理論力學(xué)復(fù)習(xí)題計算題題庫

第一章質(zhì)點力學(xué)

點沿空間曲線運動，在點M處其速度為VM/+3；,加速度S與速度

P夾角乃二30。,且石tlOm/s"求軌跡在該點密切面內(nèi)的曲率半徑p和

切向加速度％。

答：由已知條件V=4Z+3j得

v—A42+32=5m/s法向加速度弓=.sin30。=5??/s

2

則曲率半徑°二Wm切向加速度aT^acos30°=8.6&n/s

一點向由靜止開始作勻加速圓周運動，試證明點的全加速度和

切向加速度的夾角a與其經(jīng)過的那段圓弧對應(yīng)的圓心角之間有

如下關(guān)系tano=2"

證明：設(shè)點M沿半徑為R的圓作圓周運動)

［時刻走過的路程為AM二s,速度為v,對應(yīng)的

圓心角為月。由題設(shè)條件vtana=-二一應(yīng)

知

專皿

八人八

a,--v-C.(&)

rdtds

c為常數(shù)積分(b)式得［vdv=^aTds所以v2=2a,5..............................(c)

將(c)式代入(a),并考慮s=RO,所以tan?=2/3

質(zhì)點M的運動方程為x=3/(m),y二21(777)求1二1秒時，質(zhì)點速度、切

向加速度、法向加速度的大小。

解：由于、=3(,%)9=4f=4(7%3所以有v二心2+寧2=J9+16

=5(,%)又Ev=杯+寧2二構(gòu)+16尸貝I]

2Al

a：=v=1(9+16z)-32Z=---_=3.2時

22(9+16z2)2$

無=0j=4頓)。二山2田=4時)

,'a-aj=VI6322=2.4頃)

點M沿半徑為R的圓周運動。如果％=-K(K為已知常數(shù))，以初%

始位置為原點，原點初速度為塢。求點的弧坐標(biāo)形式的運動方程

及點的速度減少一半時所經(jīng)歷的時間。

解：設(shè)點的初始位置為Ao依題意

dvv2

------d--------------

dtTKKR

積分上式「車二-片豚------得咋坐」

兒7?KR)。vovA7?KR+vot

則弧坐標(biāo)形式的運動方程為+也]KR+kotIKR)

