第七節(jié)數(shù)列中的創(chuàng)新性問(wèn)題高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)重點(diǎn)解讀

數(shù)列中的創(chuàng)新性問(wèn)題，往往是通過(guò)給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定

一種新的運(yùn)算或性質(zhì)，或給出幾個(gè)新模型來(lái)創(chuàng)設(shè)新問(wèn)題的情境，要求在閱

讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信

息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.遇到新定義問(wèn)題，應(yīng)耐心讀題，分析新

定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條

分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使問(wèn)題得以解決.目錄CONTENTS考點(diǎn)·分類突破01.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)02.PART01考點(diǎn)·分類突破精選考點(diǎn)|課堂演練

數(shù)列的新情境問(wèn)題（師生共研過(guò)關(guān)）

（1）求b5；解：

b5＝1×2×3×4×5－（12＋22＋32＋42＋52）＝65.（2）求證：當(dāng)n≥5時(shí)，bn＋1－bn＝－1；

（3）求證：僅存在兩個(gè)正整數(shù)m，使得bm＝0.

解題技法

對(duì)于新情境問(wèn)題，關(guān)鍵是要從問(wèn)題情境中尋找“重要信息”，即研究

對(duì)象的本質(zhì)特征、數(shù)量關(guān)系（數(shù)量化的特征）等，建立數(shù)學(xué)模型求解.

幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)

習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟

件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2，

4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一項(xiàng)是20，接下來(lái)的兩項(xiàng)是20，21，

再接下來(lái)的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：

N＞55且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是

（

）A.95B.105C.115D.125√解析：

將數(shù)列排成行的形式11，21，2，41，2，4，8……

數(shù)列的新定義問(wèn)題（師生共研過(guò)關(guān)）

（1）寫(xiě)出兩個(gè)遞增的3階“單位數(shù)列”；

（2）若等差數(shù)列{an}是一個(gè)2k＋1（k∈N*）階“單位數(shù)列”，且是遞增

數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式（用含k的代數(shù)式表示）；

解題技法解決數(shù)列新定義問(wèn)題的方案及流程（1）讀懂題意，理解研究的對(duì)象，理解新定義數(shù)列的含義；（2）特殊分析，例如先對(duì)n＝1，2，3，…的情況討論；（3）通過(guò)特殊情況尋找新定義的數(shù)列的規(guī)律及性質(zhì)，以及新定義數(shù)列與

已知數(shù)列（如等差與等比數(shù)列）的關(guān)系，仔細(xì)觀察，探求規(guī)律，注重轉(zhuǎn)

化，合理設(shè)計(jì)解題方案，最后利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)來(lái)求解.

若無(wú)窮數(shù)列{an}滿足：只要ap＝aq（p，q∈N*），必有ap＋1＝aq＋1，

則稱數(shù)列{an}具有性質(zhì)p.（1）若數(shù)列{an}具有性質(zhì)p，且a1＝3，a2＝2，a4＝3，a5＋a6＋a7＝4，

求a3；解：

數(shù)列{an}具有性質(zhì)p，則由a1＝a4＝3，可得a2＝a5＝2，進(jìn)而a3＝a6，a4＝a7＝3，所以由a5＋a6＋a7＝4，可得a3＝a6＝4－a5－a7＝4－2－3＝－1.故a3＝－1.（2）若數(shù)列{an}具有性質(zhì)p，且a1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y(tǒng)（m≥2，

m∈N*），求證：x＝y(tǒng).解：

證明：法一因?yàn)閍1＝am＋1＝x，a2＝am＋3＝y(tǒng)，且數(shù)列{an}具有

性質(zhì)p，所以a2＝am＋2＝y(tǒng)，進(jìn)而a3＝am＋3＝y(tǒng)，因此a2＝a3＝y(tǒng)，依此類推可得，a3＝a4＝y(tǒng)，a4＝a5＝y(tǒng)，…，所以有任意n∈N*，n≥2，都有an＝y(tǒng)，又由已知m≥2，m∈N*，得m＋1≥3，且m＋1∈N*，故am＋1＝y(tǒng)＝x，所以x＝y(tǒng)得證.

PART02課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

分形的數(shù)學(xué)之美，是以簡(jiǎn)單的基本圖形，凝聚擴(kuò)散，重復(fù)累加，以迭代

的方式而形成的美麗的圖案.自然界中存在著許多令人震撼的天然分形圖

案，如鸚鵡螺的殼、蕨類植物的葉子、孔雀的羽毛、菠蘿等.如圖為正方

形經(jīng)過(guò)多次自相似迭代形成的分形圖形，且相鄰的兩個(gè)正方形的對(duì)應(yīng)邊所

成的角為15°.若從外往里最大的正方形邊長(zhǎng)為9，則第5個(gè)正方形的邊長(zhǎng)

為（

）A.

B.

C.4D.

12345678910111213141516171819202022232425√

A.8B.2C.

－6D.

－4√

3.

〔多選〕（2025·河南五市聯(lián)考）對(duì)于數(shù)列{an}（n∈N*，an∈N*），

定義bk為a1，a2，…，ak（k＝1，2，…，n）（n∈N*）中的最大值，把

數(shù)列{bn}稱為數(shù)列{an}的“M值數(shù)列”.如數(shù)列2，2，3，7，6的“M值數(shù)

列”為2，2，3，7，7，則（

）A.

若數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，則{bn}為常數(shù)列B.

若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則有an＝bnC.

滿足{bn}為2，3，3，5，5的所有數(shù)列{an}的個(gè)數(shù)為8D.

若an＝（－2）n－1（n∈N*），記Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，則S100＝

（2100－1）√√√

4.

