第2章光纖傳輸基本理論2.1光纖傳輸基本方程及解2.2多模光纖的光傳輸特性2.3單模光纖的光傳輸特性2.4光纖傳輸中的非線(xiàn)性現(xiàn)象

2.1光纖傳輸基本方程及解

由于任何光信號(hào)都可分解成具有一定相對(duì)關(guān)系的單色光的組合，為了得到光纖傳輸?shù)奶匦?，我們需要?dǎo)出在單色光輸入情況下光纖的輸出特性。本節(jié)分析光纖中光的傳輸特性。

2.1.1麥克斯韋方程與波動(dòng)方程

光信號(hào)在光纖中的傳輸由麥克斯韋方程描述，可寫(xiě)為

(2-1-1)式中，E(r，t)、H(r，t)分別為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；D(r，t)、B(r，t)分別為電位移矢量和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量；

Jf(r，t)為電流密度矢量，ρf(r，t)為電荷密度分布，是電磁場(chǎng)的源。

當(dāng)介質(zhì)內(nèi)傳輸?shù)碾姶艌?chǎng)強(qiáng)度E(r，t)和H(r，t)增大時(shí)，電位移矢量D(r，t)和磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量B(r，t)也隨之增大，它們的關(guān)系通過(guò)物質(zhì)方程聯(lián)系起來(lái)(2-1-2)D(r，t)=ε0E(r，t)+P(r，t)B(r，t)=μ0H(r，t)+M(r，t)式中，ε0為真空中的介電常數(shù)，μ0為真空中的磁導(dǎo)率，P(r，t)、M(r，t)分別為感應(yīng)電極化強(qiáng)度和磁極化強(qiáng)度。對(duì)光纖這種無(wú)自由電荷的非磁性介質(zhì)，Jf(r，t)=0，ρf(r，t)=0，M=0，感應(yīng)電極化強(qiáng)度可表示為

(2-1-3)P(r，t)=PL(r，t)+PNL(r，t)式中，PL為電極化強(qiáng)度的線(xiàn)性部分，PNL為電極化強(qiáng)度的非線(xiàn)性部分，它們與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系為(2-1-4)在本節(jié)，我們只考慮光纖為線(xiàn)性介質(zhì)的情況，非線(xiàn)性問(wèn)題留在本章第4節(jié)中討論。假設(shè)光纖為各向同性介質(zhì)，則(2-1-5)D(r，t)=εE(r，t)=ε0(1+χ(1))E(r，t)B(r，t)=μH(r，t)考慮上面所提到的光纖的一些特性，光信號(hào)在光纖中傳輸?shù)柠溈怂鬼f方程可簡(jiǎn)化為(2-1-6)考察輸入為單色光的情況，光纖中任一點(diǎn)上的光信號(hào)的場(chǎng)強(qiáng)分布可表示為(2-1-7)將上式代入式(2-1-6)，并作適當(dāng)?shù)淖儞Q可得(2-1-8)實(shí)際使用的光纖一般是弱導(dǎo)光纖，即纖芯和包層的折射率非常接近，ε在一個(gè)波長(zhǎng)的空間范圍內(nèi)的變化非常緩慢，上式中的ε/ε可以忽略不計(jì)，則有

(2-1-9a)

(2-1-9b)其中，k0=2π/λ是自由空間波數(shù)，λ是波長(zhǎng)，n=(εμ)1/2是介質(zhì)的折射率。這就是描述光纖中光場(chǎng)分布的基本方程，稱(chēng)為波動(dòng)方程或亥姆霍茲方程，這是一個(gè)矢量方程，n只有在均勻介質(zhì)中才是常數(shù)。2.1.2波動(dòng)方程的近似解

1.標(biāo)量場(chǎng)方程

由于假定了弱導(dǎo)波光纖中的橫向場(chǎng)的極化方向保持不變，采用直角坐標(biāo)系來(lái)表示場(chǎng)分量比較方便，因此，分析問(wèn)題時(shí)將同時(shí)采用直角坐標(biāo)系和圓柱坐標(biāo)系，如圖2-1-1所示。假定折射率為n2的包層無(wú)限大，在后面我們將看出該假設(shè)的合理性。

選橫向場(chǎng)的極化方向與y軸一致，即電場(chǎng)只有y分量，x分量為零，則式(2-1-9a)變?yōu)?/p>

(2-1-10)圖2-1-1光纖坐標(biāo)解此方程并滿(mǎn)足纖芯、包層交界面上的邊界條件，就可得到光纖的標(biāo)量解。將式(2-1-10)寫(xiě)到圓柱坐標(biāo)系中，得到(2-1-11)根據(jù)光纖截面折射率分布的圓柱對(duì)稱(chēng)性和軸向平移不變性，在以光纖軸線(xiàn)為軸的柱坐標(biāo)系統(tǒng)中，光纖中光場(chǎng)的分布應(yīng)有下列形式Ey(r，θ，z)=R(r)cosmθexp(jβzt)

(2-1-12)這里βz是z方向的傳播常數(shù)，如果z方向有能量損失，則βz是復(fù)數(shù)，虛數(shù)部分代表單位距離的損失，實(shí)數(shù)部分代表單位距離相位的傳播。將式(2-1-12)代入式(2-1-11)，整理后得