當(dāng)V二咆時$二坐

2Vo

一質(zhì)點沿圓滾線s=4“sin。的弧線運動，如0為常數(shù)，則其加速度亦為一常

數(shù)，試證明之。式中。為圓滾線某點P上的切線與水平線(X軸)所成的

角度，S為P點與曲線最低點之間的曲線弧長。

式中常量（題設(shè)）

Vdv.2.ziV7777t/v,二

/aT=-----=~Aaa^>sin0an=-----Hl]Q=-----=4。cosf)dtpdO

22

cr|\IV16aCZ/COS0Ai)\

所以%---------=4URcos。

p4icoso

故a=Ja；+a：=4aa)2Ns\xr6A+cos2-4aco2-常數(shù)結(jié)論得證

設(shè)質(zhì)點沿螺旋線*=2§訪47=2煙42=4.運動'試求質(zhì)點的速度、加

速度和軌道的曲率半徑。

角學(xué)：因x=2sin4$,y=2cos4uz=4t

故i:=8cos4o-4y,y--8sin4?！?x,z-4所以y=yjx+y2+z2=4yjx

+y2+1=4A5

又左二4寧二一16x,寧二?4x=-1z-0

所以a=7-r2+y2+z2=+y2=32

2八十

又a.--------=0

力=y4xy~4xy/+y+7J/+J+1

dtT

所以（）,二a=16yjx+y=32eb80cultll/?=——=——二2.532

小環(huán)的質(zhì)量為m。套在一條光滑的鋼索上，鋼索的方程式

為『=%y,試求小環(huán)自x=2a處自由滑至拋物線頂點時的速度

及小環(huán)在此時所受到的約束反作用力。

解：小環(huán)受力如圖示，重力，源豎直向下，約束力斤的方

向沿著拋物線的法線

小環(huán)在任意位置P處的運動微分方程為"二誓竺W'砥C⑵

因也二也迎二，也而tan弟sinM-也二-也（s增大而y減小故為didsdtds

dxas

負(fù)值）

⑴式變?yōu)閙v—=~mg與vdv=-gdygdsds

積分J："”二￡gdy得N=J2ag（因x=2a：p=｝二〈2）此即小環(huán)自x=2a

處自由滑至拋物線頂點時的速度。

又亍二”則“半二三項二空二4〃2adx2a

在拋物線頂點處x二Q,y=0,y，二0,二…2a

所以在拋物線頂點處卡土金=2。

y

由⑵7?=m—+mgcosff-^mg—2mg（因在頂點處

P

0=0,COSo=1）

小環(huán)在頂點處所受到的約束反作用力為2〃zg。

質(zhì)點所受的力如恒通過一定點，則質(zhì)點必在一平面上運動，試證明之。

證明：取力通過的定點為坐標(biāo)原點，則質(zhì)點的位矢了與力所共線，則

M=rxF=0

所以質(zhì)點的動量矩守恒，即頂二。

J*=mfyz-zy)-Gt(1)

其分量式為jy=mzx-xz)=C2⑵

Jz-m(xy-yx)-C3(3)

由xx(1)+yx(2)+zx(3)得至IjGx+C2y+C3z-0

由解析幾何知識知上式為一平面方程，故質(zhì)點只能在這個平面上運動。

一物體質(zhì)量m=l（）kg,在變力尸二作用下運動。設(shè)物體初速度

vo=0.2m/s,開始時力的方向與速度方向相同。問經(jīng)過多長時間后物體速

度為零，此前走了多少路程？

（知識要點）質(zhì)點運動學(xué)微分方程，質(zhì)點運動學(xué)第二類問題

解答：由力一二尸得「"二noa-o人積分得dmjo

匕-5/2+1（V+0.2（777/s）

再積分￡ds=(-5Z2+lW+().2)出得S=-:廣+5產(chǎn)+

由」--5八101+0.2=()解得2=2.025再代入前式得S=7.07m質(zhì)點作平面

運動，其速率保持為常數(shù)，試證明速度矢量V與加速度矢量a正交。

證明：采用自然坐標(biāo)系，由題意知0斤C為常量

工曰---dvd-de-drdr

j0二---——(er)=----T+c-----c----

dtdtdtdtdt

又在自然坐標(biāo)系中年二函

dt

匚匚］、j-dvd-de-drdr.一

P/T以o=----=—(er)=—T+c----c----=c(pn

dtdtdtdtdt

由于八偵故得證

動點M以勻速v=5(m/5)沿軌跡y=*運動，求當(dāng)x=2勿時動點M的速度沿

x和y分量的大小，以及M的加速度

解：由v2-x2+y2-25........⑴

根據(jù)y=-X濟導(dǎo)數(shù)得y-—XX而X=2"時V--x.Q)

3'3'3

⑵代入⑴得牛2=25.

整理得x=3(m/5)代入⑵得y-4(m./s)

又牛=一二0則即G=為at

3

又由數(shù)學(xué)知識知而根據(jù)微分得當(dāng)

\y/5

x=2m時：

2n,,6)!25-]25

所以有「二嚀)2—9魚E藥_125

22—18

某力場的力矢為產(chǎn)=(2叩+z3)z“j+其中/J〃分別為x,y,z

3xzk

軸的單位矢，試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出

苴熱能耐斯.

VxF=dddrr,d(3xz)S(x)\-rd(2xy+z3)d(3xz)i

?Vl/ZVT

2xy+z3x3xz

+〃竺12—FS+b)=/(0-0)+j(3z2-3z2)+k(2X-2X)=0dxdy

故力場為保守力場。

日6U.J：

⑴

乙二_丁=20+

口dU2

由⑵

F.,=---二尤一

.......⑶

⑴式積分得：〃二一xi-N’x+f(y,z)—(4)

對⑷式求偏導(dǎo)數(shù)得：號一一即行。

上式得：f(y,z)=代入⑷式得：U=-xy-zx+g(z)⑸

對⑸式求偏導(dǎo)數(shù)得：匹二-3專+亟也=■—3?即也1)=0積分ozoz8z

得:g(z)=C

代入⑸式得：U--xy-zx/c取x=(),y-(),U=0Pl1]c=0

所以勢能函數(shù)為U=\-y-z\

32A4

某力場的力矢為心-6ab^y-Q.Cfcxy.Fy-6abx^-ICxy.Fz—1Sabxyz

試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。

VxF=

dxISy

F.人

=(1Sabxr-\Sabx)z+(1%abzy-1Sabzy)]+(6abz—40bxy—6abz+

4(fe.r3

=0

故力場為保守力場。

dU2q9

Fx-------6ab'y-20by----------(1)

dx

F

由Fv=--------6abx"-\Obxy------------⑵

dy

Fz=——-18abxy'--------------(3)

