，令

t

＝2

x

，則

t

＞0，∴

y

＝－4

x

＋2

x

＋1＝－

t

2＋2

t

＝－（

t

－1）2＋

1≤1，當(dāng)

t

＝1時(shí)，

y

max＝1，∴

a

＞1.解題技法

涉及指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)的綜合問題時(shí)，首先要掌握指數(shù)函數(shù)相關(guān)性

質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題

時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷.

1.若e

a

＋π

b

≥e－

b

＋π－

a

，下列結(jié)論正確的是（

）A.

a

＋

b

≤0B.

a

－

b

≥0C.

a

－

b

≤0D.

a

＋

b

≥0解析：

∵e

a

＋π

b

≥e－

b

＋π－

a

，∴e

a

－π－

a

≥e－

b

－π

b

①，令

f

（

x

）＝e

x

－π－

x

，則

f

（

x

）是R上的增函數(shù)，①式即為

f

（

a

）≥

f

（－

b

），∴

a

≥－

b

，即

a

＋

b

≥0.

A.

f

（

x

）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增B.

f

（

x

）在（0，＋∞）上單調(diào)遞減C.

f

（

x

）的圖象關(guān)于直線

x

＝0對稱D.

f

（

x

）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，0）中心對稱

（4，＋∞）

PART3課時(shí)跟蹤檢測關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.

B.

C.

D.

123456789101112131415162.若函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

－

b

的圖象如圖所示，則（

）A.

a

＞1，

b

＞1B.

a

＞1，0＜

b

＜1C.0＜

a

＜1，

b

＞1D.0＜

a

＜1，0＜

b

＜1解析：

根據(jù)圖象，函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

－

b

是減函數(shù)，所以指數(shù)函

數(shù)的底數(shù)

a

∈（0，1），根據(jù)圖象的縱截距，令

x

＝0，

y

＝1－

b

∈

（0，1），解得

b

∈（0，1），即

a

∈（0，1），

b

∈（0，1）.12345678910111213141516

A.

b

＜

a

＜

c

B.

a

＜

b

＜

c

C.

b

＜

c

＜

a

D.

c

＜

a

＜

b

12345678910111213141516

A.（0，16]B.

[16，＋∞）C.（0，

］D.

［

，＋∞）

123456789101112131415165.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會(huì)的標(biāo)志性場館，

擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計(jì)，但整個(gè)系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到

了真正的智慧場館、綠色場館.并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場

館還配備了先進(jìn)的污水、雨水過濾系統(tǒng).已知過濾過程中廢水的污染

物數(shù)量

N

（mg/L）與時(shí)間

t

的關(guān)系為

N

＝

N

0e－

kt

（

N

0為最初污染物

數(shù)量）.如果前4小時(shí)消除了20％的污染物，那么污染物消除至最初

的64％還需要的時(shí)間為（

）A.3.6小時(shí)B.3.8小時(shí)C.4小時(shí)D.4.2小時(shí)12345678910111213141516

123456789101112131415166.（多選）（2024·聊城模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）＝2－

x

－2

x

，有下列四

個(gè)結(jié)論，其中正確的是（

）A.

f

（0）＝0B.

f

（

x

）是奇函數(shù)C.

f

（

x

）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)D.對任意的實(shí)數(shù)

a

，方程

f

（

x

）－

a

＝0都有解12345678910111213141516

123456789101112131415167.寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的非常數(shù)函數(shù)

?

?.①當(dāng)

x

1

x

2≥0時(shí)，

f

（

x

1＋

x

2）＝

f

（

x

1）

f

（

x

2）；②

f

（

x

）為偶函數(shù).解析：若滿足①對任意的

x

1

x

2≥0有

f

（

x

1＋

x

2）＝

f

（

x

1）·

f

（

x

2）成立，則對應(yīng)的函數(shù)為指數(shù)函數(shù)

y

＝

ax

的形式；若滿足②

f

（

x

）

為偶函數(shù)，只需要將

x

加絕對值即可，所以滿足①②兩個(gè)條件的函

數(shù)滿足

f

（

x

）＝

a

｜

x

｜（

a

＞0，

a

≠1）即可.f

（

x

）＝2｜

x

｜（答

案不唯一）

123456789101112131415168.已知函數(shù)

f

（

x

）＝

b

·

ax

（其中

a

，

b

為常數(shù)，且

a

＞0，

a

≠1）的

圖象經(jīng)過點(diǎn)

A

（1，6），

B

（3，24）.（1）求

f

（

x

）的表達(dá)式；

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

9.（2024·蘇州一模）已知

p

：－1＜

x

＜2，

q

：2

x

＋1－

x

＜2，則

p

是

q

的（

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件12345678910111213141516解析：

對于不等式2

x

＋1＜

x

＋2，作出曲線

y

＝2

x

＋1與

y

＝

x

＋2

的圖象如圖所示，由圖象可知，不等式2

x

＋1＜

x

＋2的解集為{

x

｜

－1＜

x

＜0}，因?yàn)閧

x

｜－1＜

x

＜0}?{

x

｜－1＜

x

＜2}，因此，

p

是

q

的必要不充分條件，故選B.12345678910111213141516

A.（－1，2）∪（2，＋∞）B.（－∞，－1）∪（3，＋∞）C.（－∞，1）∪（2，＋∞）D.（－∞，－1）∪（2，＋∞）12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.函數(shù)

f

（

x

）的定義域?yàn)镽B.函數(shù)

f

（

x

）的值域?yàn)椋?，＋∞）C.方程

f

（

x

）＝

x

有且只有一個(gè)實(shí)根D.函數(shù)

f

（

x

）的圖象是中心對稱圖形12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.

a

＝－1B.

f

（

x

）是增函C.

f

（

x

）是減函數(shù)D.不等式

f

（2

t

＋1）＋

f

（

t

－5）≤0的解集為

12345678910111213141516

1234567891011121314151613.對于函數(shù)

f

（

x

），若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)

x

0滿足

f

（－

x

0）＝－

f

（

x

0），則稱函數(shù)

f

（

x

）為“倒戈函數(shù)”.設(shè)

f

（

x

）＝3

x

＋

m

－1

（

m

∈R，

m

≠0）是定義在[－1，1]上的“倒戈函數(shù)”，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

?.

12345678910111213141516

1234567891011121314151614.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

－（

k

－1）

a

－

x

（

a

＞0且

a

≠1）是奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)

k

的值；解：∵

f

（

x

）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴

f

（0）＝

a

0－（

k

－1）

a

0＝1－（

k

－1）＝0，∴

k

＝2，經(jīng)檢驗(yàn)

k

＝2符合題意，∴

k

＝2.12345678910111213141516（2）若

f

（1）＜0，判斷函數(shù)

f

（

x

）的單調(diào)性，若

f

（

m

2－2）＋

f

（

m

）＞0，求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.

12345678910111213141516

15.定義在R上的函數(shù)

f

（

x

）是增函數(shù)，且對?

x

∈R，有

f

（

f

（

x

）－

2

x

）＝3，則

f

（log43）＝

.

1234567891011121314151616.已知函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

＋

a

·2－

x

（

a

為常數(shù)，

a

∈R）.（1）討論函數(shù)

f

（

x

）的奇偶性；解：∵函數(shù)

f

（

x

）＝2

x

＋

a

·2－