(2-1-13)上式中第一個(gè)式子是m階貝塞爾方程，第二個(gè)式子是變質(zhì)的貝塞爾方程，m、βz對(duì)應(yīng)著方程的某一種解，表示光場(chǎng)的某種特定分布，這種特定分布通常稱(chēng)為某種模式。為了方便起見(jiàn)，引入兩個(gè)有用的參量，令(2-1-14)u叫做導(dǎo)波的徑向歸一化相位常數(shù)，w叫做導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)。它們各表示在纖芯和包層中導(dǎo)波場(chǎng)沿徑向的變化情況。下面分析場(chǎng)方程的解。在纖芯內(nèi)，R(r)的解應(yīng)是貝塞爾函數(shù)的組合(2-1-15)其中，Jm為貝塞爾函數(shù)，Ym為聶曼函數(shù)。R(r)在纖芯處應(yīng)為駐波解，由于Ym(0)為無(wú)窮大，與場(chǎng)的實(shí)際情況不符，因此B為0。在包層內(nèi)，R(r)的解應(yīng)是修正貝塞爾函數(shù)的組合(2-1-16)其中，Im和Km分別為第一類(lèi)和第二類(lèi)修正的貝塞爾函數(shù)，R(r)在包層中隨r的增加應(yīng)減小，是衰減解，而Im在r趨近無(wú)窮時(shí)也趨于無(wú)窮，所以C應(yīng)為0，于是R(r)可寫(xiě)為(2-1-17)

J與K兩種函數(shù)的曲線(xiàn)示于圖2-1-2中。圖2-1-2貝塞爾函數(shù)和修正的貝塞爾函數(shù)圖形利用上式，光纖中Ey的表示式可寫(xiě)成(2-1-18)在推導(dǎo)上式中利用了纖芯界面上的邊界條件，，簡(jiǎn)化了一個(gè)常數(shù)。橫向磁場(chǎng)只包含Hx分量，根據(jù)Ey可寫(xiě)成(2-1-19)從麥克斯韋方程，可求出Ez和Hz的表示式為比較場(chǎng)的軸向和橫向分量的大小，可以發(fā)現(xiàn)，弱導(dǎo)波光纖的軸向分量比橫向分量的值小得多。因?yàn)檩S向分量的表示式中含有u/(aK0)和w/(aK0)，而(2-1-22)它們都在Δ數(shù)量級(jí)。所以合成場(chǎng)基本在光纖橫截面上，近似一個(gè)TEM波。

2.標(biāo)量解的特征方程

根據(jù)邊界條件可以導(dǎo)出特征方程，前面在求解場(chǎng)的橫向分量的表示式時(shí)已用了纖芯界面上場(chǎng)的角向分量連續(xù)的條件，現(xiàn)在再用界面上軸向分量連續(xù)的條件。在r=a處，,

則(2-1-23)(2-1-24)利用弱導(dǎo)條件，上式可寫(xiě)成下面兩個(gè)式子

1)LPmn模的截止條件

我們先簡(jiǎn)單分析一下光纖中傳輸?shù)膶?dǎo)行波的特性?？疾彀鼘又械碾妶?chǎng)，我們有

(2-1-25)根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的特性，上式近似為(2-1-26)式中，C為比例常數(shù)。從式(2-1-26)可以看出，當(dāng)ω>0時(shí)(即ω為實(shí)數(shù)時(shí))，場(chǎng)在纖芯外呈指數(shù)衰減型，在r相當(dāng)大處，E(r)趨于零，這時(shí)光波封閉在光纖中傳輸，對(duì)應(yīng)為傳導(dǎo)模。根據(jù)式(2-1-14)，若(2-1-27)ω成為虛數(shù)，包層中的場(chǎng)將成振蕩型，而振幅不減小，意味著光能向外輻射，這時(shí)的光場(chǎng)為輻射模式。顯然，ω=0剛好是傳導(dǎo)模和輻射模的分界處，將ωc=0定義為傳導(dǎo)模的截止條件。

下面考察截止這種極端情況下特征方程的解。首先我們引入一個(gè)有用的參量——?dú)w一化頻率，定義為(2-1-28)它與光纖的參數(shù)和傳導(dǎo)光波的波長(zhǎng)有關(guān)，在ωc=0時(shí)，vc=uc,分別稱(chēng)為歸一化截止頻率和歸一化截止相位常數(shù)。顯然，在截止條件下得到的特征函數(shù)的解uc就是所對(duì)應(yīng)模式的截止條件vc。在截止條件下，ω=0，Km(ω)近似為

(2-1-29)可以證明，特征方程(2-1-23)的右端在任何值時(shí)都為零。于是，截止時(shí)有(2-1-30)(2-1-31)當(dāng)uc不為0時(shí)這就是截止情況下的特征方程，由此可以解出uc，確定截止條件。uc是m－1階貝塞爾函數(shù)的根。當(dāng)m=0時(shí)，J－1(uc)=J1(uc)=0，可解出uc=μ1，n－1=0，3.83171，7.01559，10.17347，…，這里μ1，n－1是一階貝塞爾函數(shù)的第n－1個(gè)根，n=1，2，3，…。顯然，LP01模的截止頻率為0，LP02模的截止頻率為3.83171，這意味著當(dāng)歸一化頻率V小于3.83171時(shí)，LP02模不能在光纖中傳輸，而LP01?？偸强梢栽诠饫w中傳輸?shù)摹?/p>

當(dāng)m≠0時(shí)，Jm－1(uc)=0，可解出uc=μm－1，n，它是m－1階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，n=1，2，3，…。對(duì)于m=1，

uc=μ0n=2.40483，5.52008，8.65373，…。表2-1-1列出了較低階LPmn模截止時(shí)的uc值。

2)LPmn模遠(yuǎn)離截止時(shí)的解及其物理意義

從上面對(duì)模式截止條件的分析可以看出，在光纖中，隨著歸一化頻率V的增大，它所截止的模式的階數(shù)也增加，即傳播的模式增加?，F(xiàn)在我們分析另一種極端情況：遠(yuǎn)離截止時(shí)的情況。隨著光纖歸一化頻率的增加，導(dǎo)波的徑向歸一化衰減常數(shù)ω越來(lái)越大，這意味著導(dǎo)波在包層中徑向衰減加快，導(dǎo)波能量往光纖纖芯中集中，當(dāng)V和ω足夠大時(shí)，除靠近V的幾個(gè)高階模外，導(dǎo)波能量基本集中在光纖纖芯當(dāng)中，我們把這種狀態(tài)稱(chēng)為遠(yuǎn)離截止的情況。根據(jù)V的定義，當(dāng)V→∞時(shí)，比值a/λ→∞，于是那些遠(yuǎn)離截止的較低階模的衰減常數(shù)ω→∞，這時(shí)Km(ω)可用大宗量下的近似式表示