_dz

對(I)式積分得：U=-6ab"yx+5bxy+/(y,z)...................(4)

對⑷式求偏導(dǎo)數(shù)得：

--6abx+10&x4y+可，⑶圳=一尸--6abx^+10&x4y

dydy

即住E=o上式得：y⑶z)=g⑵代入⑷式得：dy

U--Gabz'yx+Sbx"y+g⑵-----(5)

對⑸式求偏導(dǎo)數(shù)得：一=_/8abBxy+i-=-F.=-ISabxyz2

dzdz

即冬21=0積分得:g(z)=c代入⑸式得：

0Z

U=-6ab"yx+5bx"y+c-----------(6)

取x=O,y=O,z=O,U=O貝”=()

所以勢能函數(shù)為U=5bx\2-6abxy^

Fx=anx+any+ai3z

已知作用于質(zhì)點上的力為Fy—32/X+a22y+a23Z

Fz-a3[X+a32y+333N

式上系數(shù)《,(/,；=123)都是常數(shù)，問這些為滿足什么條件，才有勢能

存在？如這些條件滿足，試計算其勢能。

解：要滿足勢能存在須使力場為保守力場，既力場的旋度為零，

所以VxF=()

dFxdF=-i3==uA

dzox

即勢能存在與滿足條件是：弓尸角I

31

"23=o32

dv

P、.=NX+。⑵+匕/=一”廠....I)

ox

Idv

由乙二”21尤+。22>^a23Z=—~............(2)

dy

dv

￡=13］尤+Q32y+以33z=.……(3)

dz

(1)式積分得V--^-anx-al2yx-al3zx+f(y,z).@)

(4)式對y偏微分二⑵式得

dV8f(y,z)

-_o12<31+——ai2X~~a22y-dydy

艮口母(1)=-a22y-比,z......(5)

(5)式積分得f(y,z)^"-^a22y-a23zy+&z)...⑹

(6)式代入⑷式得

2

/---------anx-anyx-aX3zx-|....................................<222y-a23zy+g(z)(7)

22

⑺式對z偏微分二⑶式得

8VQg(z)_」,

-=-tzi3x-€z23y+------=~ai3x-a23y~333Zdzdz

即耍二_%z...............(8)

dz

⑻式積分得3⑶--"assz+c.....(9)

⑼式代入⑷式得

V—_-—6ZI2_63..5]22y2,23-八33八+o.Qo)

取x二O,y=O,z=O,V=O則c二0得勢能為

T71?1212

1

V——6Zj-'l2-QgZX--------------—C/22y-人23-a%3Z

--+a22夕+333Z+2af2xy+2a2jzy+2a3izx)

某力場的力矢為F=xi+yj+zk

試證明該力場是否為保守力場，若為保守力場，求出其勢能函數(shù)。

故力場為保守力場

lav_

Fs--=x.…①

由哲X

rav

F=-=z.

.dz

2

積分⑴式得v=-A-+/(.y,z)...........(4)

(4)式對y偏微分二⑵式得當(dāng)二絲啟二一丁積分得dydy

2

f(y,z)=-；+g(z)......(5)

22

代⑸入⑷得V二-號-；+g(z).............⑥

⑹式對Z偏微分二⑶式得咨二釁二七積分得g(z)=-A+c................⑺

dzdz2

2

代⑺入(6)得一3-￥號+

取x二0,V二。N二0,V=0貝l]c=o得勢能函數(shù)為v一奇一；一亍

有一質(zhì)點在xy平面上運動，質(zhì)點受到的力為萬二(x+y)Z+(x-y)J.質(zhì)

點在平面上由點A(1,0)沿直線運動到點B(1,1),求力信所作的功

解法1：由功的定義計算

pB—pBFB

X

W=?dr=j人Fxdx+Fydy)-JA(+y)dx+(x-y)dy

又8=1.故二0

—(*B(*Bcl

W=、Fdr-Edx+Fydy)=J(x+y}dx+{x-y)dy-J(1—y)dy

所以1：A。

解法2：由功的定義計算

W=J：尹等=J：(F/x+Fydy)-[:;;(》一二(|一+(xj-|j2)|A

」1

=I=

22

或

22

W="F-dr=￥xdx+Fydy)-{(x+y)dx+(x-y)dy=^*x+A-y-|y)

*5-護時二(》-昌二！

解法3：由保守力性質(zhì)計算

版'烽dFN

(0-0)r+(0-0)y+(l-ir=o

故力場信為保守力場

那個一―-

OX

FdV

y--=x-y.-⑵

Fz-^ir-0....⑶

dz

積分⑴式得V=-^-xy+.⑷2

0)式對y偏微分二⑵式得絲二一》+比=-xY

ay+ay

積分得fM=y+c......................⑸

22

代⑸入⑷得V二-號+；-xy+c...........(6)

22

取x=o,y=o,z=O,v=O貝"=0得勢能函數(shù)為/=-：+；-xy

則由保守力與功的關(guān)系可知

ss

w=一M—%)-%f-(-*+|f"(-*+|-二一；一(一：+!T)二!

