第四節(jié)冪函數(shù)與二次函數(shù)

目錄CONTENTS123知識(shí)體系構(gòu)建微專題3一元二次方程根的分布考點(diǎn)分類突破4課時(shí)跟蹤檢測(cè)PART1知識(shí)體系構(gòu)建必備知識(shí)系統(tǒng)梳理基礎(chǔ)重落實(shí)課前自修

A.

B.2C.2

D.4

2.（2024·合肥一中模擬）若二次函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

＜

0），滿足

f

（1）＝

f

（3），則下列不等式成立的是（

）A.

f

（1）＜

f

（4）＜

f

（2）B.

f

（4）＜

f

（1）＜

f

（2）C.

f

（4）＜

f

（2）＜

f

（1）D.

f

（2）＜

f

（4）＜

f

（1）解析：

因?yàn)?/p>

f

（1）＝

f

（3），所以二次函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋

c

的對(duì)稱軸為

x

＝2，又因?yàn)?/p>

a

＜0，所以

f

（4）＜

f

（3）＜

f

（2），又

f

（1）＝

f

（3），所以

f

（4）＜

f

（1）＜

f

（2）.故選B.3.已知二次函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋1（

a

，

b

∈R，

a

≠0），

x

∈R，若函數(shù)

f

（

x

）的最小值為

f

（－1）＝0，則

f

（

x

）＝

?

?.解析：設(shè)函數(shù)

f

（

x

）的解析式為

f

（

x

）＝

a

（

x

＋1）2＝

ax

2＋2

ax

＋

a

（

a

≠0），又

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

＋1，所以

a

＝1，故

f

（

x

）＝

x

2＋2

x

＋1.x

2＋2

x

＋1

4.函數(shù)

y

＝

x

－3在區(qū)間[－2，0）上的值域?yàn)?/p>

?.

1.冪函數(shù)

y

＝

x

α在第一象限的兩個(gè)重要結(jié)論（1）恒過(guò)點(diǎn)（1，1）；（2）當(dāng)

x

∈（0，1）時(shí)，α越大，函數(shù)值越??；當(dāng)

x

∈（1，＋∞）

時(shí)，α越大，函數(shù)值越大.

2.已知函數(shù)

f

（

x

）＝－2

x

2＋

mx

＋3（0≤

m

≤4，0≤

x

≤1）的最大

值為4，則

m

＝

?.

PART2考點(diǎn)分類突破精選考點(diǎn)典例研析技法重悟通課堂演練冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A.2B.

－1

C

.

4D.2或－1解析：

依冪函數(shù)定義，

m

2－

m

－1＝1，∴

m

＝2或

m

＝－1，當(dāng)

m

＝2時(shí)，

f

（

x

）＝

x

－3在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，當(dāng)

m

＝－1時(shí)，

f

（

x

）＝

x

0＝1在（0，＋∞）上沒(méi)有單調(diào)性，舍去.∴

m

＝2.2.若冪函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的圖象過(guò)點(diǎn)（4，2），則冪函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的

大致圖象是（

）

A.

a

＜

c

＜

b

B.

a

＜

b

＜

c

C.

b

＜

c

＜

a

D.

b

＜

a

＜

c

1.判斷冪函數(shù)的圖象（在第一象限內(nèi)）（1）在區(qū)間（0，1）上，冪函數(shù)的指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近

x

軸

（簡(jiǎn)記：“指大圖低”），在（1，＋∞）上，冪函數(shù)的指數(shù)

越大，函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離

x

軸（簡(jiǎn)記：“指大圖高”）；（2）從函數(shù)曲線的形狀上看：當(dāng)0＜α＜1時(shí)，曲線上凸；當(dāng)α＞1

時(shí)，曲線下凸.當(dāng)α＜0時(shí)，冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，1），

在第一象限內(nèi)，曲線下凸.練后悟通2.在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借

助其單調(diào)性進(jìn)行比較.二次函數(shù)的解析式【例1】

（1）已知二次函數(shù)

f

（

x

）滿足

f

（2）＝－1，

f

（1－

x

）

＝

f

（

x

），且

f

（

x

）的最大值是8，則此二次函數(shù)的解析式

f

（

x

）＝

（

）A.－4

x

2＋4

x

＋7B.4

x

2＋4

x

＋7C.－4

x

2－4

x

＋7D.