(2-1-32)將上式代入特征方程(2-1-24)可得(2-1-33)因而遠(yuǎn)離截止時(shí)的特征方程可簡(jiǎn)化為(2-1-34)Jm(u)=0遠(yuǎn)離截止時(shí)的特征值是m階貝塞爾函數(shù)的根μmn(n=1，2，3，…)。表2-1-2中列出了μmn較低階的值。綜上所述，LPmn模的u值在截止時(shí)為m－1階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，在遠(yuǎn)離截止時(shí)為m階貝塞爾函數(shù)的第n個(gè)根，在一般情況下應(yīng)在這兩者之間變化。由特征方程式(2-1-24)并結(jié)合V的定義，用數(shù)值方法可作出一般情況下u~V的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖2-1-3所示。由該圖可清楚地看出各模式的截止條件和允許的u值的范圍。圖2-1-3u~V關(guān)系曲線(xiàn)上面討論了沿y方向極化的LP模，并假定它沿圓周方向呈cosmθ變化，實(shí)際上還存在著與Ey垂直的x方向的極化場(chǎng)Ex，這兩種極化波又都有選取sinmθ和cosmθ的自由。盡管它們有形式上的差別，但在弱導(dǎo)近似下的傳播常數(shù)是相同的，可用同一組標(biāo)號(hào)m、n表征，統(tǒng)稱(chēng)為L(zhǎng)Pmn模，又稱(chēng)之為簡(jiǎn)并模。每一個(gè)LPmn模一般有四重簡(jiǎn)并。當(dāng)m=0時(shí)，sinmθ=0，LP0n模只有兩重簡(jiǎn)并。圖2-1-4給出了LP01模和

LP11模的各種可能分布。圖2-1-4LP01和LP11模電場(chǎng)的可能分布在LP模分析法中，各LPmn模的標(biāo)號(hào)m、n有明確的物理意義，它們表示對(duì)應(yīng)模場(chǎng)在光纖橫截面上的分布規(guī)律。由式(2-1-18)可知，LPmn模在纖芯中的橫向電場(chǎng)分布為

(2-1-35)(2-1-36)它沿圓周及半徑方向的分布規(guī)律分別為顯然，光場(chǎng)在圓周方向上的變化情況與m有關(guān)，當(dāng)m=0時(shí)(2-1-37)(2-1-38)(正弦規(guī)律)(余弦規(guī)律)說(shuō)明在圓周方向上無(wú)光場(chǎng)變化，在圓周方向上出現(xiàn)最大值的個(gè)數(shù)為0。當(dāng)m=1時(shí)(2-1-39)由式(2-1-37)可見(jiàn)，光場(chǎng)沿徑向的變化與n有關(guān)，下面以m=0為例加以說(shuō)明。這時(shí)LP0n

模的場(chǎng)沿徑向按零階貝塞爾函數(shù)的規(guī)律變化，在遠(yuǎn)離截止的情況下，對(duì)LP01模u=μ01=2.40483，它沿徑向的變化規(guī)律為(2-1-40)在r=0處，R(0)=1；在r=a處，R(a)=0，它沿r的變化情況如圖2-1-5(a)所示。對(duì)LP02模u=μ02=5.52008，它沿徑向的變化規(guī)律為(2-1-41)在r=0處，R(0)=1；在r=0.4357處，R(r)=0；在r=a處，R(a)=0，它沿r的變化情況如圖2-1-5(b)所示，沿半徑有兩個(gè)最大值，可見(jiàn)，n表示沿半徑最大值的個(gè)數(shù)。圖2-1-5LP0n模的電場(chǎng)強(qiáng)度徑向分布2.1.3標(biāo)量場(chǎng)模的光功率分布

計(jì)算各模式在纖芯和包層中的功率分布是有實(shí)際意義的，首先，從計(jì)算結(jié)果可以看出功率在纖芯中的集中程度；另外，實(shí)際光纖中存在損耗，這些損耗分別產(chǎn)生在纖芯、包層及兩者的分界面上，而各部分的衰減與各部分的傳輸功率成正比。因此，為了計(jì)算損耗也需知道功率在光纖中的分布情況。

將軸向玻印亭矢量分別在纖芯和包層橫截面上積分，就可求出纖芯和包層中傳輸?shù)墓β史謩e為

(2-1-42)(2-1-43)將式(2-1-18)和式(2-1-19)代入式(2-1-42)得到纖芯中傳輸?shù)墓β蕿?/p>

(2-1-44)類(lèi)似地，可得包層中的傳輸功率為(2-1-45)對(duì)弱導(dǎo)光纖，n1≈n2=n，并令，則(2-1-46)光纖纖芯中光功率與總功率之比為(2-1-47)在推導(dǎo)上式時(shí)利用了特征函數(shù)。光纖包層中光功率與總功率之比為(2-1-48)利用上式可求得包層中光功率與V的關(guān)系曲線(xiàn)，如圖2-1-6所示。圖2-1-6各模的包層功率與V值的關(guān)系下面我們討論V→∞和V逐漸減小兩種情況下的光功率分布。V→∞時(shí)，LPmn模的u值對(duì)應(yīng)m階貝塞爾函數(shù)的根。

Jm(u)=0，且ω≈V，所以Pcore/Ptotal=1說(shuō)明光功率完全集中在纖芯中。隨著V值減小，高的模次逐漸截止，即ω→0，則(2-1-49)上式可進(jìn)一步表示成(2-1-50)2.1.4單模與多模光纖的分類(lèi)及處理方法

上面我們?cè)趦煞N極端情況下對(duì)光纖的傳輸特性進(jìn)行了分析，可以看出，光纖中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)由歸一化頻率決定，當(dāng)歸一化頻率確定后，光纖中所傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)和模式分布也就確定了。

