第七節(jié)用空間向量研究線、面位置關系及距離高中總復習·數(shù)學課標要求

1.

理解直線的方向向量與平面的法向量.2.

能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行

關系.3.

能用向量方法證明立體幾何中有關直線、平面位置關系的一些簡單

定理.4.

能用向量方法解決點到直線、點到平面、相互平行的直線、相互平行的

平面的距離問題.5.

通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

直線的方向向量與平面的法向量（1）直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l

平行或重合，稱此向量a為直線l的方向向量；（2）平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，稱向量a為平面

α的法向量.2.

空間位置關系的向量表示位置關系向量表示直線l1，l2的方向向量分

別為u1，u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R，使得u1＝

λu2l1⊥l2u1⊥u2?

＝0直線l的方向向量為u，

平面α的法向量為nl∥αu⊥n?u·n＝0l⊥αu∥n??λ∈R，使得u＝λnu1·u2

位置關系向量表示平面α，β的法向量分別

為n1，n2α∥βn1∥n2??λ∈R，使得n1＝

λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2＝0

（3）直線到平面的距離、平面到平面的距離都可以轉化為點到平面的距離.

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）直線的方向向量是唯一確定的.

（

×

）（2）若一條直線的方向向量與平面的法向量垂直，則該直線與平面平行.

（

×

）（3）兩個平面的法向量垂直，則這兩個平面垂直.

（

√

）

××√×2.

（人A選一P31練習2題改編）已知向量a＝（2，4，5），b＝（3，x，

y）分別是直線l1，l2的方向向量，若l1∥l2，則（

）A.

x＝6，y＝15B.

x＝3，y＝

C.

x＝3，y＝15D.

x＝6，y＝

√3.

（人A選一P28例1改編）已知平面α內有兩點M（1，－1，2），N

（a，3，3），平面α的一個法向量為n＝（6，－3，6），則a＝

（

）A.4B.3C.2D.1

√4.

（人A選一P34例6（1）改編）在空間直角坐標系中，已知A（1，－1，

0），B（4，3，0），C（5，4，－1），則點A到直線BC的距離為

（

）A.3B.

C.

D.

√

AB∥α或AB?αPART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

用空間向量證明線面位置關系（師生共研過關）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，

AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點.證明：（1）BE⊥DC；

證明：依題意，以點A為原點建立空間直角坐標系（如

圖），可得B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，

0），P（0，0，2）.由E為棱PC的中點，得E（1，1，1）.（2）BE∥平面PAD；

（3）平面PCD⊥平面PAD.

解題技法利用空間向量證明平行、垂直的一般步驟

（1）A1B1⊥平面AA1C；

（2）AB1∥平面A1C1C.

用空間向量求空間距離（定向精析突破）考向1

點線距

如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB＝AD，O

為BD的中點，△OCD是邊長為1的等邊三角形，點E在棱AD上，DE＝

2EA.

當AO＝1時，求點E到直線BC的距離.

考向2

點面距

已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F(xiàn)

分別為AB，BC的中點.（1）求點D到平面PEF的距離；

（2）求直線AC到平面PEF的距離.

2.

利用向量法求點B到平面α的距離的步驟

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均為4，N是CC1的中點.（1）求點N到直線AB的距離；

（2）求點C1到平面ABN的距離.

PART03課時·跟蹤檢測關鍵能力|課后練習

1.

若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直線l上，則直線l的一個方向向

量是（

）A.

（2，2，6）B.

（1，2，3）C.

（3，1，1）D.

（－3，0，1）

12345678910111213141516171819202022232425√2.

已知平面α的一個法向量為n＝（－1，0，－1），點A（3，3，0）在

平面α內，則平面外一點P（－2，1，4）到平面α的距離為（

）A.

B.

C.

D.1

√3.

已知點A（1，0，2），B（－1，1，2），C（1，1，－2），則

△ABC的面積為（

）A.

B.2C.

5

D.1√

A.10B.12C.15D.20√

A.

B.

C.

D.

√

A.

EF∥BD1B.

EF⊥A1DC.

EF＝

D.

點F到平面ABD1的距離為

√√√

7.

在空間直角坐標系中，a＝（1，2，1）為直線l的一個方向向量，n＝

（2，t，4）為平面α的一個法向量，且l∥α，則t＝

?.解析：因為l∥α，所以a＝（1，2，1）與n＝（2，t，4）垂直，故a·n

＝（1，2，1）·（2，t，4）＝2＋2t＋4＝0，解得t＝－3.－38.

在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C與平面A1C1D間的

距離是

?.

9.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點.證明：（1）B1D⊥平面ABD；

（2）平面EGF∥平面ABD.

A.

（1，1，1）B.

C.

D.

√

11.

若四面體OABC滿足∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，OA＝1，OB

＝2，OC＝3，點D在棱OC上，且OC＝3OD，點G為△ABC的重心，則

點G到直線AD的距離為（

）A.

B.

C.

D.

√

12.

已知三棱錐S-ABC中，SA＝SB＝SC＝1，且SA，SB，SC兩兩垂

直，P是三棱錐S-ABC外接球球面上一動點，則點P到平面ABC的距離的

最大值是（

）A.

B.

C.

D.

√

13.

如圖，圓錐的軸截面SAB是邊長為2的等邊三角形，O為底面中心，M

為SO的中點，動點P在圓錐底面內（包括圓周）.若AM⊥MP，則點P在

圓錐底面上形成的軌跡的長度為

?.

14.

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.（1）在AB上是否存在點D，使得AC1⊥CD？

（2）在AB上是否存在點P，使得AC1∥平面CPB1？

15.

（新定義）〔多選〕在空間直角坐標系中，有以下兩條公認事實：

（2）過點P（x0，y0，z0），且以v＝（m，n，t）（mnt≠0）為法向量

的平面α的方程為m（x－x0）＋n（y－y0）＋t（z－z