第五節(jié)數(shù)列求和高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能夠利用公式求數(shù)列的

前n項(xiàng)和.2.

會(huì)求一些非等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修

數(shù)列求和的常用方法

（2）分組轉(zhuǎn)化法：一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)

列或可求和的數(shù)列組成的，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和后再

相加減；（3）并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并

項(xiàng)求和.形如an＝（－1）nf（n）類型，可采用兩項(xiàng)合并求解；（4）裂項(xiàng)相消法：把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)

可以相互抵消，從而求得前n項(xiàng)和；（5）錯(cuò)位相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)

列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法；（6）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩

項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相

加法.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）

√√√2.

數(shù)列{1＋2n－1}的前n項(xiàng)和為（

）A.1＋2nB.2＋2nC.

n＋2n－1D.

n＋2＋2n

√3.

數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝（－1）n·（2n－1），則該數(shù)列的前100項(xiàng)

和為（

）A.

－200B.

－100C.200D.100解析：

根據(jù)題意有S100＝－1＋3－5＋7－9＋11－…－197＋199＝2×50

＝100.故選D.

√

99

5.

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn且an＝n·2n，則Sn＝

?

?.

（n－1）2n＋1＋

2

PART02考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

分組求和與并項(xiàng)求和（師生共研過關(guān)）

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1（n∈N*）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解：

因?yàn)镾n＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2（Sn＋1），又S1＋1＝a1＋1＝2，所以數(shù)列{Sn＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以Sn＋1＝2×2n－1＝2n，即Sn＝2n－1，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2n－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1滿足上式，故an＝2n－1，n∈N*.（2）設(shè)bn＝anan＋1＋log2（anan＋1）（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和

Tn.

解題技法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型

（2025·山東名校聯(lián)盟開學(xué)考）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an＋2n.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）bn＝（－1）n（an＋n－1），求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和S2n.

裂項(xiàng)相消法求和（師生共研過關(guān)）

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，nSn＋1＝（n＋2）Sn.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

解題技法裂項(xiàng)相消法求和的步驟提醒消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第

幾項(xiàng).

（2024·浙江金麗衢十二校聯(lián)考）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且

2Sn＝2an＋n2－1.（1）求an；解：

因?yàn)?Sn＝2an＋n2－1，

①所以當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝2an－1＋（n－1）2－1，

②

錯(cuò)位相減法求和（師生共研過關(guān)）

（2024·全國甲卷理18題）記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知4Sn＝

3an＋4.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；解：

因?yàn)?Sn＝3an＋4，

①所以當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝3an－1＋4，

②則當(dāng)n≥2時(shí)，①－②得4an＝3an－3an－1，即an＝－3an－1.當(dāng)n＝1時(shí)，由4Sn＝3an＋4得4a1＝3a1＋4，所以a1＝4≠0，所以數(shù)列{an}是以4為首項(xiàng)，－3為公比的等比數(shù)列，所以an＝4×（－3）n－1.（2）設(shè)bn＝（－1）n－1nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

解題技法錯(cuò)位相減法求和的步驟提醒

（1）在寫出Sn與qSn的表達(dá)式時(shí)，應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)位對(duì)齊”，

以便下一步準(zhǔn)確寫出Sn－qSn；（2）作差后，等式右邊由第一項(xiàng)、中間n－1項(xiàng)的和式、最后一項(xiàng)三部分

組成；（3）運(yùn)算時(shí)，經(jīng)常把b2＋b3＋…＋bn這n－1項(xiàng)和看成n項(xiàng)和，把－anbn＋1

寫成＋anbn＋1導(dǎo)致錯(cuò)誤.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

123456789101112131415161718192020222324251.

設(shè)數(shù)列{an}（n∈N*）的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，log2an＋1＝1＋

log2an，且a3＝4，則S6＝（

）A.128B.65C.64D.63

√

A.

B.

C.

D.

√

3.

在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），則該數(shù)

列的前100項(xiàng)之和是（

）A.18B.8C.5D.2解析：

因?yàn)閍1＝1，a2＝3，an＋2＝an＋1－an（n∈N*），所以a3＝3－1

＝2，a4＝2－3＝－1，a5＝－1－2＝－3，a6＝－3＋1＝－2，a7＝－2＋3

＝1，a8＝1＋2＝3，a9＝3－1＝2，…，所以{an}是周期為6的周期數(shù)列，

因?yàn)?00＝16×6＋4，所以S100＝16×（1＋3＋2－1－3－2）＋（1＋3＋2

－1）＝5.故選C.

√

A.

－44B.

－

C.

D.11√

5.

〔多選〕（2025·安徽一模）已知數(shù)列{an}滿足a1＋2a2＋…＋2n－1an＝

n·2n，則（

）A.

an＝n＋1B.

{an}的前n項(xiàng)和為

C.

{（－1）nan}的前100項(xiàng)和為100D.

{｜an－5｜}的前30項(xiàng)和為357√√

6.

〔多選〕已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋2＝（－1）n＋1·（an－n）＋

n，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則（

）A.

a48＋a50＝100B.

a50－a46＝4C.

S48＝600D.

S49＝601√√√

1

033

8.

已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝4，an＋2－an＝（－1）n＋3，則數(shù)列

{an}的前10項(xiàng)和為

?.

90

（1）證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；

（2）若數(shù)列{cn}滿足cn＝bn＋（－1）n（3n－1），求數(shù)列{cn}的前2n

項(xiàng)和T2n.

10.

（2024·杭州二模）設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋bn＋1＝

2n，an＋1＋bn＝2n.設(shè)Sn為數(shù)列{an＋bn}的前n項(xiàng)的和，則S7＝（

）A.110B.120C.288D.306解析：

由an＋bn＋1＝2n，an＋1＋bn＝2n得an＋bn＋an＋1＋bn＋1＝2n＋

2n.所以S7＝a1＋b1＋a2＋b2＋a3＋b3＋a4＋b4＋a5＋b5＋a6＋b6＋a7＋b7

＝1＋1＋2×2＋22＋2×4＋24＋2×6＋26＝110，故選A.

√

A.1

013B.1

022C.2

036D.2

037√

12.

〔多選〕設(shè)正整數(shù)n＝a0·20＋a1·21＋…＋ak－1·2k－1＋ak·2k，其中

ai∈{0，1}，記ω（n）＝a0＋a1＋…＋ak，則（

）A.

ω（2n）＝ω（n）B.

ω（2n＋3）＝ω（n）＋1C.

ω（8n＋5）＝ω（4n＋3）D.

ω（2n－1）＝n√√√

log2（n＋1）

（1）寫出a2，a3，a4；

（2）證明