3.3三角函數(shù)的積化和差與和差化積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解利用兩角和與差的正弦、余弦公式導(dǎo)出積化和差、和差化積兩組公式的過程.2.理解在推導(dǎo)積化和差、和差化積公式中方程思想、換元思想所起的作用．[知識鏈接]兩角和與差的正弦、余弦公式是推導(dǎo)積化和差與和差化積公式的基礎(chǔ)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β；sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β；cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β；cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]積化和差公式與和差化積公式(不要求記憶)積化和差公式sinαcosβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)＋sin(α－β)]cosαsinβ＝eq\f(1,2)[sin(α＋β)－sin(α－β)]cosαcosβ＝eq\f(1,2)[cos(α＋β)＋cos(α－β)]sinαsinβ＝－eq\f(1,2)[cos(α＋β)－cos(α－β)]和差化積公式sinθ＋sinφ＝2sineq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)sinθ－sinφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)sineq\f(θ－φ,2)cosθ＋cosφ＝2coseq\f(θ＋φ,2)coseq\f(θ－φ,2)cosθ－cosφ＝－2sineq\f(θ＋φ,2)sineq\f(θ－φ,2)要點一利用積化和差與和差化積公式化簡求值例1求值：sin20°cos70°＋sin10°sin50°.解sin20°cos70°＋sin10°sin50°＝eq\f(1,2)(sin90°－sin50°)－eq\f(1,2)(cos60°－cos40°)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)cos40°＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin50°＋eq\f(1,2)sin50°＝eq\f(1,4).規(guī)律方法套用和差化積公式的關(guān)鍵是記準(zhǔn)、記牢公式，為了能夠把三角函數(shù)式化為積的形式，有時需要把常數(shù)首先化為某個角的三角函數(shù)，然后再化積，有時函數(shù)不同名，要先化為同名再化積，化積的結(jié)果能求值則盡量求出值來．跟蹤演練1求值：cos10°cos30°cos50°cos70°.解原式＝eq\f(\r(3),2)·eq\f(1,2)(cos60°＋cos40°)cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)cos40°cos70°＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),4)·eq\f(1,2)(cos110°＋cos30°)＝eq\f(\r(3),8)cos70°＋eq\f(\r(3),8)cos110°＋eq\f(\r(3),8)·cos30°＝eq\f(\r(3),8)·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,16).要點二積化和差與和差化積公式的應(yīng)用例2已知A＋B＋C＝π，求證：sinA＋sinB－sinC＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2).證明∵左邊＝sin(B＋C)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2sineq\f(B＋C,2)coseq\f(B＋C,2)＋2sineq\f(B－C,2)coseq\f(B＋C,2)＝2coseq\f(B＋C,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(B＋C,2)＋sin\f(B－C,2)))＝2coseq\f(π－A,2)·2sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝4sineq\f(A,2)sineq\f(B,2)coseq\f(C,2)＝右邊．∴原式成立．規(guī)律方法在運用積化和差求值時，盡量出現(xiàn)特殊角，同時注意互余角、互補角的三角函數(shù)間的關(guān)系．跟蹤演練2求證：taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).證明方法一∵taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2)＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sinx,cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(2sinx,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))))＝eq\f(2sinx,cosx＋cos2x).∴原式成立．方法二∵eq\f(2sinx,cosx＋cos2x)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)－\f(x,2)))＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3x,2)＋\f(x,2))))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)cos\f(x,2)－cos\f(3x,2)sin\f(x,2))),2cos\f(3x,2)cos\f(x,2))＝eq\f(sin\f(3x,2),cos\f(3x,2))－eq\f(sin\f(x,2),cos\f(x,2))＝taneq\f(3x,2)－taneq\f(x,2).∴原式成立．要點三三角恒等變換的實際應(yīng)用例3點P在直徑AB＝1的半圓上移動，過P作圓的切線PT且PT＝1，∠PAB＝α，問α為何值時，四邊形ABTP面積最大？解如圖所示，∵AB為直徑，∴∠APB＝eq\f(π,2)，又AB＝1，∴PA＝cosα，PB＝sinα.又PT切圓于P點，∠TPB＝∠PAB＝α，∴S四邊形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝eq\f(1,2)PA·PB＋eq\f(1,2)PT·PB·sinα＝eq\f(1,2)sinαcosα＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(1,4)sin2α＋eq\f(1,4)(1－cos2α)＝eq\f(1,4)(sin2α－cos2α)＋eq\f(1,4)＝eq\f(\r(2),4)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,4)))＋eq\f(1,4).∵0<α<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)<2α－eq\f(π,4)<eq\f(3,4)π，∴當(dāng)2α－eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即α＝eq\f(3,8)π時，S四邊形ABTP最大．規(guī)律方法解答此類問題，關(guān)鍵是合理引入輔助角α，將實際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識求解，在求解過程中，要注意角的范圍．跟蹤演練3某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1m，求割出的長方形桌面的最大面積(如圖)．解連接OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°<θ<45°，OC＝1.∵AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ＝－sin2θ＋sinθcosθ＝－eq\f(1,2)(1－cos2θ)＋eq\f(1,2)sin2θ＝eq\f(1,2)(sin2θ＋cos2θ)－eq\f(1,2)＝eq\f(\r(2),2)cos(2θ－45°)－eq\f(1,2).當(dāng)2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°時，Smax＝eq\f(\r(2)－1,2)(m2)．∴割出的長方形桌面的最大面積為eq\f(\r(2)－1,2)m2.1．下列等式錯誤的是()A．sin(A＋B)＋sin(A－B)＝2sinAcosBB．sin(A＋B)－sin(A－B)＝2cosAsinBC．cos(A＋B)＋cos(A－B)＝2cosAcosBD．cos(A＋B)－cos(A－B)＝2sinAcosB答案D解析由兩角和與差的正弦、余弦公式展開左邊可知A、B、C正確．2．sin15°cos165°的值是()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,4)D．－eq\f(1,2)答案C解析sin15°cos165°＝sin15°cos(180°－15°)＝－sin15°cos15°＝－eq\f(1,2)sin30°＝－eq\f(1,4)，故選C.3．sin105°＋sin15°等于()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(6),2)D.eq\f(\r(6),4)答案C解析sin105°＋sin15°＝2sineq\f(105°＋15°,2)coseq\f(105°－15°,2)＝2sin60°cos45°＝eq\f(\r(6),2).4．在△ABC中，若B＝30°，求cosAsinC的取值范圍．解由題意得cosAsinC＝eq\f(1,2)[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝eq\f(1,2)[sin(π－B)－sin(A－C)]＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2)sin(A－C)．∵－1≤sin(A－C)≤1，∴－eq\f(1,4)≤eq\f(1,4