電子光學1.

緒論2.

第一章幾何光學基礎

3.

第二章電子在均勻場中的運動4.

第三章電子光學系統(tǒng)中的場5.

第四章

電子軌跡方程6.

第五章場和電子軌跡的求解7.

第六章強流電子光學第四章電子軌跡方程教師：劉迎輝電子科技大學物電學院章節(jié)組織4.1電動力學法推導軌跡方程

4.1.1直角坐標系中的軌跡方程

4.1.2圓柱坐標系中的軌跡方程

4.1.3旋轉對稱量的守恒定理4.2光學方法推導軌跡方程

4.2.1電子靜場運動與光傳播相似

4.2.2電子光學折射率

4.2.3由折射率推導軌跡方程4.3相對論修正下的普遍軌跡方程4.4軸對稱復合場的高斯軌跡方程和傍軸軌跡方程第四章電子軌跡方程一、電子運動方程

——包含x（t）、y（t）、z(t)的描述電子運動的微分方程式二、電子軌跡方程 ——不含參變量t的描述電子運動軌跡的微分方程式。電子軌跡在均勻靜電場中為拋物線電子運動方程電子軌跡方程第四章電子軌跡方程分析方法：一、電動力學方法：直接從電子運動微分方程（由洛倫茲方程得出）出發(fā)，利用能量守恒定律消去參變量t，得到軌跡方程的方法二、光學方法：基于分析力學中的最小作用原理，利用“電子光學折射率”得到軌跡方程的方法電子運動方程非相對論條件下的電子運動方程：電子運動方程在直角坐標系下的展開:4.1電動力學法推導軌跡方程

4.1.1直角坐標系中的軌跡方程由電子在均勻電磁場中的能量變化方程：積分可得：物理意義如圖所示：已知一平板二極管，陰極C的電位為φo，電子以初速度vo從陰極Po點出發(fā)運動到P1點，P1點電位為φ14.1.1直角坐標系中的軌跡方程4.1.1直角坐標系中的軌跡方程電子運動速度可以通過空間電位來表示，下式4.1.1直角坐標系中的軌跡方程得能量守恒關系式：經(jīng)過整理得到如下的軌跡分量式：關于z的x方向軌跡方程：y方向上分量方程：4.1.1直角坐標系中的軌跡方程4.1.2圓柱坐標系下的軌跡方程圓柱坐標系下，各矢量關系：4.1.2圓柱坐標系下的軌跡方程得能量守恒關系式：4.1.2圓柱坐標系下的軌跡方程經(jīng)過整理得到如下的r方向上和角向的軌跡分量式：（1）（2）r方向上角向上4.1.3旋轉對稱E、B場中角動量（矩）守恒定理布虛/布許（Busch）定理：在旋轉對稱電、磁場中，電子運動的角動量守恒。（3）1.由（3）式可知，電子在旋轉對稱電磁場中的角動量守恒2.電子的角動量由兩部分組成（A）初始角動量（B）由磁場產(chǎn)生的角動量3.當電子的初始角動量為0時，電子對軸的旋轉角動量完全是由r0A0

到rA的變化產(chǎn)生的，即電子切割磁力線管產(chǎn)生的。4.電子沿磁力線管壁運動時，角動量不變。5.電子進入、離開磁場時，處于等rA線管上，角動量不變。初始條件4.2光學方法推導電子軌跡方程光在媒質中的運動遵循費馬原理：費馬原理的具體表達式——斯涅爾定律：分析力學基礎哈密頓原理