Fx=x+2y+z+5

設(shè)作用于質(zhì)點上的力場的力矢為尸一二+z

E=x+y+z-6

求此質(zhì)點沿螺旋線X二cosay=sinaz=7()運行，自。=0至0=2》時力場

所作的功

解：由保守力性質(zhì)計算

(dF,dFW

VxF-

dxdyd\dydz??dzdx\

(l-l)Z+(1-1))+(2-2)A-0

故力場信為保守力場

dV

L_(1)

Fx=-----=jr+2y+z+5

dx(2)

dv

Fv--=2x+>+z…⑶

2

積分⑴式得V二-2xy-xz-5x+/(v,z)...................(4)

⑷式對y偏微分二⑵式得竺二-2x+也=-2廠y-z

dyay

積分得/(y,z)=-|y2-zy+g(z)........................(5)

代⑸入⑷-一人人一_2xy-xz-5x-yz-i-g(z)....(6)

⑹式對z偏微分二⑶式得竺二-x-￥+耍二-x-v-z+6dzdz

.2

積分得g(z)=+6z+c........⑺

代(7)入(6)得V=---------------Lz?-2xv-xz?5》-vz+6z+c....................................(6)

222-

x=0,y=0,z=0,V=。則c=0得勢能函數(shù)為

22-2xy-xz-5x~yz+6z

又由x=coso,sinO,z=70知當(dāng)0=OB寸x=l,y=0,z=0;

0二2〃日寸x=1,y=0,z=1

則由保守力與功的關(guān)系可知

W=-(y2-Vl)=VI-V2

.IoA-2A2AC,、JoA-2A2/AC/

;,,A

=(”]~~V~~-2.n-xz-5x->z+6z)島)~(~-x—y—z-2xy-xz-5x-yz+6z)(i>o,i4)匕匕匕匕匕匕

AAAA2AAA

=(...5^.[....(14-)^.H-5+84-]=—5+-+98-+14+^5-84-=98>產(chǎn)-70-

有一劃平面曲線的點，其速度在y軸上的投影于任何時刻均為常數(shù)c,

試證明在此情形下，加速度的量值可用下式表示a

cp

證明1：由清二尸+》2二充2+。2.......Q)

(1)式求導(dǎo)得V—=X-X=ax(因y=c,y=0,古攵i=a)

由此得出包=且=近三.....⑵

dtvv

(2②⑶得。〃或9/_(。)2

VP

整理得。二二結(jié)論得證

cp

如圖設(shè)v與y軸夾角為Q)則由y=c,y=0,

有U二％'

2

由圖示幾何關(guān)系知C*L,—6ZCOSdf—即

P

a=.............(1)

pcostz

乂V=VCOSOC=C則有cosa=f......(2)

v

33、船得一初速席，在運動中受到水的阻力,阻力的大小與船速的平方

成正比，而比例系數(shù)為其中〃為船的質(zhì)量。問經(jīng)歷多長時間船速減為

其初速的一半。(15分)

解：由題意知阻力為f-km%則船的運動方程為“火二一饑”即at

而，=0時……設(shè)船經(jīng)歷時間為邛寸，V號積分上式得{.訂冰!《辦

BP-------=-kt

“°農(nóng)

從而得，二上

kvo

質(zhì)點M在力/-Psincot的作用下沿x粕作直線運動，在初瞬時

t-0fv-vo,x=xo。求質(zhì)點的運動方程。

角學(xué)：由mv=F=X=Psi(nt積分［mdv=Psmcotdt,得

Jv0Jo

pp

m(v-vo)=—(Lco刷)BPx-1/-v0~{-——(1-coscot］積分

como)

rxrt/曰JTr

dx=\QVQ+—(l-cos攻)"亡待x=X。+(vu+---)t-sin奴

JxoJoma>mcomco

已知點的運動方程，求其軌跡方程，并自起始位置計算弧長，求出點沿軌

跡的運動規(guī)律.

