第一節(jié)直線的方程高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素.2.

理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過

程，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.3.

根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜

式、兩點(diǎn)式及一般式）.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

1.

直線的傾斜角與斜率（1）直線的傾斜角①定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l

?

的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角；②規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為

?；③范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為

?.向上

0°

0°≤α＜180°

提醒

傾斜角從“形”的方面直觀地描述了直線對(duì)x軸正方向的傾斜程度.每

條直線都有唯一確定的傾斜角.（2）直線的斜率

②坐標(biāo)式：若P1（x1，y1），P2（x2，y2）兩點(diǎn)在直線l上，且x1≠x2，則

l的斜率k＝

?.提醒

如果y2＝y(tǒng)1且x2≠x1，則直線與x軸平行或重合，斜率等于0；如果

y2≠y1且x2＝x1，則直線與x軸垂直，傾斜角等于90°，斜率不存在.

2.

直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點(diǎn)斜

式

?不含垂直于x軸的直線斜截

式

?不含垂直于x軸的直線兩點(diǎn)

式

＝

（x1≠x2，y1≠y2）不含垂直于x軸，y軸的直線

y－y0＝k（x－x0）y＝kx＋b名稱方程適用范圍截距

式

＋

＝1不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線一般

式Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為0）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用

1.

直線的斜率k與傾斜角θ之間的關(guān)系θ的大小0

°0°＜θ＜90°90°90°＜θ＜180°k的范圍0k＞0不存在k＜0k的增減性隨θ的增大而增大隨θ的增大而增大2.

特殊直線的方程（1）過點(diǎn)P1（x1，y1），垂直于x軸的直線方程為x＝x1；（2）過點(diǎn)P1（x1，y1），垂直于y軸的直線方程為y＝y(tǒng)1；（3）y軸的方程為x＝0；（4）x軸的方程為y＝0.3.

直線Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）的一個(gè)方向向量為a＝（－B，

A）.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）直線的傾斜角越大，其斜率就越大.

（

×

）（2）直線的斜率為tan

α，則其傾斜角為α.

（

×

）（3）斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.

（

×

）（4）經(jīng)過任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線都可以用

方程（y－y1）·（x2－x1）＝（x－x1）·（y2－y1）表示.

（

√

）×××√

A.30°B.60°C.120°D.150°

√3.

如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（

）A.

k1＜k2＜k3B.

k3＜k1＜k2C.

k3＜k2＜k1D.

k1＜k3＜k2解析：

由題圖知，直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0，直線l2與l3的

傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.√4.

（蘇教選一P13練習(xí)1（5）題改編）傾斜角為135°，在y軸上的截距為

－1的直線方程是（

）A.

x－y＋1＝0B.

x－y－1＝0C.

x＋y－1＝0D.

x＋y＋1＝0解析：

直線的斜率為k＝tan

135°＝－1，所以直線方程為y＝－x－

1，即x＋y＋1＝0.√5.

（人A選一P67習(xí)題7題改編）過點(diǎn)P（2，3）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等

的直線方程為

?.

3x－2y＝0或x＋y－5＝0PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

直線的傾斜角與斜率（基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)）1.

〔多選〕已知直線l的方程為ax＋by－2＝0，則下列判斷正確的是

（

）A.

若ab＞0，則直線l的斜率小于0B.

若b＝0，a≠0，則直線l的傾斜角為90°C.

直線l可能經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)D.

若a＝0，b≠0，則直線l的傾斜角為0°√√√

2.

直線x＋（m2＋1）y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是（

）A.

（0，

］B.

（

，

）C.

（

，

）D.

［

，π）

√

∞）

練后悟通解決直線的傾斜角與斜率問題的方法（1）數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖

形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解；（2）函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之

亦可.

直線的方程（師生共研過關(guān)）

求符合下列條件的直線方程：

（2）直線過點(diǎn)A（1，4），且直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0；

（3）已知兩直線a1x＋b1y＋1＝0和a2x＋b2y＋1＝0的交點(diǎn)為P（2，

3），求過兩點(diǎn)Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程.解：

因?yàn)镻（2，3）在已知直線上，所以2a1＋3b1＋1＝0，2a2＋3b2＋1＝0.所以過兩點(diǎn)Q1（a1，b1），Q2（a2，b2）（a1≠a2）的直線方程為2x＋

3y＋1＝0.解題技法求解直線方程的兩種方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線

方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參

數(shù)的方程（組）；③解這個(gè)方程（組）求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)

直線方程.提醒

（1）應(yīng)用“點(diǎn)斜式”和“斜截式”方程時(shí)，要注意討論斜率是否存

在；（2）應(yīng)用“截距式”方程時(shí)要注意討論直線是否過原點(diǎn)，截距是否

為0；（3）應(yīng)用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時(shí)注意討論B是否

為0.