Hamiltonprinciple適用于受理想約束的完整保守系統(tǒng)的重要積分變分原理。W.R.哈密頓于1834年發(fā)表。其數(shù)學表達式為：式中L＝T－U為拉格朗日函數(shù)，T為系統(tǒng)的動能，U為它的勢函數(shù)。哈密頓原理可敘述為：拉格朗日函數(shù)從時刻t1到t2的時間積分的變分等于零。它指出，受理想約束的保守力學系統(tǒng)從時刻t1的某一位形轉移到時刻t2的另一位形的一切可能的運動中，實際發(fā)生的運動使系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)在該時間區(qū)間上的定積分取駐值，大多取極小值。由哈密頓原理可以導出拉格朗日方程。哈密頓原理不但數(shù)學形式緊湊，且適用范圍廣泛。如替換L的內容，就可擴充用于電動力學和相對論力學。此外，也可通過變分的近似算法，用哈密頓原理直接求解力學問題。莫培督原理：4.2.1電子運動與光傳播的相似性理論基礎——分析力學一、哈密頓（Hamilton）原理：每一個力學系統(tǒng)都由一個確定的函數(shù)L(q,dq/dt,t)來表征。（4）如果該力學系統(tǒng)在時刻t1和t2各自具有廣義坐標q(t1)、q(t2)所確定的位置，它在兩個時刻之間的積分：

那么該力學系統(tǒng)將以取極值的方式運動。哈密頓原理使（4）式取極值的條件是，變分為0：（5）滿足上式的拉格朗日L，也滿足歐-拉方程：(6)此時：拉格朗日函數(shù)可以表示為：L=T-U，其中，T表示力學系統(tǒng)的動能，U表示位能。當已知力學系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)時，（6）式即是力學系統(tǒng)的運動微分方程組。

力學規(guī)律：拉格朗日方程1.解方程得到運動規(guī)律；2.得到守恒量。廣義坐標：廣義速度：由和組成一些不隨時間變化的量(守恒量)守恒量求運動方程的解；分析解的性質。

比較：拉格朗日方程和牛頓方程定義：——廣義動量

——廣義力

例子1：對在保守場中運動的單個質點，有

——直角坐標系廣義動量——通常的動量廣義力——通常的力能量一般情況：

——顯含時間變量t

例：處于隨時間變化的外場中的系統(tǒng)，其拉格朗日函數(shù)為——L顯含時間變量t

——系統(tǒng)與外力場的源必有能量交換，

系統(tǒng)不是保守系。對保守系，L不明顯含變量t，則。

拉格朗日方程：定義：——機械能(能量)顯然：——保守系統(tǒng)的能量守恒

在直角坐標系中，動能只是速度的函數(shù)，不是坐標的函數(shù)，但在廣義坐標系中，動能，則

動能T是廣義速度的二次齊次式。例：有心力場中動能動能T是廣義速度的二次齊次式。通常：動能都是廣義速度的二次齊次式。

根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，如果是s個變量的n次齊次式，則由于動能T是廣義速度的二次齊次函數(shù)，則有而