一般情況下，光纖中有許多模式，每一模式有其特定的傳播常數(shù)，由于模式之間的傳播常數(shù)不同，各模式之間將有色散，這種色散稱(chēng)為模間色散。光纖的傳輸特性由所有能夠傳輸?shù)哪Ｊ蒋B加后確定。根據(jù)前面的分析，當(dāng)光纖的歸一化頻率小于LP11模的截止頻率時(shí)，光纖中將只有LP01模能夠運(yùn)行，我們將

V<Vc=2.40483

(2-1-51)

稱(chēng)為光纖的單模傳輸條件。因?yàn)闅w一化頻率是工作波長(zhǎng)和折射率分布的函數(shù)，當(dāng)光纖參數(shù)確定后，只有工作波長(zhǎng)大于某一特定波長(zhǎng)時(shí)，光纖才能實(shí)現(xiàn)單模傳輸，我們稱(chēng)這個(gè)特定波長(zhǎng)為光纖的截止波長(zhǎng)，可表示為 (2-1-52)

2.2多模光纖的光傳輸特性

在上一節(jié)我們指出，用波動(dòng)理論研究多模光纖的傳輸特性非常復(fù)雜，很難得到一些簡(jiǎn)潔的、有意義的結(jié)果。在多模光纖中，由于波長(zhǎng)一般遠(yuǎn)小于光纖的直徑，可以用射線(xiàn)光學(xué)來(lái)研究它的傳輸特性。所謂射線(xiàn)光學(xué)是波長(zhǎng)趨于0時(shí)由波動(dòng)理論近似后得到的一種描述光波行為的理論，它的核心方程為射線(xiàn)微分方程，由麥克斯韋方程在波長(zhǎng)趨于0的情況下得到，可表示為

(2-2-1)這是矢量形式的射線(xiàn)微分方程，其中，r是一條光線(xiàn)上某代表點(diǎn)的矢量位置，s是該點(diǎn)在光線(xiàn)上從某固定點(diǎn)量起的長(zhǎng)度，上式右邊為折射率梯度。利用該方程，原則上就可以對(duì)各種折射率分布情況下光線(xiàn)的傳輸特性進(jìn)行描述。但實(shí)際上在折射率分布復(fù)雜的情況下解該矢量微分方程并不容易，一般不直接使用該方程，而是靈活使用由該方程在一些具體條件下得到的更簡(jiǎn)單的方程，如折射、反射定律等。下面我們利用射線(xiàn)光學(xué)理論分析最常見(jiàn)的階躍光纖和梯度光纖的傳輸特性。2.2.1階躍光纖的傳輸特性

階躍折射率分布的多模光纖是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的多模光纖，它的纖芯和包層的折射率分布都是均勻的，分別為n1和n2，且n1>n2。通過(guò)這種光纖的光線(xiàn)有兩種：子午光線(xiàn)和斜射光線(xiàn)，如圖2-2-1所示。所謂子午光線(xiàn)是那些在光纖內(nèi)的兩次全反射中通過(guò)光纖軸線(xiàn)的光線(xiàn)，而斜射光線(xiàn)就是一些與光纖中心軸既不平行，也不相交的光線(xiàn)，這兩種光線(xiàn)在光纖傳輸過(guò)程中具有不同的性質(zhì)。圖2-2-1子午光線(xiàn)和斜射光線(xiàn)

1.階躍光纖中子午光線(xiàn)的傳輸特性

在光纖中，通過(guò)光纖中心軸的任何平面都稱(chēng)為子午面，而位于子午面內(nèi)的光線(xiàn)就是子午光線(xiàn)。子午面有無(wú)限多個(gè)，它在光纖端面上的投影即為光纖端面上的直徑。根據(jù)光的反射定律，如果光纖是一個(gè)均勻的直圓柱體，子午線(xiàn)將始終位于一個(gè)子午面內(nèi)，且在光纖入端的入射角等于光纖出端的出射角，所以，對(duì)子午光線(xiàn)的研究可在子午平面內(nèi)進(jìn)行。如圖2-2-1(a)所示，假定在某子午面內(nèi)，光線(xiàn)以入射角θ入射到光纖端面中心再射入到光纖中，在光纖內(nèi)，此光線(xiàn)與軸線(xiàn)的夾角為α0。由式(2-2-1)可以導(dǎo)出，在兩均勻介質(zhì)的分界面處有

n0sinθ=n1sinα0

(2-2-2)上式為描述光在兩介質(zhì)截面上折射行為的斯涅爾定律，其中n0為空氣中的折射率，其值一般取1。如果要該光線(xiàn)能夠在光纖中傳播而不折射出去，則必須滿(mǎn)足在纖芯、包層界面上產(chǎn)生全反射的條件，即(2-2-3)將上式代入式(2-2-2)就得到入射子午光線(xiàn)傳播的條件(2-2-4)在上式中，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)對(duì)應(yīng)的入射角稱(chēng)為最大入射角，以θmax表示，也就是說(shuō)只有在光纖端面入射角θ≤

θmax的光線(xiàn)才能在光纖中傳播。對(duì)光纖而言，這個(gè)可能的最大的入射角叫做光纖的接受角，它僅與n1、n2有關(guān)。習(xí)慣上，我們將接受角的正弦值定義為光纖的數(shù)值孔徑，用NA表示(2-2-5)式中，Δ為芯—包間相對(duì)折射率差，表示為(2-2-6)由于以小于光纖接受角進(jìn)入光纖中的子午光線(xiàn)都可以在光纖中傳輸，而這些光線(xiàn)所走的路徑不同，這些光線(xiàn)之間將出現(xiàn)色散，這就是我們?cè)谏瞎?jié)中提到的模間色散。下面我們計(jì)算軌跡不同的光線(xiàn)到達(dá)光纖輸出端產(chǎn)生的傳輸時(shí)間差及相應(yīng)的色散。