1.

經(jīng)過點(diǎn)（1，1），且方向向量為（1，2）的直線方程是（

）A.

2x－y－1＝0B.

2x＋y－3＝0C.

x－2y＋1＝0D.

x＋2y－3＝0解析：

∵直線的方向向量為（1，2），∴直線的斜率k＝2.又直線過點(diǎn)

（1，1），∴直線的方程為y－1＝2（x－1），即2x－y－1＝0.√

3.

已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，2），B（3，6），C（5，2），

M為AB的中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，則中位線MN所在直線的方程為

?

?.

2x

＋y－8＝0直線方程的綜合應(yīng)用（師生共研過關(guān)）

已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R）.（1）證明：直線l過定點(diǎn)；

（2）若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；

（3）若直線l交x軸負(fù)半軸于點(diǎn)A，交y軸正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積

為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值并求此時(shí)直線l的方程.

解題技法直線方程綜合問題的兩大類型及解法（1）與函數(shù)相結(jié)合的問題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問題

轉(zhuǎn)化為關(guān)于x（或y）的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決；（2）與方程、不等式相結(jié)合的問題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知

識(shí)來解決.

A.

［－

，0）B.

（－

，0）C.

（－

，＋∞）D.

（－∞，－

）∪（0，＋∞）√

2.

已知直線x＋2y＝2分別與x軸、y軸相交于A，B兩點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P

（a，b）在線段AB上，則ab的最大值為

?.

PART03課時(shí)·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

若直線l的方程為x＝－3，則直線l的傾斜角是（

）A.

B.

C.πD.0

12345678910111213141516171819202022232425√2.

若ac＞0且bc＜0，則直線ax＋by＋c＝0不經(jīng)過（

）A.

第一象限B.

第二象限C.

第三象限D(zhuǎn).

第四象限

√3.

已知直線l過點(diǎn)（1，2），且在y軸上的截距為在x軸上的截距的兩倍，

則直線l的方程為（

）A.

2x－y＝0B.

2x＋y－4＝0C.

2x－y＝0或x＋2y－2＝0D.

2x－y＝0或2x＋y－4＝0√

4.

若直線y＝ax＋1與連接A（2，3），B（－3，2）的線段總有公共點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A.

［－1，

］B.

（－∞，－

］∪[1，＋∞）C.

［－

，1］D.

（－∞，－2]∪［

，＋∞）√

5.

〔多選〕下列說法正確的有（

）A.

若直線y＝kx＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則點(diǎn)（k，b）在第二象限B.

直線y＝ax－3a＋2過定點(diǎn)（3，2）C.

過點(diǎn)（2，－1）且斜率為－

的點(diǎn)斜式方程為y＋1＝－

（x－2）D.

斜率為－2，在y軸上的截距為3的直線方程為y＝－2x±3√√√

6.

〔多選〕已知直線x

sin

α＋y

cos

α＋1＝0（α∈R），則下列命題正確

的是（

）A.

直線的傾斜角是π－αB.

無論α如何變化，直線不過原點(diǎn)C.

直線的斜率一定存在D.

當(dāng)直線和兩坐標(biāo)軸都相交時(shí)，它和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積不小于1√√

（0，1）

（2）若直線l與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，求l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積

最大時(shí)直線l的方程.

A.

a＜b＜cB.

c＜b＜aC.

c＜a＜bD.

b＜a＜c

√11.

〔多選〕已知點(diǎn)A（－2，－1），B（2，2），直線l：2ax－2y＋3a

－3＝0上存在點(diǎn)P滿足｜PA｜＋｜PB｜＝5，則直線l的傾斜角可能為

（

）A.0B.

C.

D.

√√

12.

若直線ax＋by＝ab（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（1，4），則該直線在x

軸，y軸上截距之和的最小值為

?.

913.

（創(chuàng)新知識(shí)交匯）若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為3，則該正方

形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為

，

?.

－214.

過點(diǎn)P（3，2）的直線l與x軸和y軸正半軸分別交于點(diǎn)A，B.

（1）當(dāng)P為