(1)x=4t-2t2,y=3t-1.5t2

(2)x=5cos5t2,y=5sin5t2

(3)x=4cos2t,y=3sin2t

解⑴由x=4t-2t2,y=3t-1.5t2.....(1)

兩式相除得亍。苫9)

3(2-0

所以軌跡方程為y=°x是一直線方程

*4

,H-t-4-4/-4(1-Z),v-3-3/-3(l-0..............................(2)

無二一4j=—3.................(3)

所以速度為v=十尹=J16(1小+9(1-舟=5(i_,)全加速度為a^+y2=716+9=5

而切線加速度為七二2=-5,法線加速度=o由此說明質(zhì)點作勻減速直線運

動。

(2)由x=5cos5t2,y=5sin5t2..........................(1)

得軌跡方程為S+y2=25是一圓的方程，其半徑R=5

由(。式彳T充二-5(Vsin5t2寧二5(Vcos5產(chǎn).Q)

所以速度為v=+,2=A2500/2(sin25/2+cos25/2)=50/................(3)

切線加速度為%=冬二50說明質(zhì)點作勻加速圓周運動dt

法線加速度為％二丈二丑也二500?5

全加速度為a=X+y2=”500+2500()0"=5()31+100/4

(3)由x=4cos2t,y=3sin2t.............................(1)

22

得軌跡方程為3+瑚=1為-橢圓方程

由(〔)式得i=-Xsin21j=6co<21...........(2)

工偉無二一16cos21,寧二一12sin21......0)

所以速度為

v=7-V+V2=64sin2t+36ms?2t=2716sin22z+9cos22z(3)

全加速度為

a-7-x2+v2=7(-16cos2?)2+(-12sin2?)2=4V16cos22Z+9sin22/...........

如圖6-1所示，半徑為R的車輪在直線軌道上滾動而不滑動，已知輪心C

的速度是常量u,求輪緣上一點M的軌跡，速度和加速度及軌跡的曲率半

徑.

圖6-1

解將M點與地面的接觸時的位置作為直角坐標(biāo)系的

原點0,并建立直角坐標(biāo)系如圖所不，經(jīng)過時間t,M點的坐標(biāo)為:

x=ut-Rsin0

y=R-Reos0

因輪純滾動，線段D與弧長DM相等，

DMut（b=

——二嬴

整理后得運動方程為x=ut-Rsm——八/

八ut

y=A-cos------

從運動方程中消去時間t后，得軌跡方程為:

x+Jy(2R-y)=/?arccos-------

R

.即M點的軌跡為旋輪線（或擺線），速度在x,y軸上的投影、大小

ut

XU-UCOS-

R

及方向余弦分別為v=二2/sin-

Vr.Ut.(b

cosa=—=sin----=sin—

v2R2

z?uUt8

cosp=——=COS---=COS—

N2R2

M點的加速度在x,y軸上的投影、大小及方向余弦分別為

.ax.ut.,cosa=—=sin----=sin?aR

cos/?1=一=cos一=cos,aR

即各點加速度指向輪心

22

又己二」a;淑”專，而L,由此可求得：0=4/?S//7劣

證明題

證明：質(zhì)量為勿的質(zhì)量從圓的最高點。由靜止開始沿任一條光滑

弦下滑到圓周上所需的時間相同。證明：考慮質(zhì)點在任意一條與過圓心

的鉛垂線夾角為的弦上的運動，則在任意位置的受力如圖所示。沿弦

的方向用質(zhì)點動力學(xué)基本方程得

00Oim

質(zhì)點加速度a=geoso,即質(zhì)點作勻加速運動?？紤]到初始條件，不難求

得其運動方程為

s--ae=一

22

又弦長（從圓頂點滑到圓周上的路程）為

s=2rcos0

質(zhì)量為勿的質(zhì)量從圓的最高點。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓

周上所需的時間，性欄笠欄，與。無關(guān)，故質(zhì)量為勿的質(zhì)

Va\geosoIg

量從圓的最高點。由靜止開始沿任一條光滑弦下滑到圓周上所需的時間

相同。證畢。

重為P的小球位于半徑為「的光滑球面頂點，小球從靜止開始下滑，求小

球脫離球面的位置。

解：小球運動過程中受力為重力和支持力，只有重力作功，機械能守

恒。

設(shè)球面頂點處為零勢能面

由機械能守恒定律有0=4?烏2-P(r-rcosA)

2g

故i,2=2gr(1-cos。).Q)

小球在法向方向運動微分方程為￡?—-PcosO-N

小球脫離球面時N=0,所以有v2=grcosO.................Q)

(1)代入(2)式有g(shù)rcoso=2gr(l-cos?)