在圖2-2-1(a)中，θ=0時(shí)的入射光線(xiàn)傳播時(shí)間最短，而傳播時(shí)間最長(zhǎng)的光線(xiàn)對(duì)應(yīng)于θmax

表示為

(2-2-7)(2-2-8)通常用沿光纖單位長(zhǎng)度傳播時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的信號(hào)時(shí)延展寬Δτ來(lái)度量模間色散，用τ0和τmax分別表示θ為0和

θmax兩條光線(xiàn)沿光纖單位長(zhǎng)度傳播的時(shí)間，則時(shí)延展寬為顯然，時(shí)延展寬與Δ成正比。對(duì)多模光纖而言，Δ一般為1%左右。設(shè)纖芯折射率為n1=1.5，則τ0=n1/c=5μs/km，當(dāng)Δ=1%時(shí)，可算得Δτ=50ns/km，對(duì)應(yīng)的傳輸帶寬僅為

20MHz/km。

2.階躍光纖中斜射光線(xiàn)的傳輸特性

入射到光纖端面的光束除了子午光線(xiàn)外，還有很多斜射光線(xiàn)。斜射光線(xiàn)就是一些與光纖中心軸既不平行，也不相交的光線(xiàn)，它們和光軸是異面直線(xiàn)，所以對(duì)于斜射光線(xiàn)的討論必須在三維空間中以矢量方法進(jìn)行。由于斜射光線(xiàn)與光纖中心軸不在一個(gè)平面，斜射光線(xiàn)在光纖內(nèi)進(jìn)行一次全反射，平面的方位就要改變一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線(xiàn)，其端面上的投影如圖2-2-1所示，它可以是左旋折線(xiàn)，也可以是右旋折線(xiàn)，并且這些螺旋折線(xiàn)和光軸是等距離的。在圖2-2-2中，方向矢量為S0=L0i+M0j+N0k的光線(xiàn)入射到光纖端面的位置P0=x0i+y0j上(i、j、k為單位矢量)。設(shè)αm為表示第m次反射點(diǎn)的徑向矢量，而Sm為緊接第m次反射前的光線(xiàn)方向矢量，根據(jù)反射前后光線(xiàn)共面的條件有(2-2-9)(Sm－Sm+1)αm=0再由入射角等于反射角的條件有(2-2-10)(Sm+Sm+1)αm=0圖2-2-2均勻光纖中的斜射光線(xiàn)此外，在纖芯、包層交界面發(fā)生全反射的條件為(2-2-11)為了研究在光纖入射端什么樣的斜射光線(xiàn)可以在光纖中傳播，我們將S0和P0代入式(2-2-11)得(2-2-12)稍作變化，上式可寫(xiě)成這就是說(shuō)，滿(mǎn)足上式的入射端的入射光線(xiàn)，都可以成為斜射光線(xiàn)在光纖中傳輸。如果入射光線(xiàn)在x0=a，y0=0處入射，則(2-2-14)n1L0≤NA2.2.2梯度光纖的傳輸特性

1.梯度折射率光纖中的光線(xiàn)

與階躍折射率分布光纖一樣，梯度光纖中的光線(xiàn)也分子午光線(xiàn)和斜射光線(xiàn)兩種。由于梯度光纖中纖芯折射率分布是隨r變化的，光纖中子午光線(xiàn)不是直線(xiàn)傳播，而是曲線(xiàn)傳播的，如圖2-2-3(a)所示，光線(xiàn)的彎曲是遵循折射定律的。為了說(shuō)明問(wèn)題，我們將沿徑向r方向連續(xù)變化的折射率分為不連續(xù)變化的若干層表示，如圖2-2-3(b)所示。假定一射線(xiàn)以入射角θ射向光纖端面的K點(diǎn)，進(jìn)入纖芯后，它先是從光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)傳播，這時(shí)，每經(jīng)過(guò)一個(gè)界面，它將折離法線(xiàn)，其軸向角將逐漸減小，在某一半徑r=rm處，射線(xiàn)與光軸平行；在此以后，光線(xiàn)將由光疏介質(zhì)向光密介質(zhì)傳播，每經(jīng)過(guò)一個(gè)界面，它將折向法線(xiàn)，其軸向角逐漸增大，這樣就形成了周期變化的子午線(xiàn)軌跡。顯然，折射率分布不同的光纖，有不同的射線(xiàn)軌跡，同一光纖中，以不同角度入射的光線(xiàn)的軌跡也將不同。圖2-2-3子午光線(xiàn)在光纖中傳播斜射光線(xiàn)是不經(jīng)過(guò)光纖軸心的空間曲線(xiàn)，射線(xiàn)軌跡同樣按照折射定律發(fā)生彎曲，形狀比較復(fù)雜，圖2-2-4中示出了不同光線(xiàn)在光纖端面上的投影。顯然，斜射光線(xiàn)被限制在兩個(gè)圓柱面之間，這兩個(gè)圓柱面被稱(chēng)為焦散面，若兩個(gè)焦散面重合，就得到螺旋線(xiàn)，它在端面上的投影為一個(gè)圓。斜射線(xiàn)情況很復(fù)雜，既不容易激勵(lì)，也不容易傳播(衰減大)，實(shí)際上傳播的光線(xiàn)都是子午光線(xiàn)，下面的討論僅限于子午光線(xiàn)。圖2-2-4梯度光纖中的光線(xiàn)在端面上的投影

2.子午光線(xiàn)的軌跡方程

對(duì)非均勻折射率介質(zhì)中光線(xiàn)軌跡的分析一般要利用式(2-2-1)給出的射線(xiàn)方程，但是，采用該方程所做的分析在數(shù)學(xué)上卻非常復(fù)雜。為了容易理解，在本問(wèn)題中我們直接應(yīng)用折射定律給出一種簡(jiǎn)潔的分析。

