如何破解二次函數(shù)壓軸題2018.06.07難學難教學生無從下手，老師視為畏途：面對此類問題，學生一般只完成前面一、二問，后面問題基本不看，即使優(yōu)秀同學也非常恐懼；老師出于現(xiàn)實考量，一般放棄后面問題的講解，一來實在難講；二來風險太大，投入產(chǎn)出不成比例.二次函數(shù)壓軸題面臨的問題_1錯失良機學生錯失提升思維能力和水平的機會，在初中階段，大多數(shù)同學的知識結(jié)構(gòu)是零散的，不系統(tǒng)的.二次函數(shù)壓軸題中滲透了函數(shù)的思想，方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論，類比歸納等數(shù)學思想，本人認為還應該加上一個極為重要的數(shù)學思想即：點、線、式.甚至我個人認為這個思想應該放在函數(shù)問題的首要位置.

二次函數(shù)壓軸題面臨的問題_2二次函數(shù)壓軸題是以二次函數(shù)為背景，探討點、線、角、面、恒等式證明等問題.現(xiàn)有解題體系有四個顯著的特點：二次函數(shù)壓軸題的特點對圖形高度依賴。1幾何為主代數(shù)為輔。2邏輯跳躍太大。3思維過程冗長。4本人提出的解題體系特點實際上，“點”、“線”、“式”觸及了解題核心，簡化思維過程，易于學生的理解和掌握。對圖形依賴大大降低。1代數(shù)為主，幾何為輔。2邏輯線條清晰。3思維過程簡潔。4完全建構(gòu)了新的思維體系，歸根結(jié)底三個字：點，線，式由線思點，由點到線，由線到式。

如圖，已知二次函數(shù)L1:

和二次函數(shù)L2:

圖象的頂點分別為M,N,與

軸分別交于點E,F.

(1)函數(shù)

的最小值為_____；當二次函數(shù)L1，L2的y值同時隨著x

的增大而減小時，x的取值范圍是____________；

（2）當EF＝MN.時，求a的值，并判斷四邊形ENFM的形狀（直接寫出，不必證明）；

（3）若二次函數(shù)L2的圖象與x軸的右交點為A(m,0)，當△AMN為等腰三角形時，求方程

的解.

點：E、F、M、N線：EF=MN；式：兩點距離公式，求a點：A、M、N線：AM=AN，AM=MN，AN=MN式：兩點距離公式，求m中考數(shù)學壓軸題探究162021/10/10

設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2，過點B1（1,0）作x軸的垂線，交拋物線于點

A1(1,2);過點B2（,0）作x軸的垂線，交拋物線于點A2；…；過點Bn（,0)（n為正

整數(shù)）作x軸的垂線，交拋物線于點An，連接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1。

（1）求a的值；

（2）直接寫出線段AnBn，BnBn+1的長；

（3）在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：

①當n為何值時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

②設(shè)1≤k＜m≤n(k,m均為正整數(shù))，問：是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出相似比，若不存在，說明理由.點：Bn，An，Bn+1，線：AnBn，BnBn+1式：AnBn=BnBn+1點：Ak，Bk，Bk+1，Am，Bm，Bm+1線：AkBk，BkBk+1，AmBm，BmBm+1

式：

中考數(shù)學壓軸題探究272021/10/10中考數(shù)學壓軸題探究在直角坐標系中，我們常常遇到等腰直角三角形及45°的構(gòu)建問題。個人認為，在坐標系中解決問題，盡可能以代數(shù)思想為主，幾何方法為輔。因此我開始探索此類問題代數(shù)化方法。開鎖法也就應運而生了。將靜態(tài)的幾何問題，用動態(tài)的代數(shù)方法進行處理的一種手段?？蓮V泛應用于等腰直角三角形及45°的構(gòu)建問題。主要通過構(gòu)建一線三直角，利用全等處理。美中不足之處在于輔助線構(gòu)造繁雜，特別在涉及參數(shù)的分類討論時，容易出現(xiàn)漏解。傳統(tǒng)方法開鎖法探索“開鎖法”的基本步驟例1：A（4,1），若將點A繞原點旋轉(zhuǎn)90°得到點B，求點B坐標.顯然點B的坐標為（1，－4）或（－1，4）注意此時B1，B2存在對稱關(guān)系例2：A（a,b），若將點A繞原點旋轉(zhuǎn)90°得到點B，求點B坐標.點B的坐標為（b，－a）或（－b，a）