整理有cos6--;6-arccos-=48°ir

33

又由幾何關(guān)系知cos。=H(h為自球面頂點起下降高度)得

-3

h=-

3

討論：由以上結(jié)論知小球脫離球面位置與小球(質(zhì)量)無關(guān)，當(dāng)球面

不光滑時與小球(質(zhì)量)有關(guān)。

可得到運動軌道方程是r二”cosO,此為圓的極坐標(biāo)方程，所以質(zhì)點的運動

軌道為以a為半徑的圓。

第二章質(zhì)點系力學(xué)

一門大炮停在鐵軌上，炮彈質(zhì)量為炮身及炮車質(zhì)量和等于M,炮車

可以自由地在鐵軌上反沖，如炮身與在地面成一角度a,炮彈對炮身的相

對速度為V,試求炮彈離炮身時對地面的速度v及炮車反沖的速度Uo

解：由于在水平方向(X方向)無外力作用，火藥爆炸力為內(nèi)力，故水平

方向動量守恒

即mVx+MU=0....................(1)

又由相對運動關(guān)系知Vcosa+U=vx,Vsina=vyQ)

Vr二一本丁Vcosa

7W+rn

⑵代入⑴得v=Vsina>0)

U------------/COS6Z

M+m,

所以

v-Jv；+v；=j——］，cos2a+Vsin2a-\——］，cos2?+V2(l-cos2a)

??(4)

m(2M+m)2

=COSCL.........

V/u.、

如設(shè)V與水平面夾角為幻則加。二土二ad(5)

v、MM

X

---a

M+m

討論：由⑷式知炮車反沖時VYV,由⑸式知0>a

重G的物體4帶動單位長度的質(zhì)量為g的軟鏈，以速度*向上拋出,

如圖示。假定軟鏈后足夠的長度，求重物所能達(dá)到的最大高度。

(原先靜止于地面)的絕對速度z7=0于是密歇爾斯基方程為

茶俺)二產(chǎn).???⑴

因m=G+qz,FAz)g(-k^z=n〃，代入(1)式得

§[(G+彳艮)刃二——(G+qg)gat

用(G十加C/N乘上式兩端得[(G十ON)》H[(G-qz)z]=~g(G/qz)2dz已

知初始條件為z=0時，八V。所以積分上式得

-(G+qz)2?}=(G+qzRlG2V(/+G3當(dāng)5=0時，上升高度z正好

23q23q

就是最大值/即卜q』十亶-1

QH2Gg,

某質(zhì)量為m的質(zhì)點，其運動方程用矢量式可表達(dá)為r(r)=x(r)Z+y(r)J+

NG",式中：/為質(zhì)點的矢徑,i,7*分別為尤匕N的單位矢。試求：

(I)質(zhì)點的動能、動量及對坐標(biāo)原點0的動量矩。

(2)質(zhì)點對點A(a,b,c)的動量矩。

⑶作用在質(zhì)點上的力及力的功率。

解：(1)動能T^^mv=^m(x2+y+z)

動量月二mv=m(xi+yj+zk)

動量矢巨Lo-nkyz—zy)i-b(zx-xz)'y+(xy-yx)k\

(4)動量矩

LA=〃4(y_/?)2-(z_c)j]F+[(z_c)x_(x—?)zp+[(x-tz)j-(y-份￡*}

⑸力戶二ma—nir—m(xi+

方+工疆尸二=

=m(x-x+y-y--

一人在水平臺上走動，此臺可通過其中心的鉛直軸而旋轉(zhuǎn)，人走的軌跡是以平

臺中心為圓心，「為半徑的圓周，假定人重為p,平臺重也為p,其半徑也為r,試求

當(dāng)人在平臺上走完一周時平臺轉(zhuǎn)過的角度。

解：以作平臺為質(zhì)點系，受力為重力，方向均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。

假設(shè)平臺與轉(zhuǎn)軸接觸面光滑無摩擦，故質(zhì)點系動量矩守恒。

在質(zhì)點系起始時，/=0,G°=0在某時刻人相對于平臺的速度為u,平臺的角

速度為刃，則人的絕對速度為卜-u-\-a)r人的動量矩為:方滓孱釘,+cor)

