1.1.3圓柱、圓錐、圓臺和球[學習目標]1.通過觀察實物和幾何模型，總結出圓柱、圓錐、圓臺和球的結構特征.2.能根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺和球的定義和結構特征，掌握它們的相關概念、分類和表示方法.[知識鏈接](1)如圖①，在直角三角形ABC中，sinB＝eq\f(AC,AB)，cosB＝eq\f(BC,AB).(2)如圖②，圓內接三角形ABC，AC過圓心，則∠B＝90°.①②③(3)如圖③，在△ABC中，DE∥BC，則eq\f(AD,DB)＝eq\f(AE,EC).[預習導引]1.圓柱、圓錐和圓臺定義圓柱、圓錐和圓臺可以分別看作以矩形的一邊，直角三角形的一條直角邊、直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉軸，將矩形、直角三角形、直角梯形分別旋轉一周而形成的曲面所圍成的幾何體結構特征軸旋轉軸叫做所圍成的幾何體的軸高在軸上的這條邊(或它的長度)叫做這個幾何體的高結構特征底面垂直于軸的邊旋轉而成的圓面叫做這個幾何體的底面?zhèn)让娌淮怪庇谳S的邊旋轉而成的曲面叫做這個幾何體的側面母線無論旋轉到什么位置，不垂直于軸的這條邊都叫做側面的母線圖形2.球(1)一個半圓繞著它的直徑所在的直線旋轉一周所形成的曲面叫球面；球面圍成的幾何體，叫做球.(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓；被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓.(3)球的截面的性質：①球的截面是一個圓面；②球心與截面圓心的連線垂直于截面；③球半徑R、截面圓半徑r，則球心到截面的距離d＝eq\r(R2－r2).(4)球面距離是指經(jīng)過兩點的大圓在這兩點之間的一段劣弧的長度.(5)在球面上，兩點之間的最短距離，就是經(jīng)過這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度，我們把這個弧長叫做兩點的球面距離.3.組合體由柱、錐、臺、球等基本幾何體組合而成的幾何體叫做組合體.要點一旋轉體的結構特征例1判斷下列各命題是否正確.(1)圓柱上底面圓上任一點與下底面圓上任一點的連線都是圓柱的母線；(2)一直角梯形繞下底所在直線旋轉一周，所形成的曲面圍成的幾何體是圓臺；(3)圓錐、圓臺中過軸的截面是軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形；(4)到定點的距離等于定長的點的集合是球.解(1)錯.由圓柱母線的定義知，圓柱的母線應平行于軸.(2)錯.直角梯形繞下底所在直線旋轉一周所形成的幾何體是由一個圓柱與一個圓錐組成的簡單組合體，如圖所示.(3)正確.(4)錯.應為球面.規(guī)律方法1.圓柱、圓錐、圓臺和球都是一個平面圖形繞其特定邊(弦)旋轉而成的幾何體，必須準確認識各旋轉體對旋轉軸的具體要求.2.只有理解了各旋轉體的生成過程，才能明確由此產生的母線、軸、底面等概念，進而判斷與這些概念有關的命題的正誤.跟蹤演練1下列敘述中正確的個數(shù)是()①以直角三角形的一邊為軸旋轉所得的旋轉體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉所得的旋轉體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④用一個平面去截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.A.0 B.1C.2 D.3答案A解析①應以直角三角形的一條直角邊所在直線為軸旋轉才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰所在直線為軸旋轉才可以得到圓臺；③它們的底面為圓面；④用平行于圓錐底面的平面截圓錐才可得到一個圓錐和一個圓臺.故四句話全不正確.要點二簡單組合體的結構特征例2如圖所示，已知AB是直角梯形ABCD與底邊垂直的一腰.分別以AB，CD，AD為軸旋轉，試說明所得幾何體的結構特征.解(1)以AB邊為軸旋轉所得旋轉體是圓臺，如圖(1)所示.(2)以CD邊為軸旋轉所得旋轉體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺，再挖去一個小圓錐.如圖(2)所示.(3)以AD邊為軸旋轉得到一個組合體，它是一個圓柱上部挖去一個圓錐.如圖(3)所示.規(guī)律方法1.平面圖形以一邊所在直線為軸旋轉時，要過有關頂點向軸作垂線，然后想象所得旋轉體的結構和組成.2.必要時作模型培養(yǎng)動手能力.跟蹤演練2如圖(1)、(2)所示的圖形繞虛線旋轉一周后形成的立體圖形分別是由哪些簡單幾何體組成的？解圖(1)、圖(2)旋轉后的圖形如圖所示分別是圖①、圖②.其中圖①是由一個圓柱O1O2和兩個圓臺O2O3，O3O4組成的；圖②是由一個圓錐O5O4，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O2O1組成的.要點三有關幾何體的計算問題例3如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長.解設圓臺的母線長為l，由截得圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設截得圓臺的上、下底面的半徑分別為r,4r.過軸SO作截面，如圖所示.則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.∴eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA).∴eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9(cm)，即圓臺的母線長為9cm.規(guī)律方法用平行于底面的平面去截柱、錐、臺等幾何體，注意抓住截面的性質(與底面全等或相似)，同時結合旋轉體中的經(jīng)過旋轉軸的截面(軸截面)的性質，利用相似三角形中的相似比，構設相關幾何變量的方程組而得解.跟蹤演練3一個圓臺的母線長為12cm，兩底面面積分別為4πcm2和25πcm2.求：(1)圓臺的高；(2)截得此圓臺的圓錐的母線長.解如圖，將圓臺恢復成圓錐后作其軸截面，設圓臺的高為hcm，截得該圓臺的圓錐的母線為xcm，由條件可得圓臺上底半徑r′＝2cm，下底半徑r＝5cm.(1)由勾股定理得h＝eq\r(122－(5－2)2)＝3eq\r(15)(cm).(2)由三角形相似得：eq\f(x－12,x)＝eq\f(2,5)，解得x＝20(cm).答(1)圓臺的高為3eq\r(15)cm，(2)截得此圓臺的圓錐的母線長為20cm.1.下列幾何體是臺體的是()答案D解析臺體包括棱臺和圓臺兩種，A的錯誤在于四條側棱沒有交于一點，B的錯誤在于截面與圓錐底面不平行.C是棱錐，結合棱臺和圓臺的定義可知D正確.2.圖1是由下列哪個平面圖形繞軸O′O旋轉而成的組合體()答案D解析組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個圓臺，因此應該是由上半部分為三角形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉而成的，觀察四個選項得D正確.3.下面幾何體的截面一定是圓面的是()A.圓臺 B.球C.圓柱 D.棱柱答案B解析截面可以從各個不同的部位截取，截得的截面都是圓面的幾何體只有球.4.下列命題：①通過圓臺側面上一點，有無數(shù)條母線；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線相互平行.其中正確的是()A.①② B.②③C.①③ D.②④答案D解析①③錯誤，②④正確.5.一個圓錐的母線長為20cm，母線與軸的夾角為30°，則