圖2-2-5給出了梯度光纖中的一個(gè)子午面，纖芯折射率分布n(r)隨半徑r的增加而減小，子午光線(xiàn)的軌跡由n(r)決定。由于射線(xiàn)是彎曲的，它的軸向角θz隨坐標(biāo)而變化。在z=0處，射線(xiàn)離光纖軸的距離是r0，軸向角為θz0，光纖在該點(diǎn)的折射率是n0，r0、n0、θz0表示射線(xiàn)的起始狀態(tài)。根據(jù)折射定律，該射線(xiàn)滿(mǎn)足下列條件n(r)cosθz=n0cosθz0(2-2-15)圖2-2-5梯度光纖中子午光射線(xiàn)軌跡剖析上式表明，射線(xiàn)上任一點(diǎn)軸向角的余弦與該點(diǎn)的折射率的乘積等于一個(gè)常數(shù)n0cosθz0。令N0=cosθz0，則

n(r)cosθz=n0N0

(2-2-16)

若在圖2-2-5中射線(xiàn)的軌跡上任取一單元長(zhǎng)度ds，則(2-2-17)(2-2-18)代入式(2-2-16)得(2-2-19)(2-2-20)經(jīng)整理得這就是代表射線(xiàn)變化規(guī)律的微分方程。當(dāng)光纖的折射率分布及初始條件n0、N0給定時(shí)，對(duì)該方程積分就可求得射線(xiàn)的軌跡為(2-2-21)

3.光纖的最佳折射率分布——自聚焦光纖

研制梯度折射率光纖的目的是降低多模光纖的模間色散，那么，折射率分布n(r)為怎樣的函數(shù)時(shí)，才能使多模光纖的模間色散最小呢?當(dāng)然，最好的分布應(yīng)該使各射線(xiàn)在Z方向的傳播速度一樣，從而實(shí)現(xiàn)自聚焦。只要所有的子午光線(xiàn)都具有相同的空間周期長(zhǎng)度，就說(shuō)明這些子午光線(xiàn)能夠自聚焦。人們已經(jīng)證明，雙曲正割型折射率分布能夠?qū)崿F(xiàn)自聚焦，即

(2-2-22)式中，A是常數(shù)；n(0)是纖芯中心處折射率。將n(r)代入式(2-2-21)就可求出子午光線(xiàn)的軌跡方程為(2-2-23)從上式可得(2-2-24)(2-2-25)由此可知，射線(xiàn)的軌跡是Z的周期函數(shù)。設(shè)射線(xiàn)的空間周期長(zhǎng)度為L(zhǎng)，則從上式可得由于A是表示光纖分布的參數(shù)，與初始條件無(wú)關(guān)，因此L也與初始條件無(wú)關(guān)。這說(shuō)明當(dāng)折射率分布為雙曲正割型分布時(shí)，不同初始條件入射的子午光線(xiàn)有相同的軸向速度，能得到自聚焦。

4.拋物線(xiàn)分布光纖的傳輸特性

由于理想的雙曲正割分布是難以實(shí)現(xiàn)的，人們?cè)O(shè)想用平方律分布去近似它，當(dāng)把雙曲正割函數(shù)展開(kāi)時(shí)，發(fā)現(xiàn)它與平方律分布很接近。(2-2-26)(因?yàn)锳r<<1)因此，有理由認(rèn)為平方律分布的光纖具有較小的模間色散。將式(2-2-26)代入式(2-2-21)就可得到平方律分布光纖中光線(xiàn)的軌跡方程。從軌跡方程出發(fā)，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)，可得到平方律分布光纖的信號(hào)時(shí)延展寬為(2-2-27)Δτ與Δ2成正比，當(dāng)Δ=1%時(shí)，平方律分布光纖的時(shí)延展寬僅為階躍光纖時(shí)延展寬的1/200，即帶寬提高了200倍。

5.梯度光纖的數(shù)值孔徑

梯度光纖芯部折射率是r的函數(shù)，不同r處接收光的能力不一樣，纖芯中心處的數(shù)值孔徑為(2-2-28)(2-2-29)這與階躍光纖的數(shù)值孔徑表達(dá)式完全一樣。對(duì)端面上任一點(diǎn)r處，其數(shù)值孔徑為

2.3單模光纖的光傳輸特性

2.3.1LP01模的特性與光功率分布

在前面已經(jīng)指出，LPmn模的縱向分量很小，可以把它看成是橫電磁波，因此對(duì)LP01模的分析也只考慮橫向電場(chǎng)的情況。

將m=0、n=1代入LPmn模的橫向電場(chǎng)方程式(2-1-18),并且圓周方向取余弦規(guī)律分布,則可得LP01模的橫向電場(chǎng)分布為

(2-3-1)

(2-3-2)將m=0、n=1代入LPmn模的特征方程式(2-1-24)，可得LP01模的特征方程功率強(qiáng)度是電場(chǎng)強(qiáng)度的平方，利用式(2-3-1)，纖芯中光功率強(qiáng)度分布為(2-3-3)(2-3-4)圖2-3-1示出了V=2.40483時(shí)，LP01模在纖芯中的功率分布，圖中以半徑r=a處的功率Py(a)為參考，示出在不同r/a處的功率比R為(2-3-5)因?yàn)榘鼘又杏邢喈?dāng)?shù)墓β蕚鬏?，為了得到低衰減，單模光纖必須要有足夠厚度的沉積內(nèi)包層，內(nèi)包層厚度的大小取決于包層中場(chǎng)強(qiáng)沿r

的分布及剖面的結(jié)構(gòu)。依式(2-3-1)可知,包層中LP01模的電場(chǎng)強(qiáng)度為(2-3-6)圖2-3-1LP01模在纖芯的功率分布根據(jù)修正貝塞爾函數(shù)的近似式