所以

——機械能等于動能與勢能之和結論：對于保守系統(tǒng)，在運動過程中，機械能保持不變。莫培督原理當力學系統(tǒng)能量守恒：T+U=E=const，有：L＝2T-E，代入（4）式，經(jīng)過整理得：（7）其中，ds為積分弧元，P代表廣義動量，（8）因此有：使（8）式為零的表述——莫培督（Maupertuis）原理哈密頓原理與莫培督原理1.哈密頓原理適用范圍廣（包括時變場），莫培督原理只限于靜場2.就限制條件而言，哈氏原理需要確定時間和位置，而莫氏原理需要確定位置，且要求總能量守恒。哈密頓原理與莫培督原理3.由哈密頓原理導出的微分方程是電子運動方程，而莫培督原理導出的微分方程為電子軌跡方程。（9）（10）其中，（11）電子運動與光傳播得相似性光在媒質中的運動和電子在保守場中的運功具有極大的相似性，數(shù)學表述為：其中，動量P也稱為電子光學折射率這種相似性是建立電子光學的理論依據(jù)4.2.2普遍情況下的電子光學折射率由前面所述分析，我們只需要找到電子在靜場中運動的拉格朗日函數(shù)L，利用（11）式，求得廣義動量，即電子光學折射率，將其代入歐拉方程，即可得到電子在場中運動的軌跡方程。4.2.2.1電子在靜場中的L在廣義坐標系（q1,q2,q3）中，廣義力Qi可以表示為：其中，T表示動能。Qi代表力在廣義坐標系中的分量（12）（13）4.2.2.1電子在靜場中的L設有一個函數(shù)U，使得Qi滿足如下方程：聯(lián)立（12）、（14）式，有：（14）顯然：T-U即是拉格朗日函數(shù)4.2.2.1電子在靜場中的L由此，確立尋找拉格朗日函數(shù)L的途徑：由洛倫茲方程出發(fā)，找到Qi的表達式，并使其符合（14）式的形式，求得U，由于T是已知的，因此我們可以求得L。用電位和磁矢位表示電場和磁場，并考慮電子運動產(chǎn)生的自磁場得：4.2.2.1電子在靜場中的L得力分量Fx：（16）（17）經(jīng)過等式變換整理得：4.2.2.1電子在靜場中的L同理可得Fy，F(xiàn)z分量表達式:由4.2.2.1電子在靜場中的L比較：（18）可得：從而得到電子在靜場中的拉格朗日函數(shù)：（19）4.2.2.2電子光學折射率電子光學折射率ne——廣義動量P：其中so表示運動方向上得單位矢量。因而，求得電子折射率ne（20）顯然，上式的第一項體現(xiàn)了電場對電子運動的作用。第二項體現(xiàn)了電磁場的聯(lián)合作用。因為so的方向是兩場聯(lián)合決定的。4.2.3由ne推導軌跡方程步驟：1.先求得廣義坐標系下軌跡方程2.通過拉梅系數(shù)獲得常用坐標系下的軌跡方程。光學中，費馬原理成立的條件是折射率滿足歐拉方程：（21）其中，上式表示在廣義正交曲線系中以弧長s為獨立變量的電子軌跡方程。而實際應用中，我們需要以合適的變量u為獨立變量：（22）4.2.3.1廣義正交坐標系下軌跡方程顯然：廣義坐標系中弧元：又因為矢量so是運動方向上的單位矢量，也即是曲線s的切線方向上的單位矢量，即：所以有：（23）（24）4.2.3.1廣義正交坐標系下軌跡方程所以有：選取u為獨立變量：所以有：4.2.3.1廣義正交坐標系下軌跡方程顯然有：比較：因此，在廣義坐標系下，以u為獨立變量的軌跡方程為：（25）4.2.3.1廣義正交坐標系下軌跡方程4.2.3.2常用坐標系下軌跡方程1.直角坐標系（x,y,z）下：將上式代入（25）式4.2.3.2常用坐標系下軌跡方程得，關于z的x方向軌跡方程：和，y方向上分量方程：4.2.3.2常用坐標系下軌跡方程2.圓柱坐標系下的軌跡方程：注意：4.2.3.2常用坐標系下軌跡方程同理得到r和角向方向上關于z的軌跡方程：4.3相對論修正下的普遍軌跡相對論修正下，洛倫茲方程為：上式兩端同時點乘速度矢量v，得上式左邊為：（26）（27）（28）4.3相對論修正下的普遍軌跡所以有：即：規(guī)范化電位條件下：由前面所得電子光學折射率：則：將mv進行相對論修正，即可得到相對論條件下的電子光學折射率。（29）（30）能量守恒相對論修正下的4.3相對論修正下的普遍軌跡聯(lián)立（29）、（30）得：令相對論修正電位(約化電位)：除以化簡后，得到相對論修正下的電子光學折射率：（31）4.3相對論修正下的普遍軌跡同理，只需要將F函數(shù)中電位換為相對論修正下的電位，將其代入歐拉方程，即可得到相對論修正下的電子軌跡方程：圓柱坐標系下直角坐標系（x,y,z）下：4.3相對論修正下的普遍軌跡y方向分量式：x方向分量：4.4高斯軌跡eq和傍軸軌跡eq高斯軌跡方程：軸對稱場的近軸區(qū)有會聚電子的能力，為了簡化方程求解，略去場表達式中和軌跡方程中r2項和r’2項及其更次高項，這樣簡化的方程即是高斯軌跡方程。因此有：4.4.1