－4

x

2＋4

x

－7

（2）（2024·六安一模）已知二次函數(shù)

y

＝

f

（

x

）的兩個(gè)零點(diǎn)為－1和

3，且方程

f

（

x

）＝4的兩根相等.則函數(shù)的解析式

f

（

x

）＝

?

?.－x

2＋2

x

＋3

解析：設(shè)

f

（

x

）＝

a

（

x

＋1）（

x

－3）（

a

≠0），且方程

f

（

x

）＝4的兩根相等，即

a

（

x

＋1）（

x

－3）＝4有兩相等實(shí)

根，化簡(jiǎn)可得，

ax

2－2

ax

－（3

a

＋4）＝0，即Δ＝4

a

2＋4

a

（3

a

＋4）＝0，解得

a

＝－1，所以

f

（

x

）＝－（

x

＋1）（

x

－3）

＝－

x

2＋2

x

＋3.解題技法求二次函數(shù)解析式的方法

1.已知

f

（

x

）為二次函數(shù)，且

f

（

x

）＝

x

2＋f'（

x

）－1，則

f

（

x

）

＝（

）A.

x

2－2

x

＋1B.

x

2＋2

x

＋1C.2

x

2－2

x

＋1D.2

x

2＋2

x

－1

－

x

2＋

x

＋2

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考向1

二次函數(shù)圖象的識(shí)別【例2】

（1）設(shè)函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2＋

x

＋

a

（

a

＞0），若

f

（

m

）＜

0，則（

）A.

f

（

m

＋1）≥0B.

f

（

m

＋1）≤0C.

f

（

m

＋1）＞0D.

f

（

m

＋1）＜0

（2）（多選）二次函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

（

a

≠0）的圖象如圖所示，

則下面結(jié)論中正確的是（

）A.2

a

＋

b

＝0B.4

a

－2

b

＋

c

＜0C.

b

2－4

ac

＞0D.當(dāng)

y

＜0時(shí)，

x

＜－1或

x

＞4

解題技法識(shí)別二次函數(shù)圖象應(yīng)學(xué)會(huì)“三看”考向2

二次函數(shù)的單調(diào)性與最值【例3】

（1）已知函數(shù)

f

（

x

）＝3

x

2－12

x

＋5，當(dāng)自變量在[－1，

1]內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)的最大值是

，最小值是

?；解析：作出函數(shù)

f

（

x

）＝3

x

2－12

x

＋5＝3（

x

－2）2－7的圖象如圖所示，由圖可知，函數(shù)

f

（

x

）在[－1，1]上單調(diào)遞減，在

x

＝－1處取得最大值，最大值為20；在

x

＝1處取得最小值，最小值為－4.20

－4

解：

f

（

x

）＝

x

2－2

x

＋2＝（

x

－1）2＋1，

x

∈[

t

，

t

＋1]，

t

∈R.

當(dāng)

t

＋1＜1，即

t

＜0時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）的圖象下圖①中實(shí)線所示，

函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間[

t

，

t

＋1]上單調(diào)遞減，所以最小值

g

（

t

）

＝

f

（

t

＋1）＝

t

2＋1；當(dāng)

t

≤1≤

t

＋1，即0≤

t

≤1時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）的圖象下圖②中實(shí)

線所示，最小值

g

（

t

）＝

f

（1）＝1；（2）已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

x

＋2，

x

∈[

t

，

t

＋1]，

t

∈R的最小值

為

g

（

t

），求

g

（

t

）的表達(dá)式.當(dāng)

t

＞1時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖③中實(shí)線所示，函數(shù)

f

（

x

）

在區(qū)間[

t

，

t

＋1]上單調(diào)遞增，所以最小值

g

（

t

）＝

f

（

t

）＝

t

2

－2

t

＋2.