〔多選〕已知數(shù)列{an}滿足：對(duì)任意的n∈N*，總存在m∈N*，使得Sn

＝am，則稱{an}為“回旋數(shù)列”.以下結(jié)論中正確的是（

）A.

若an＝2

026n，則{an}為“回旋數(shù)列”B.

設(shè){an}為等比數(shù)列，且公比q為有理數(shù)，則{an}為“回旋數(shù)列”C.

設(shè){an}為等差數(shù)列，當(dāng)a1＝1，公差d＜0時(shí)，若{an}為“回旋數(shù)列”，

則d＝－1D.

若{an}為“回旋數(shù)列”，則對(duì)任意n∈N*，總存在m∈N*，使得an＝

Sm√√

4，5，32

6.

五位同學(xué)圍成一圈依序循環(huán)報(bào)數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)為

1，第二位同學(xué)首次報(bào)出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報(bào)出的數(shù)都是前兩位

同學(xué)所報(bào)出的數(shù)之和；②若報(bào)出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報(bào)該數(shù)的同學(xué)需拍手

一次.已知甲同學(xué)第一個(gè)報(bào)數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依序循環(huán)報(bào)到第100個(gè)數(shù)時(shí)，甲

同學(xué)拍手的總次數(shù)為

?.5

解析：由題意可知，將每位同學(xué)所報(bào)的數(shù)排列起來(lái)，即是“斐波那契數(shù)

列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，

987，…，該數(shù)列的一個(gè)規(guī)律是，第4，8，12，16，…，4n項(xiàng)均是3的倍

數(shù)，甲同學(xué)報(bào)數(shù)的序數(shù)是1，6，11，16，…，5m－4.問(wèn)題可化為求數(shù)列

{4n}與{5m－4}的公共項(xiàng)，易知，當(dāng)m＝4k，n＝5k－1時(shí)，5m－4＝

20k－4＝4n，又1＜4n≤100，∴20k－4≤100.∴k≤5，∴甲拍手的總次

數(shù)為5次.即第16，36，56，76，96次報(bào)數(shù)時(shí)拍手.7.

（2024·咸陽(yáng)三模）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的最大值記為Mn，即Mn＝

max{a1，a2，…，an}；前n項(xiàng)的最小值記為mn，即mn＝min{a1，

a2，…，an}，令pn＝Mn－mn，并將數(shù)列{pn}稱為{an}的“生成數(shù)列”.（1）設(shè)數(shù)列{pn}的“生成數(shù)列”為{qn}，求證：pn＝qn；解：

證明：由題意可知Mn＋1≥Mn，mn＋1≤mn，∴Mn＋1－mn＋1≥Mn－mn，因此pn＋1≥pn，即{pn}是遞增數(shù)列，且p1＝M1－m1＝0，由“生成數(shù)列”的定義可得pn＝qn.（2）若an＝2n－3n，求其生成數(shù)列{pn}的前n項(xiàng)和.解：

當(dāng)n≥3時(shí)，an－an－1＝2n－3n－[2n－1－3（n－1）]＝2n－1－3

＞0，∴an＞an－1.∴a1＞a2＜a3＜a4＜…＜an＜…，又a1＝－1，a2＝－2，a3＝－1，∴p1＝0，p2＝－1－（－2）＝1，當(dāng)n≥3時(shí)，pn＝an－a2＝2n－3n－（－2）＝2n－（3n－2）.設(shè)數(shù)列{pn}的前n項(xiàng)和為Sn.則S1＝0，S2＝1.

（2）若{An}為T(mén)點(diǎn)列，且a2＞a1.任取其中連續(xù)三點(diǎn)Ak，Ak＋1，AAk＋2，

證明△AkAk＋1AAk＋2為鈍角三角形.

9.

（2024·九江二模）已知無(wú)窮數(shù)列{an}中，an≥0，記An＝max{a1，

a2，…，an}，Bn＝min{an＋1，an＋2，…}，dn＝An－Bn.（1）若{an}為2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一個(gè)周期為4的數(shù)列（即

?n∈N*，an＋4＝an），直接寫(xiě)出d1，d2，d3，d4的值；解：

d1＝2，d2＝2，d3＝2，d4＝4.（2）若{an}為周期數(shù)列，證明：?n0∈N*，使得當(dāng)n＞n0時(shí)，dn是常數(shù)；解：

證明：不妨設(shè){an}的周期為T(mén)（T∈N*），記AT＝max{a1，a2，…，aT}，BT＝min{aT＋1，aT＋2，…}，則當(dāng)n＞T時(shí)，dn＝AT－BT是常數(shù)，即?n0＝T，使得當(dāng)n＞n0時(shí)，dn是常數(shù).（3）設(shè)d是非負(fù)整數(shù)，證明：dn＝－d（n＝1，2，3，…）的充要條件為

{an}是公差為d的等差數(shù)列.解：

證明：充分性：若{an}是公差為d的等差數(shù)列，則an＝a1＋（n

－1）d，于是An＝an＝a1＋（n－1）d，Bn＝an＋1＝a1＋nd.因此dn＝An－Bn＝－d（n＝1，2，3，…），必要性：∵dn＝－d≤0，∴An＝Bn＋dn≤Bn，∵an≤An，an＋1≥Bn，∴an≤an＋1，于是An＝an，Bn＝an＋1.因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d.故數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列.10.

（2025·重慶一中模擬）對(duì)于數(shù)列{an}，定義Δan＝an＋1－an

（n∈N*），數(shù)列{an}滿足a1＝a2＝1，Δ（Δan）＝m（m∈R），記f

（m，n）＝a1m＋a2m2＋…＋anmn，稱f（m，n）為由數(shù)列{an}生成的

“m-函數(shù)”.（1）試寫(xiě)出