第五節(jié)不等式中的恒（能）成立問題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點解讀

用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒（能）成立問題的常用方法有分離參數(shù)法、分類

討論法、拆解法等，其解題思路是構(gòu)造新函數(shù)分類討論，將不等式恒

（能）成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題處理.目錄CONTENTS考點·分類突破01.課時·跟蹤檢測02.PART01考點·分類突破精選考點|課堂演練

分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題（師生共研過關(guān)）

（2024·邵陽第二次聯(lián)考節(jié)選）設(shè)函數(shù)f（x）＝m（x＋1）ex，m＞

0.若對任意x∈（－1，＋∞），有l(wèi)n

f（x）≤2ex恒成立，求m的最大值.解：ln

f（x）≤2ex對任意x∈（－1，＋∞）恒成立，即ln

m≤2ex－ln（x

＋1）－x對任意x∈（－1，＋∞）恒成立.令g（x）＝2ex－ln（x＋1）－x，x∈（－1，＋∞），則只需ln

m≤g

（x）min即可.

∴g（x）min＝g（0）＝2.故ln

m≤2＝ln

e2，∴0＜m≤e2，故m的最大值

為e2.解題技法

分離參數(shù)法是將含參不等式中的參數(shù)通過恒等變形，使參數(shù)與其變量

分離的一種方法.一般地，若a＞f（x）對x∈D恒成立，則只需a＞f

（x）max；若a＜f（x）對x∈D恒成立，則只需a＜f（x）min.若存在

x0∈D，使a＞f（x0）成立，則只需a＞f（x）min；若存在x0∈D，使a

＜f（x0）成立，則只需a＜f（x）max.由此構(gòu)造不等式，求參數(shù)的范圍.

（2）若f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分類討論法解決恒（能）成立問題（師生共研過關(guān)）

已知函數(shù)f（x）＝x[（a－1）ex－a]＋ex，若對于任意的x≤0，

都有f（x）≥1，求實數(shù)a的取值范圍.解：對于任意的x≤0，都有f（x）≥1，即x[（a－1）·ex－a]＋ex－

1≥0，令g（x）＝x[（a－1）ex－a]＋ex－1，則g'（x）＝（a－1）·xex＋a

（ex－1），且對于任意的x≤0，都有g(shù)（x）≥0.①當(dāng)a≥1，x≤0時，（a－1）xex≤0，a（ex－1）≤0，所以g'（x）

≤0，所以g（x）在（－∞，0]上單調(diào)遞減，所以g（x）≥g（0）＝0，

符合題意；

解題技法

根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關(guān)鍵是將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問

題，此類問題關(guān)鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，

并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內(nèi)的函數(shù)值不

滿足題意即可.

拆解法求解雙變量的恒（能）成立問題（師生共研過關(guān)）

（1）如果存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）－g（x2）≥M成立，求滿

足上述條件的最大整數(shù)M；

x（0，

）?

（

，2）g'（x）－0＋g（x）↘極小值↗

x［

，1）1（1，2]h'（x）＋0－h(huán)（x）↗極大值↘所以a≥h（x）max＝h（1）＝1，故實數(shù)a的取值范圍是[1，＋∞）.解題技法

“雙變量”的恒（能）成立問題可以拆解求參數(shù)，進行等價變換，常

見的拆解轉(zhuǎn)換有：（1）?x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）max；（2）?x1∈D1，?x2∈D2，f（x1）＞g（x2）?f（x）min＞g（x）min；（3）?x1∈D1，?x2∈D2，f（x1）＞g（x2）?f（x）max＞g（x）max.

已知函數(shù)f（x）＝aex－4，g（x）＝ln

x－x－1，其中e為自然對數(shù)的底

數(shù)，a∈R.

若對任意的x2∈（0，1]，總存在x1∈（0，1]，使得f（x1）

≥g（x2），求a的取值范圍.

PART02課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

A.

[e，＋∞）B.

[1，＋∞）C.

［

，＋∞）D.

[2e，＋∞）√12345678910111213141516171819202022232425

2.

設(shè)函數(shù)f（x）＝ex（2x－1）－ax＋a，其中a＜1，若存在唯一的整

數(shù)x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（

）A.

［－

，1）B.

［－

，

）C.

［

，

）D.

［

，1）√

A.

B.

C.

D.

√

5.

已知函數(shù)f（x）＝－ax2＋ln

x（a∈R）.若存在x∈（1，＋∞），f

（x）＞－a，求a的取值范圍.

解：

由題設(shè)知f'（x）＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞）上恒成立，