第三章：單自由度體系的自由振動

自由振動：結構受到擾動離開平衡位置以后，不再受任何外力影響的振動過程。

運動方程：擾動的表現：

3.1無阻尼自由振動

無阻尼：c=0自由振動：p(t)=0運動方程：初始條件：

3.1無阻尼自由振動

設無阻尼自由振動解的形式為：

其中：s

為待定系數；A

為常數系數方程：兩個虛根：

3.1無阻尼自由振動

運動方程的通解為：

指數函數與三角函數的關系：運動方程的解：A，B—待定常數，由初始條件確定。3.1無阻尼自由振動

將位移

和速度帶入初始條件：得待定常數為：3.1無阻尼自由振動

體系無阻尼自由振動的解

其中無阻尼振動是一個簡諧運動（Simpleharmonicmotion）

ωn——圓頻率

3.1無阻尼自由振動

圖3.1

無阻尼體系的自由振動

形式2：3.1無阻尼自由振動

結構自振頻率和自振周期

自振頻率：Naturalfrequency(ofvibration)

自振周期：NaturalPeriod(ofvibration)

——結構的重要動力特性3.1無阻尼自由振動

結構自振頻率和自振周期及其關系

自振圓頻率：(單位：弧度/秒,rad/s)自振周期：(單位：秒,sec)自振頻率：(單位：周/秒,赫茲,Hz)第3章單自由度體系的自由振動

3.2有阻尼自由振動

運動方程：初始條件：

3.2有阻尼自由振動

令u(t)=est，代入運動方程

得：

3.2有阻尼自由振動

u(t)=est

當：

體系不發(fā)生往復的振動當：

體系產生往復的振動

使：成立的阻尼c稱為臨界阻尼臨界阻尼記為ccr：

微分方程的特征方程有兩個相同的實根，方程的解為A、B為待定系數，由初始條件確定對于臨界阻尼情況3.2有阻尼自由振動

臨界阻尼體系的自由振動

3.2有阻尼自由振動

1.臨界阻尼和阻尼比

臨界阻尼：體系自由振動反應中不出現往復振動所需的最小阻尼值。臨界阻尼完全由結構的剛度和質量決定的常數。阻尼比：阻尼系數c和臨界阻尼ccr的比值，用ζ表示

3.2有阻尼自由振動

（1）當ζ＜1時，稱為低阻尼（Underdamped），結構體系稱為低阻尼體系（2）當ζ＝1時，稱為臨界阻尼（Criticallydamped）（3）當ζ＞1時，稱為過阻尼（Overdamped），結構體系稱為過阻尼體系。

對于鋼結構：

鋼筋混凝土結構：

3.2有阻尼自由振動

低阻尼、臨界阻尼和高阻尼體系的自由振動曲線3.2有阻尼自由振動

2.低阻尼體系（UnderdampedSystems）

將：代入：得：

低阻尼體系滿足初始條件的自由振動解：其中：

ωD—阻尼體系的自振頻率

3.2有阻尼自由振動

ωD—阻尼體系的自振頻率

TD—阻尼體系的自振周期

ωn和Tn分別為無阻尼體系的自振頻率和自振周期(1)阻尼的存在使體系自由振動的自振頻率變小(2)阻尼的存在使體系的自振周期變長，當ζ＝1時，自振周期TD=∞。

3.2有阻尼自由振動

現場實測：ωD

和TD理論計算：ωn

和Tn工程中結構的阻尼比ζ在1—5%之間，一般不超過20%，因此可以用有阻尼體系的結果代替無阻尼結果。阻尼對自振頻率和自振周期的影響3.2有阻尼自由振動

(1)低阻尼體系的阻尼對結構自由振動的影響很大，因而，合理地確定體系的阻尼是結構動力問題研究中的一項重要工作。(2)由于阻尼對體系的衰減自由振動曲線影響大，通過對體系衰減曲線的分析，可以有效地分辨出不同體系的阻尼比。3.2有阻尼自由振動

3.運動的衰減和阻尼比的測量

相鄰振動峰值比：

3.2有阻尼自由振動

對數衰減率δ:

阻尼比計算公式：小阻尼時計算公式：3.2有阻尼自由振動

相隔j周的振動峰值比：對數衰減率：阻尼比：J50%—振幅衰減至50%所需的次數經驗表明，振幅減少到50％，臨界阻尼比等于10％、5％、2％時，所需循環(huán)次數分別為1、2、4。3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

阻尼比ζ的測量（當ζ＜20%時）：用位移記錄：用加速度記錄：結構的自振周期TD的測量：用相鄰振幅的時間間隔來計算：

3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

算例3.1

用自由振動法研究一單層框架結構的性質，用一鋼索給結構的屋面施加P=73kN的水平力，使框架結構產生Δst=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結構自由振動，經過2.0sec，結構振動完成了4周循環(huán)，振幅變?yōu)?.5cm。從以上數據計算：①阻尼比ζ；②無阻尼自振周期Tn；③等效剛度k；④等效質量m；⑤阻尼系數c；⑥位移振幅衰減到0.5cm時所需的振動周數。3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

解：① 計算阻尼比ζ

ui=5.0cm，j=4，ui+j=2.5cm代入方程：得：結構屬于小阻尼體系3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

解：②計算無阻尼自振周期Tn

(振動周次：4；時間：2秒)有阻尼自振周期：無阻尼自振周期：對于小阻尼體系，自振周期近似等于無阻尼自振周期

3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

解：③計算等效剛度k(外荷載P=73kN，靜位移Δst=0.05m)

④等效質量m3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

解：⑤阻尼系數c

3.2有阻尼自由振動

4.自由振動試驗

解：⑥位移振幅衰減到0.5cm時所需的振動周數

3.3自由振動過程中的能量

SDOF體系中能量來源:初始位移和初始速度體系初始時刻具有的總能量:任意t時刻體系的總能量:其中,質點的動能EK和彈簧的應變能ES

：

3.3自由振動過程中的能量

無阻尼體系中的能量:

無阻尼體系自由振動過程中的總能量守恒，不隨時間變化，等于初始時刻輸入的能量。

3.3自由振動過程中的能量

有阻尼體系中的能量:

在0至t時刻由粘性阻尼耗散的能量ED為：

阻尼在體系振動過程中始終在消耗能量t→∞體系中的總能量將完全被阻尼所消耗當t→∞時，ED=EI

3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動

具有庫侖摩擦阻尼的彈簧—質點體系

(b)：(c)：其中

-特解-無阻尼自由振動頻率3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動

設在初始時刻t=0初始條件為：在第一個半周循環(huán)（0≤t≤Tn/2）：由初始條件：

振動解：一個余弦函數，振幅為u(0)－uF，但其中軸向上偏移uF

當t=π/ωn(=Tn/2)時，質點達到負向最大值：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動

在第二個半周循環(huán)（Tn/2≤t≤Tn）：在時刻t=Tn/2的條件為：由初始條件：

振動解：振動的振幅為u(0)－3uF，但其中軸向下偏移uF

當t=2π/ωn(=Tn)時：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動

在第三個半周循環(huán)（T≤t≤3Tn/2）：○○○在每一周循環(huán)中，振幅衰減了4uF

：3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動

具有庫侖摩擦阻尼的彈簧—質點體系的自由振動時程3.4庫侖（Coulomb）阻尼自由振動