1．判斷函數(shù)的單調(diào)性(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域，解決問(wèn)題的過(guò)程中，只能在函數(shù)的定義域內(nèi)，通過(guò)討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)注意在某一區(qū)間內(nèi)f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上為增(或減)函數(shù)的充分條件．2．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值要注意(1)極值是一個(gè)局部概念，是僅對(duì)某一點(diǎn)的左右兩側(cè)鄰近區(qū)域而言的．(2)連續(xù)函數(shù)f(x)在其定義域上的極值點(diǎn)可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有極值點(diǎn)，函數(shù)的極大值與極小值沒(méi)有必然的大小聯(lián)系，函數(shù)的一個(gè)極小值也不一定比它的一個(gè)極大值?。?3)可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，但函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，不一定是該函數(shù)的極值點(diǎn)．因此導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)僅是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，其充要條件是加上這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)．3．求函數(shù)的最大值與最小值(1)函數(shù)的最大值與最小值：在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)，在[a，b]上必有最大值與最小值；但在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f(x)不一定有最大值與最小值，例如：f(x)＝x3，x∈(－1,1)．(2)求函數(shù)最值的步驟一般地，求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上最大值與最小值的步驟如下：①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；②將函數(shù)y＝f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值．4．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型(函數(shù)關(guān)系)，如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x0，使f′(x0)＝0，則f(x0)是函數(shù)的最值．題型一轉(zhuǎn)化與化歸思想所謂轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在處理問(wèn)題時(shí)，把待解決的問(wèn)題或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一類已解決或易解決的問(wèn)題，最終使問(wèn)題得到解決．可以說(shuō)解數(shù)學(xué)題就是轉(zhuǎn)化問(wèn)題，每一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題無(wú)不是在不斷的轉(zhuǎn)化中獲得解決的，即使是數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想也都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的表現(xiàn)形式．例1已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(2,x)＋a(2－lnx)，a＞0.討論f(x)的單調(diào)性．解由題知，f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋eq\f(2,x2)－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－ax＋2,x2).設(shè)g(x)＝x2－ax＋2，二次方程g(x)＝0的判別式Δ＝a2－8.①當(dāng)Δ＜0即0＜a＜2eq\r(2)時(shí)，對(duì)一切x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)．②當(dāng)Δ＝0即a＝2eq\r(2)時(shí)，僅對(duì)x＝eq\r(2)，有f′(x)＝0，對(duì)其余的x＞0都有f′(x)＞0.此時(shí)f(x)也是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)．③當(dāng)Δ＞0即a＞2eq\r(2)時(shí)，方程g(x)＝0有兩個(gè)不同的實(shí)根x1＝eq\f(a－\r(a2－8),2)，x2＝eq\f(a＋\r(a2－8),2)，0＜x1＜x2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：x(0，x1)x1(x1，x2)x2(x2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)↗極大值↘極小值↗此時(shí)f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a－\r(a2－8),2)))上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－\r(a2－8),2)，\f(a＋\r(a2－8),2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋\r(a2－8),2)，＋∞))上單調(diào)遞增．反思與感悟求解函數(shù)y＝f(x)單調(diào)區(qū)間的步驟：(1)確定函數(shù)y＝f(x)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)；(3)解不等式f′(x)＞0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；(4)解不等式f′(x)＜0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．特別要注意定義域，寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和”或“，”隔開(kāi)，絕對(duì)不能用“∪”連接．跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．解(1)由已知得f′(x)＝3x2－a，∵f(x)在R上單調(diào)遞增，∴f′(x)＝3x2－a≥0在R恒成立，即a≤3x2在R上恒成立．∵3x2≥0，∴只需a≤0.又∵當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)，∴a＝0成立，即a的取值范圍是a≤0.(2)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在(－1,1)上恒成立．∵－1<x<1，∴3x2<3.∴只需a≥3.又∵當(dāng)a＝3時(shí)，f′(x)＝3(x2－1)，∴在(－1,1)上，f′(x)<0，即f(x)在(－1,1)上是減函數(shù)，∴a＝3成立，故存在實(shí)數(shù)a≥3，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減．題型二利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值和最值1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟(1)確定函數(shù)f(x)的定義域；(2)解方程f′(x)＝0的根；(3)檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′(x)的符號(hào)．