軸方向。

平臺動量矩為：G2la)=--一/刃方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。

-2g

由動量矩守恒定律得:G/+G2——r(u+cor)+一rco-0Zco-

2g3,

dO2ds

ydOdsan

d3r氣二3；?ds積分得：dd-f2A--

(o--u=—

EPtdt

atat

故Q一堂

3

32、一均質(zhì)木板放在光滑的水平面上,板的一端站著一個人。在某一時刻,

人以不變的速度u向x軸正向運動。設(shè)板的質(zhì)量為mi,人的質(zhì)量為m2。試求t秒

鐘后，人的絕對速度v與位移以及板的絕對速度Vi與位移。

解：以人和板為研究對象。系統(tǒng)受力：人的重力P?板的重力W,光滑的水平面

對板的正壓力FN。以上受力均在豎直方向，所以水平方向受力為零，則動量守

恒。

在初始時刻1=0,人和板都靜止，動量p菽0,任意時刻L設(shè)板的絕對速度

Vi沿x軸正向，則由點的合成運動可知，人的絕對速度為v=Vi+U。

由動量守恒定律得：miVi+mz(Vi+u)=0

解此方程得均二-------〃負(fù)號表示板的運動方向與x軸正向相反。

m2

由此得人的絕對速度為V二均〃二u-竺一u=------正號表示人的運動方

m2+m*叫+

向與X軸正向相同

因u與V都是常量，故人和板的位移分別為Ax=l/t=--------------"f,A%1=Vyt=

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ut

加+7012mt+m2

設(shè)矢量r在笛卡兒坐標(biāo)系中的投影為(X,y,z),證明力諾二3雙疥=0并求使1二gm伸

的函數(shù)。

角軍：(1)diw=(T-+j—+k-"]?(xi+yj+zk)--++--3

dxdydz)dxdydz

項E

aA

z<z

。r

-—

a-z+a-x?+=O

辦I!T%I

*kk

V

(3)由，論=0可知勢函數(shù)。必存在)由

7二xi+yj漾/:溪石二

X

V

z

代(4)入(2)得絲E=y積分得f=U+g(z)...........⑸

dy2

22

代(5)入(4)得?=3+：+g(z)....⑥

代(6)入(3)得咨廠-z積分得g(z)W+c............(7)

dzdz2

222

代（7）入（6）得0二土+匕+￡+c

222

質(zhì)量為嗎及R的兩自由質(zhì)點互相以引力吸引，引力與其質(zhì)量成正比,

與距離的平方成反比，比例常數(shù)為卜開始時兩質(zhì)點皆處于靜止?fàn)顟B(tài),

其間距離為a,試求兩質(zhì)點間的距離為？\

24m2

時兩質(zhì)點的速度。y/

/V2

mi

解法1：用機械能守恒定律求解

令質(zhì)量為凹自由質(zhì)點的速度為V],質(zhì)量為R的自由質(zhì)點速度為此，則

因兩質(zhì)點互相吸引，故”1%方向相反，取塢方向為正方向如圖示由

于兩質(zhì)點無外力作用，故動量守恒有一儂唳=0….（1）

兩質(zhì)點間的相互吸引力為萬有引力是保守力

由保守力性質(zhì)得勢能為.有二『一㈣吃式中「是兩

jooM.乙/

質(zhì)點間的距離。由機械能守恒定律-匝竺二1叫甫+』皿”一旻a22

即I)'V；+177°；=Wfel-2......(2)

22a

解(1)⑵式得一=_/----------浜、？=m,/一

V<2(mi+m2)Vag+xni)

解法2：用動能定理求解

令質(zhì)量為皿自由質(zhì)點的速度為V”質(zhì)量為理的自由質(zhì)點速度為％則

因兩質(zhì)點互相吸引，故塢咨方向相反，取3方向為正方向如圖示由dT=SW

得』(1料甘+-mzrA)-F-dr=-為一日

22r

積分上式得一加-,I/八寸+W2...........(1)

22a

由于兩質(zhì)點無外力作用，故動量守恒有響一5=0........(2)

解(1)⑦式得V]=-------\2=mx\----------

\+m2)Ia(mf+vai)

解法3:用兩體問題方法求解

由于兩質(zhì)點無外力作用可視為兩體問題

由兩體問題運動方程=F得

cfrndvnm,m2_dvnkm(m2

dt2dt加/+m2dt

又的2二的2兒-vdvn

dtdrndtd*2

代入(1)式有--------"12刁、2=也m(+m2rn

積分『氣屯2=1,業(yè)/八2得噠\*遠(yuǎn)........Q)*2V”