一般情況下“開鎖法”例3：如圖，已知△ABC是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，A(－1,3)，C(2,2)，求點B坐標。因為△ABC是等腰直角三角形點B可視為點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°而成將點C（2，2）平移到原點C′（0，0）則點A（－1，3）平移后對應點為A′（－3，1）將點A′（－3，1）繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°得點B′（1，3），將點C′平移回點C（2，2），所以點B′（1，3）平移后即為點B（3，5）解：任意情況下“開鎖法”解：例4：如圖，已知△ABC是以點C為直角頂點的等腰直角三角形，A(a,b)，C(c,d)，求點B坐標?！摺鰽BC是等腰直角三角形點B可視為點A繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°而成將點C（c，d）平移到原點C′（0，0）則點A（a，b）平移后為A′（a－c，b－d）將點A′繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得點B′（b－d，c－a）將點C′（0，0）平移回點C（c，d）點B′（b－d，c－a）平移后即為點B∴B點坐標為（b－d＋c，c－a＋d）“開鎖法”基本步驟此問題分三種情況：若兩定點已知，可直接通過“開鎖法”確定第三點坐標；一定點一動點，可直接通過“開鎖法”確定第三點參數(shù)坐標；同一參數(shù)兩動點，可直接通過“開鎖法”確定第三點參數(shù)坐標?！鹃_鎖法】第一步，將等腰直角三角形直角頂點平

移至原點位置；第二步，將斜邊上一點繞原點旋轉(zhuǎn)90°；第三步，將等腰直角三角形平移回原位，

求出另一點坐標?！鹃_鎖過程】第一步，將鑰匙平移至鎖眼位置；第二步，將鑰匙繞鎖眼旋轉(zhuǎn)90°；第三步，將鑰匙平移回原位，開

鎖過程結(jié)束。類比一下整個過程，兩者是否有異曲同工之妙。“開鎖法”示例_1拋物線與直線

交于C、D兩點，點P是y軸右側(cè)拋物線上一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線CD于點F．是否存在點P，使∠PCF＝45°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.132021/10/10“開鎖法”示例_1物線與直線

交于C、D兩點，點P是y軸右側(cè)拋物線上一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線CD于點F．是否存在點P，使∠PCF＝45°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.方法一、點：C，D線：開鎖法或矩形構(gòu)造法得出H式：聯(lián)立拋物線及CH直線方程.方法二、點：C，D線：開鎖法或矩形構(gòu)造法得出點H式：聯(lián)立拋物線及CH直線方程.142021/10/10“開鎖法”示例_1拋物線與直線

交于C、D兩點，點P是y軸右側(cè)拋物線上一個動點，過點P作PE⊥x軸于點E，交直線CD于點F．是否存在點P，使∠PCF＝45°，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由.152021/10/10“開鎖法”示例_2（2017深圳）如圖，拋物線

經(jīng)過點A（－1,0），B（4,0），交y軸于點C；

將直線BC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°，與拋物線交于另一點E，求BE的長.162021/10/10“開鎖法”示例_3

拋物線

與直線

交于A、B兩點，其中點A在y軸上，點P為y軸左側(cè)的拋物線上一動點，當點P運動到直線AB下方某一處時，過點P作PM⊥AB，垂足為M，連接PA使△PAM為等腰直角三角形，請直接寫出此時點P的坐標.

172021/10/10“開鎖法”示例_4（2017?哈爾濱）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線經(jīng)過A（－4,0），B（0,4）兩點，與x軸交于另一點C，直線y＝x＋5與x軸交于點D，與y軸交于點E。點P是第二象限拋物線上的一個動點，連接EP，過點E作EP的垂線l，在l上截取線段EF，使EF＝EP，且點F在第一象限，過點F作FM⊥x軸于點M，設(shè)點P的橫坐標為t，線段FM的長為d，求d與t之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）.182021/10/10“開鎖法”示例_5（2017成都）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：

與x軸相交于A，B兩點，頂點為D，設(shè)點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設(shè)M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．192021/10/10“開鎖法”示例_5（2017成都）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：

與x軸相交于A，B兩點，頂點為D，設(shè)點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C′．P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C′上的對應點P′，設(shè)M是C上的動點，N是C′上的動點，試探究四邊形PMP′N能否成為正方形？若能，求出m的值；若不能，請說明理由．202021/10/10“開鎖法”示例_6（2017?山東臨沂）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(－1，0)和點B(1，0)，直線y＝2x－1與y軸交于點C，與拋物線交于點C，D.平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標.212021/10/10“開鎖法”示例_6（2017?山東臨沂）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于點A(－1，0)和點B(1，0)，直線y＝2x－1與y軸交于點C，與拋物線交于點C，D.平移拋物線，使拋物線的頂點P在直線CD上，拋物線與直線CD的另一個交點為Q，點G在y軸正半軸上，當以G、P、Q三點為頂點的三角形為等腰直角三角形時，求出所有符合條件的G點的坐標.22