(2-3-7)在相對(duì)徑向位置t=r/a及r=a處的場(chǎng)強(qiáng)比為包層中LP01模的光功率強(qiáng)度分布為(2-3-8)(2-3-9)在相對(duì)徑向位置t=r/a及r=a處的功率強(qiáng)度比為(2-3-10)如果包層厚度r=6a，那里的光功率密度小于10－8，在這以外的總光功率可以忽略不計(jì)(如圖2-3-2所示)。

V值不同，電場(chǎng)透入包層的厚度也不同。在保證單模傳輸?shù)那闆r下，V值越大越好，V值大，沉積內(nèi)包層的厚度可以薄一些。圖2-3-3給出了不同V值下，包層內(nèi)傳輸?shù)墓β史蓊~與徑向位置的關(guān)系。圖2-3-2LP01模功率強(qiáng)度在光纖包層中的功率分布圖2-3-3不同V值下包層內(nèi)傳輸功率分布(V=2.40483)與徑向位置關(guān)系2.3.2單模光纖的傳輸特性

在單模光纖傳輸中，實(shí)際傳輸信號(hào)的頻譜都有一定的寬度。頻譜的寬度取決于兩個(gè)因素，一是半導(dǎo)體激光器發(fā)射的光的固有的頻譜寬度，二是電信號(hào)調(diào)制造成的頻譜展寬。一般來(lái)說(shuō)，信號(hào)頻譜寬度遠(yuǎn)小于光信號(hào)的中心頻率。在單模光纖中不同頻率的光的單模傳輸特性不同，這就在不同頻率的光之間引起傳播時(shí)間的差異，產(chǎn)生色散。由第1章第2節(jié)中的討論可知，這種具有一定頻譜寬度的光信號(hào)在一定長(zhǎng)度的光纖中傳輸后，單位傳輸距離上的時(shí)間寬度差近似為

(2-3-11)式中，f0為信號(hào)中心頻率，Δf為信號(hào)頻譜寬度。

在單模光纖中，由于沒(méi)有模間色散，色散都與波長(zhǎng)有關(guān)，因此色散也叫做波長(zhǎng)色散。通常用單位波長(zhǎng)間隔內(nèi)頻譜成分通過(guò)單位長(zhǎng)度光纖所產(chǎn)生的色散表示色散，該色散值稱(chēng)為波長(zhǎng)色散系數(shù)，用D(λ)表示，單位是ps/(nm·km)，表示式為(2-3-12)為求出單模光纖中的色散系數(shù)，需首先得到β的解析表達(dá)式。為此，我們定義一個(gè)歸一化傳播常數(shù)b，其表示式為(2-3-13)將β用b表示為(2-3-14)將上式代入式(2-3-12)，經(jīng)過(guò)一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算并整理得式中，H為纖芯中所傳輸功率占總功率的比值。顯然，上式第一項(xiàng)只與纖芯和包層的折射率隨波長(zhǎng)的變化及在其中傳播的能量有關(guān)，稱(chēng)為材料色散系數(shù)Dm；第二項(xiàng)只與光纖中導(dǎo)波的傳播常數(shù)隨波長(zhǎng)的變化特性有關(guān)，稱(chēng)為波導(dǎo)色散系數(shù)Dw；第三項(xiàng)既與光纖中導(dǎo)波的傳播常數(shù)隨波長(zhǎng)的變化特性有關(guān)，又與折射率差值隨波長(zhǎng)的變化有關(guān)，稱(chēng)為折射率分布色散系數(shù)Dp。

實(shí)際上，dΔ/dλ很小，Dp≈0，再考慮到纖芯和包層兩種材料的隨波長(zhǎng)變化的二階導(dǎo)數(shù)基本相等，總色散系數(shù)可以簡(jiǎn)化為

(2-3-16)為了加深對(duì)單模光纖中色散特性的理解，下面將推導(dǎo)上式。首先利用弱導(dǎo)條件，將β進(jìn)一步簡(jiǎn)化為(2-3-17)則(2-3-18)先求β對(duì)β0的一階導(dǎo)數(shù)(2-3-19)其中(2-3-20)分別為纖芯和包層中的群折射率。由于

(2-3-21)因此(2-3-23)將上式代入式(2-3-18)得這就是式(2-3-16)，第一項(xiàng)是材料色散系數(shù)，第二項(xiàng)與波導(dǎo)的歸一化傳播常數(shù)b和歸一化頻率V有關(guān)，而b和V又都是光纖折射率和光纖結(jié)構(gòu)參數(shù)的函數(shù)，故稱(chēng)為波導(dǎo)色散。材料色散與SiO2材料的折射率對(duì)波長(zhǎng)的二階導(dǎo)數(shù)成比例。圖2-3-4示出了SiO2材料的折射率與波長(zhǎng)的關(guān)系。圖2-3-5示出了SiO2材料的色散系數(shù)與波長(zhǎng)的關(guān)系。圖2-3-4SiO2材料折射率與波長(zhǎng)的關(guān)系圖2-3-5SiO2材料色散與波長(zhǎng)的關(guān)系從圖2-3-5可以看出，在波長(zhǎng)1.29μm附近有一零材料色散波長(zhǎng)λ0，不同的摻雜材料和摻雜濃度會(huì)使λ0有所移動(dòng)，但變化甚微，因此材料色散可用純SiO2的材料色散代替，過(guò)了零材料色散波長(zhǎng)，在較長(zhǎng)波長(zhǎng)區(qū)色散為正值。波導(dǎo)色散項(xiàng)是由傳播常數(shù)隨波長(zhǎng)的變化引起的，它與歸一化頻率和歸一化傳播常數(shù)的變化有關(guān)。圖2-3-6給出了諸波導(dǎo)參數(shù)與V的關(guān)系曲線(xiàn)，從而可以求出波導(dǎo)色散，它的大小可以與材料色散相比擬。在感興趣的波長(zhǎng)區(qū)域內(nèi)，波導(dǎo)色散均為負(fù)值，其幅度由纖芯半徑、相對(duì)折射率差及光纖剖面結(jié)構(gòu)確定。一般講，纖芯越小，折射率差越大，波導(dǎo)色散也越負(fù)，在一定的波長(zhǎng)范圍內(nèi)，波導(dǎo)色散與材料色散具有相反的符號(hào)。改變光纖的折射率分布和剖面結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以改變波導(dǎo)色散的值，從而在所希望的波長(zhǎng)上實(shí)現(xiàn)零色散，如圖2-3-7所示。圖2-3-6波導(dǎo)參數(shù)與歸一化頻率的關(guān)系圖2-3-7V保持一定改變纖芯半徑移動(dòng)零色散波長(zhǎng)2.3.3單模光纖中LP01模的高斯近似