解題技法求二次函數(shù)最值的常見(jiàn)類型及解題策略（1）軸定區(qū)間定時(shí)，二次函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最小值和最大

值，它們只能在區(qū)間的端點(diǎn)或二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)處取得（若

對(duì)稱軸不在給定區(qū)間內(nèi)，則只考慮端點(diǎn)）.分別求出函數(shù)值，通

過(guò)比較大小確定最值；（2）軸動(dòng)區(qū)間定時(shí)，當(dāng)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置不定時(shí)，應(yīng)通過(guò)分

類討論求解；（3）軸定區(qū)間動(dòng)時(shí)，從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)看，讓區(qū)間從左向右沿

x

軸正方

向移動(dòng)，分析移動(dòng)到不同位置時(shí)對(duì)最值有什么影響.借助圖形，

可以更直觀、清晰地解決問(wèn)題；（4）軸動(dòng)區(qū)間動(dòng)時(shí)，由于它們的變化相互制約，即對(duì)它們的制約關(guān)

系進(jìn)行討論.分類討論的標(biāo)準(zhǔn)為對(duì)稱軸與

x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在所

給區(qū)間內(nèi)和對(duì)稱軸與

x

軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)不在所給區(qū)間內(nèi).

1.若－1＜

a

＜0，

b

＞4，則函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2＋

bx

－

b

的圖象不經(jīng)過(guò)

（

）A.第一象限B.

第二象限C.第三象限D(zhuǎn).

第四象限

2.（2024·濟(jì)南模擬）設(shè)二次函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2－2

ax

＋

c

在區(qū)間[0，

1]上單調(diào)遞減，且

f

（

m

）≤

f

（0），則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

（

）A.（－∞，0]B.[2，＋∞）C.（－∞，0]∪[2，＋∞）D.[0，2]解析：

二次函數(shù)

f

（

x

）＝

ax

2－2

ax

＋

c

在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞

減，則

a

≠0，f'（

x

）＝2

a

（

x

－1）＜0，所以

a

＞0，即函數(shù)圖象

開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線

x

＝1.所以

f

（0）＝

f

（2），則當(dāng)

f

（

m

）

≤

f

（0）時(shí)，有0≤

m

≤2.3.（2024·西安模擬）已知函數(shù)

f

（

x

）＝－

x

2＋2

mx

＋

m

（

m

∈R）.

當(dāng)

x

∈[－1，1]時(shí)，設(shè)

f

（

x

）的最大值為

M

，則

M

的最小值為

?

?.

PART3微專題3一元二次方程根的分布

一元二次方程根的分布一般要考慮以下幾點(diǎn)：（1）一元二次函

數(shù)圖象的開(kāi)口方向；（2）一元二次函數(shù)相應(yīng)方程的根的判別式；

（3）一元二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系；（4）一元二次函數(shù)

在區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào).只要能準(zhǔn)確把握以上四點(diǎn)，這類問(wèn)題就能

夠順利解決.一、根據(jù)方程根的正負(fù)情況求參數(shù)【例1】

若關(guān)于

x

的方程

x

2－（

m

－1）

x

＋2－

m

＝0的兩根為正數(shù)

（包含等根），求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)方程根的正負(fù)情況求參數(shù)的常見(jiàn)類型及解題策略（以圖象

開(kāi)口向上為例）分布情況兩個(gè)負(fù)根（

x

1＜0，

x

2＜0）兩個(gè)正根（

x

1＞0，

x

2＞0）一正根一負(fù)根（

x

1＜0＜

x

2）大致圖象

得出的

結(jié)論

f

（0）＜0提醒

圖象開(kāi)口向下時(shí)，可將方程的二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)求解.

已知關(guān)于

x

的方程

x

2－2

x

＋

m

＝0的兩根同號(hào)，求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.