若左正右負(fù)，則f(x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正，則f(x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f(x)的極值點(diǎn)．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟(1)求f(x)在(a，b)內(nèi)的極值；(2)將(1)求得的極值與f(a)、f(b)相比較，其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值．特別地，①當(dāng)f(x)在[a，b]上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)取得；②當(dāng)f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(小)值，這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．例2已知函數(shù)f(x)＝－x3＋ax2＋bx在區(qū)間(－2,1)內(nèi)，當(dāng)x＝－1時(shí)取極小值，當(dāng)x＝eq\f(2,3)時(shí)取極大值．(1)求函數(shù)y＝f(x)在x＝－2時(shí)對(duì)應(yīng)的切線方程；(2)求函數(shù)y＝f(x)在[－2,1]上的最大值與最小值．解(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b，又因?yàn)楫?dāng)x＝－1，x＝eq\f(2,3)時(shí)，函數(shù)分別取得極小值、極大值，所以－1，eq\f(2,3)為方程－3x2＋2ax＋b＝0的兩個(gè)根．所以eq\f(2,3)a＝－1＋eq\f(2,3)，－eq\f(b,3)＝(－1)×eq\f(2,3).于是a＝－eq\f(1,2)，b＝2，則f(x)＝－x3－eq\f(1,2)x2＋2x.當(dāng)x＝－2時(shí)，f(－2)＝2，即切點(diǎn)為(－2,2)．又因?yàn)榍芯€斜率k＝f′(－2)＝－8，所以，所求切線方程為y－2＝－8(x＋2)，即8x＋y＋14＝0.(2)當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1f′(x)－0＋0－f(x)2單調(diào)遞減－eq\f(3,2)單調(diào)遞增eq\f(22,27)單調(diào)遞減eq\f(1,2)因此，f(x)在[－2,1]上的最大值為2，最小值為－eq\f(3,2).跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)，(1)若f(x)在x＝2時(shí)取得極值，求a的值；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：當(dāng)x>1時(shí)，eq\f(1,2)x2＋lnx<eq\f(2,3)x3.(1)解f′(x)＝x－eq\f(a,x)，因?yàn)閤＝2是一個(gè)極值點(diǎn)，所以2－eq\f(a,2)＝0，則a＝4.此時(shí)f′(x)＝x－eq\f(4,x)＝eq\f((x＋2)(x－2),x)，因?yàn)閒(x)的定義域是(0，＋∞)，所以當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以當(dāng)a＝4時(shí)，x＝2是一個(gè)極小值點(diǎn)，則a＝4.(2)解因?yàn)閒′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)，所以當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)．當(dāng)a＞0時(shí)，f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)＝eq\f((x＋\r(a))(x－\r(a)),x)，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(eq\r(a)，＋∞)；遞減區(qū)間為(0，eq\r(a))．(3)證明設(shè)g(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\f(1,2)x2－lnx，則g′(x)＝2x2－x－eq\f(1,x)，因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＝eq\f((x－1)(2x2＋x＋1),x)＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上為增函數(shù)，所以g(x)＞g(1)＝eq\f(1,6)＞0，所以當(dāng)x＞1時(shí)，eq\f(1,2)x2＋lnx＜eq\f(2,3)x3.題型三導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)是高考的必考內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)．考題利用導(dǎo)數(shù)作為工具，考查求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的極值與最值，參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，以中低檔題為主；若以解答題形式出現(xiàn)，則難度以中檔以上為主，有時(shí)也以壓軸題的形式出現(xiàn)．考查中常滲透函數(shù)、不等式等有關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)．例3設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx－x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1<eq\f(x－1,lnx)<x；(3)設(shè)c>1，證明：當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.(1)解由題設(shè)，f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝eq\f(1,x)－1，令f′(x)＝0解得x＝1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.(2)證明由(1)知f(x)在x＝1處取得最大值，最大值為f(1)＝0.所以當(dāng)x≠1時(shí)，lnx<x－1.故當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，lnx<x－1，lneq\f(1,x)<eq\f(1,x)－1，即1<eq\f(x－1,lnx)<x.(3)證明由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)＝1＋(c－1)x－cx，則g′(x)＝c－1－cxlnc，令g′(x)＝0.解得x0＝eq\f(ln\f(c－1,lnc),lnc).當(dāng)x<x0時(shí)，g′(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減.由(2)知1<eq\f(c－1,lnc)<c，故0<x0<1.又g(0)＝g(1)＝0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0.所以當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，1＋(c－1)x>cx.跟蹤訓(xùn)練3證明：當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，－eq\f(11,3)≤eq\f(1,3)x3－4x≤eq\f(16,3).證明令f(x)＝eq\f(1,3)x3－4x，x∈[－2,1]，則f′(x)＝x2－4.因?yàn)閤∈[－2,1]，所以f′(x)≤0，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上單調(diào)遞減．故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,1]上的最大值為f(－2)＝eq\f(16,3)，最小值為f(1)＝－eq\f(11,3).所以，當(dāng)x∈[－2,1]時(shí)，－eq\f(11,3)≤f(x)≤eq\f(16,3)，即－eq\f(11,3)≤eq\f(1,3)x3－4x≤eq