由于兩質(zhì)點無外力作用，質(zhì)心作慣性運動，原來質(zhì)心靜止，故由

+m2V2L曰

=_u-----二寺m,Vi+m2V2=。.....(3)

Z+mz

又根據(jù)速度合成方法知V12=V,-V2...0)

角星(2)(3)(4)式得VI=/2J----------------V2二叫--------------

'a(m(+mz)\+m2)

丹為負(fù)值表明與免方向相反

如圖示，一長為/的均質(zhì)鏈條在水平面上自然堆成一堆，線密度為

某人持鏈條一端以勻速V將其提高，試證：當(dāng)他的手離開水平面的高

(2\

度為X時夕"九鏈條對手的作用力大小為打=X十一pg

???J

解法1:用質(zhì)心運動定理求解

8-

H

取鏈條整體為研究對象，在t時刻，整體所受的外力有-

力P=Pig,拉力F和水平面對靜止的那部分鏈條的支

力F=-p{/由質(zhì)心運動定理可得

mac=F+式中@為質(zhì)心的加速度。

上式在x軸上的投影式為履。-F-p\g+p(l-x)g

pX\p(I—X).02

由于鏈條的質(zhì)心坐標(biāo)為，~±

2則有丸二嚀丸二一

22

代人投影式得農(nóng)％■-F-Qlg+p(1—x)g,m%~-F-

所以尸-pxg+m—=x+—\pg

11g)

解法2：用動量定理求解

取鏈條整體為研究對象，在t時刻，整體所受的外力有重力P=/71g,拉力F

和水平面對靜止的那部分鏈條的支持力F=-Q(/-X)￡

鏈條整體的總動量在豎直方向分量為R=pxv+口。-X).0-pxv

整體所受的外力有重力p=plg,拉力產(chǎn)和水平面對靜止的那部分鏈條的支持

力廠二~p(l~x)g

上式在X軸上的投影式為F=F-pxg

由動量定理罷二〃得-二十—(/uv)=p—v-pv=Fx=F-pxgatatat

F-pxg+pv

解法3：用變質(zhì)量問題方法求解

如圖示，取已上升部分為主體，其質(zhì)量為〃7二期速度為v,不斷增加部分

為變體，力乃二國工其速度〃=0.主體和變體所受合外力為F合二F-pxg

由密歇爾斯基方程一(mv)-M—=尸■得

dtdt°

"-(pxv)==F-pxgp'v=pv--F-pxg

dtdt

故尸-pxg+pv

圓環(huán)質(zhì)量為M,放在光滑水平面上，有一質(zhì)量為m的小蟲在圓環(huán)上爬

行，如圖示，求證：小蟲在圓環(huán)上相對地爬行一周時，圓環(huán)的自轉(zhuǎn)角

度不超過180oo設(shè)初始時系統(tǒng)靜止。

另正解：以小蟲+圓環(huán)為質(zhì)點系，圓環(huán)圓心為參考點，質(zhì)點系受力為重力，方向

均向下，與轉(zhuǎn)軸平行，力矩為零。故質(zhì)點系動量矩守恒。

在質(zhì)點系起始時，/=0,G°=0在某時刻小蟲相對于圓環(huán)的速度為u,圓環(huán)的角

速度為口，則小蟲的絕對速度為v=〃+s小蟲的動量矩為：G]=””+s)方向沿轉(zhuǎn)軸

方向。

圓環(huán)動量矩為：G?=二折~co方向也沿轉(zhuǎn)軸方向。

由動量矩守恒定律得：Gj+G2=mr(u+a>r)+Mr'CD-U有=一

dO_1ds

dtMdt

(I+----)r

廣護=I

Jo.

io

假設(shè)小蟲和圓環(huán)質(zhì)量相等M=m故。=-7i--18Cf

假設(shè)M=2m故。==-120

3

一般""勿故3Y18Cf

光滑球A與另一靜止的光滑球B發(fā)生斜碰，如兩球均為完全彈性體,

且兩球質(zhì)量相等，則兩球碰撞后的速度互相垂直，試證明之。

證明：設(shè)兩球質(zhì)量為光滑球A碰前速度矢量為E,光滑球B碰前速度

矢量為0,

A和B碰撞后的速度的速度矢量為元舌

由于兩球碰撞過程中動量守恒有必4=MVX+MIT.……Q）

又兩球為完全彈性體動能守恒有，MV；-+"2.......Q）

⑴式代入⑵式有（y;+v；y=v；2+v;2

整理上式得2