二、根據(jù)方程根與實(shí)數(shù)

k

（

k

≠0）的大小求參數(shù)【例2】

方程8

x

2－（

m

－1）

x

＋

m

－7＝0兩實(shí)根一個(gè)大于2，另一

個(gè)小于2，求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.解：設(shè)

f

（

x

）＝8

x

2－（

m

－1）

x

＋

m

－7，其大致圖

象如圖所示，方程的根一個(gè)大于2，另一個(gè)小于2，等價(jià)

于

f

（2）＜0，即8×22－（

m

－1）×2＋

m

－7＝27－

m

＜0.解得

m

＞27.點(diǎn)評(píng)

根據(jù)方程根與實(shí)數(shù)

k

（

k

≠0）的大小求參數(shù)的常見(jiàn)類型及解題

策略（以圖象開(kāi)口向上為例）分布情況兩根都小于

k

（

x

1

＜

k

，

x

2＜

k

）兩根都大于

k

（

x

1

＞

k

，

x

2＞

k

）一根小于

k

，一根大

于

k

（

x

1＜

k

＜

x

2）大致圖象

得出的

結(jié)論

f

（

k

）＜0

（2024·韶關(guān)模擬）函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－

mx

＋9的兩個(gè)不同的零點(diǎn)均大

于1的一個(gè)充分不必要條件是（

）A.

m

∈（2，6）B.

m

∈（6，8）C.

m

∈（6，10）D.

m

∈（6，＋∞）

三、根據(jù)方程根所在區(qū)間求參數(shù)【例3】

方程8

x

2－（

m

－1）

x

＋

m

－7＝0兩實(shí)根都在區(qū)間（1，3）

內(nèi)，求實(shí)數(shù)

m

的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)方程根所在區(qū)間求參數(shù)的常見(jiàn)類型及解題策略（以圖象開(kāi)

口向上為例）分布

情況兩根都在（

m

，

n

）內(nèi)兩根僅有一根在

（

m

，

n

）內(nèi)一根在（

m

，

n

）內(nèi)，

另一根在（

p

，

q

）

內(nèi)，

m

＜

n

＜

p

＜

q

大致

圖象

得出的結(jié)論

f

（

m

）

f

（

n

）＜0

關(guān)于

x

的方程

x

2＋2（

m

－1）

x

＋2

m

＋6＝0兩個(gè)實(shí)根

x

1，

x

2滿足

x

1＜

2，

x

2＞4，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是

?.

PART4課時(shí)跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力分層施練素養(yǎng)重提升課后練習(xí)

A.3B.

－3C.

D.

－

123456789101112131415162.已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

mx

－

m

＋2的值域?yàn)閇0，＋∞），則實(shí)數(shù)

m

＝（

）A.－2或1B.

－2C.1D.1或2解析：

因?yàn)?/p>

f

（

x

）＝

x

2－2

mx

－

m

＋2＝（

x

－

m

）2－

m

2－

m

＋2≥－

m

2－

m

＋2，且函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

mx

－

m

＋2的值域?yàn)?/p>

[0，＋∞），所以－

m

2－

m

＋2＝0，解得

m

＝－2或

m

＝1.123456789101112131415163.函數(shù)

y

＝1－｜

x

－

x

2｜的圖象大致是（

）

12345678910111213141516

A.［0，

］B.

［

，＋∞）C.［0，

］D.

［

，＋∞）

123456789101112131415165.（多選）已知函數(shù)

y

＝

x

α（α∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，27），下列說(shuō)

法正確的是（

）A.函數(shù)

y

＝

x

α的圖象過(guò)原點(diǎn)B.函數(shù)

y

＝

x

α是奇函數(shù)C.函數(shù)

y

＝

x

α是減函數(shù)D.函數(shù)

y

＝

x

α的值域?yàn)镽12345678910111213141516解析：

因?yàn)楹瘮?shù)

y

＝

x

α（α∈R）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，27），所

以27＝3α?α＝log327＝3?

y

＝

f

（

x

）＝

x

3，A項(xiàng)，因?yàn)?/p>

f

（0）＝

0，所以函數(shù)

y

＝

x

3的圖象過(guò)原點(diǎn)，因此A正確；B項(xiàng)，因?yàn)?/p>

f

（－

x

）＝（－

x

）3＝－

x

3＝－

f

（

x

），所以函數(shù)

y

＝

x

3是奇函數(shù)，因

此B正確；C項(xiàng)，因?yàn)?/p>

y

＝

x

3在實(shí)數(shù)集上是增函數(shù)，所以C不正確；

D項(xiàng)，因?yàn)?/p>

y

＝

x

3的值域是全體實(shí)數(shù)集，所以D正確.故選A、B、D.123456789101112131415166.（多選）由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見(jiàn)到如下文字：“已知

二次函數(shù)

y

＝

ax

2＋

bx

＋

c

的圖象過(guò)點(diǎn)（1，0），…，求證：這個(gè)二

次函數(shù)的圖象關(guān)于直線

x

＝2對(duì)稱.”根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函

數(shù)可能具有的性質(zhì)是（

）A.在

x

軸上截得的線段的長(zhǎng)度是2B.與

y

軸交于點(diǎn)（0，3）C.頂點(diǎn)是（－2，－2）D.過(guò)點(diǎn)（3，0）12345678910111213141516

123456789101112131415167.已知冪函數(shù)

f

（

x

）的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x

1

f

（

x

）1

則不等式

f

（｜

x

｜）≤2的解集是

?.

[－4，4]

123456789101112131415168.已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

ax

＋2，

x

∈[－1，1]，求函數(shù)

f

（

x

）的

最小值.解：

f

（

x

）＝

x

2－2

ax

＋2＝（

x

－

a

）2＋2－

a

2，

x

∈[－1，1].當(dāng)

a

≥1時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖①中實(shí)線所示，函數(shù)

f

（

x

）在

區(qū)間[－1，1]上單調(diào)遞減，最小值為

f

（1）＝3－2

a

；12345678910111213141516當(dāng)－1＜

a

＜1時(shí)，函數(shù)

f

（

x

）的圖象如圖②中實(shí)線所示，函數(shù)

f

（

x

）在區(qū)間[－1，

a

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（

a

，1]上單調(diào)遞增，

最小值為

f

（

a

）＝2－

a

2；12345678910111213141516

12345678910111213141516

9.（2024·南京一模）已知二次函數(shù)

y

＝

x

2－4

x

＋

a

的兩個(gè)零點(diǎn)都在區(qū)

間（1，＋∞）內(nèi)，則

a

的取值范圍是（

）A.（－∞，4）B.

（3，＋∞）C.（3，4）D.

（－∞，3）

12345678910111213141516

A.充分不必要條件B.

必要不充分條件C.充要條件D.

既不充分也不必要條件12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.0B.1C.

D.212345678910111213141516

1234567891011121314151612.（多選）（2024·青島一模）已知函數(shù)

f

（

x

）＝

x

2－2

x

＋

a

有兩個(gè)

零點(diǎn)

x

1，

x

2，以下結(jié)論正確的是（

）A.

a

＜1B.若

x

1

x

2≠0，則

C.

f

（－1）＝

f

（3）D.函數(shù)

y

＝

f

（｜

x

｜）有四個(gè)零點(diǎn)12345678910111213141516

1234567891011121314151613.已知關(guān)于

x

的方程

ax

2＋

x

＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大

于1，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是

?.解析：關(guān)于

x

的方程

ax

2＋

x

＋2＝0對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)函數(shù)為

f

（

x

）

＝

ax

2＋

x

＋2，若

a

＞0，即圖象開(kāi)口向上，

ax

2＋

x

＋2＝0的兩個(gè)

實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1，只需

f

（0）＜0，且

f

（1）＜0，

即2＜0且

a

＋3＜0，則

a

∈?；若

a

＜0，即函數(shù)圖象開(kāi)口向下，

ax

2＋

x

＋2＝0的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于0，另一個(gè)大于1，只需

f

（0）＞

0，且

f

（1）＞0，即2＞0且

a

＋3＞0，則－3＜

a

＜0.綜上可得

a

的

取值范圍是（－3，0）.（－3，0）

1234567891011121314151614.現(xiàn)有三個(gè)條件：①對(duì)任意的

x

∈R都有

f

（

x

＋