階躍光纖中，LP01模的場(chǎng)在纖芯中取零階貝塞爾函數(shù)的形式。由于對(duì)貝塞爾函數(shù)的處理復(fù)雜，而高斯函數(shù)與貝塞爾函數(shù)接近，人們就設(shè)想能否用高斯函數(shù)取代貝塞爾函數(shù)以簡(jiǎn)化對(duì)基模的分析。假設(shè)以下列高斯函數(shù)來(lái)近似貝塞爾函數(shù)

(2-3-24)現(xiàn)在的問(wèn)題是能否找到一個(gè)合適的ω值，使該高斯函數(shù)能以足夠高的精度去取代貝塞爾函數(shù)。我們可以用不同的方法去尋找ω值，常用的方法是按耦合效率最高的方法來(lái)確定ω值，耦合效率是按下式定義的(2-3-25)將精確的貝塞爾函數(shù)場(chǎng)攜帶的能量歸一化為1。在上式中，用式(2-3-24)表示的高斯場(chǎng)取代精確磁場(chǎng)，而電場(chǎng)以精確解代入。顯然，高斯場(chǎng)取不同的ω值時(shí)，將得到不同的ρ，改變?chǔ)?，可以找出在給定的歸一化頻率下使ρ最大的ω值，記作ω0，這個(gè)ω0就定義為單模光纖的模場(chǎng)半徑。

圖2-3-8給出了ω0/a和相應(yīng)ρ值與λ/λc

同V的函數(shù)關(guān)系，可以看出，在通常的λ/λc

范圍內(nèi)(0.8~1.8)，ρ>96%，這表明高斯近似法是好的。在0.8≤λ/λc≤2的范圍內(nèi)，ω0/a

能以?xún)?yōu)于1%的準(zhǔn)確度近似為

(2-3-26)圖2-3-8ω0/a

，ρ與λ/λc、V的關(guān)系曲線(xiàn)用高斯場(chǎng)來(lái)等效精確場(chǎng)的最大限制是不能用它來(lái)等效光纖包層中的場(chǎng)，這是因?yàn)榫_場(chǎng)的衰減比高斯場(chǎng)緩慢，因而包層中的場(chǎng)要尋找另外的近似方法。當(dāng)ωr/a>2時(shí)，包層中的場(chǎng)可用下式近似

此式的準(zhǔn)確度優(yōu)于5%。利用高斯近似法我們來(lái)計(jì)算LP01模在光纖中的功率分布，在高斯近似下，它們具有簡(jiǎn)單的形式(2-3-27)(2-3-28)(2-3-29)圖2-3-9Pcore/Ptotal與λ/λc的關(guān)系曲線(xiàn)圖2-3-9示出了兩種公式計(jì)算的功率比與λ/λc的函數(shù)關(guān)系，由圖可以看出，除大的λ/λc值外，高斯近似法得到的準(zhǔn)確度是可以接受的。2.3.4非均勻單模光纖的近似分析

以上我們所做的分析都是在階躍光纖中進(jìn)行的，實(shí)際使用的光纖有時(shí)并不是均勻的。即使是名義上均勻的光纖，由于在制造過(guò)程中出現(xiàn)的不完善，其折射率也將是隨半徑變化的非均勻光纖，因此需對(duì)非均勻單模光纖進(jìn)行研究。

有實(shí)際意義的折射率分布有兩種，一種是在光纖纖芯和包層交界面附近，纖芯中的折射率下降，如圖2-3-10所示，這是由于在制造過(guò)程中，纖芯材料與包層材料互相向?qū)Ψ綌U(kuò)散而形成的。另一種情況是光纖軸線(xiàn)上折射率下降，如圖

2-3-11所示，這是MCVD制造方法所引起的一種典型缺陷。圖2-3-10梯度折射率分布剖面形狀圖2-3-11中心凹陷梯度分布剖面形狀這兩種折射率分布可統(tǒng)一用下式表示(2-3-30)式中，f(r/a)是折射率分布形狀函數(shù)。在r<a范圍內(nèi)，有一最大值f(r/a)=1；而在r>a時(shí)f(r/a)=0。對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況有(2-3-31)對(duì)折射率中心凹陷情況有(2-3-32)γ是中心下降的相對(duì)深度。對(duì)于這樣的非均勻光纖，有各種近似解法，其中之一是將它等效為一個(gè)均勻光纖來(lái)進(jìn)行分析。這種方法是基于以下兩個(gè)事實(shí)為基礎(chǔ)的：第一，非均勻光纖的場(chǎng)型與均勻光纖的場(chǎng)型非常相近；第二，均勻光纖的特性已知。對(duì)于一個(gè)已知折射率分布的非均勻光纖，只要找出其等效的均勻光纖，便可用前面已討論過(guò)的均勻光纖來(lái)描述它。尋找等效均勻光纖時(shí)常假定其包層折射率就等于真實(shí)光纖包層的折射率，因而需要決定的是其等效半徑、等效相對(duì)折射率差、等效的歸一化頻率。求等效均勻光纖要經(jīng)過(guò)比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算，這里從略，只給出一種精確度可以接受的近似結(jié)果。對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況有(2-3-33)對(duì)折射率中心凹陷情況有(2-3-34)在這兩種情況下均有(2-3-35)如前所述，單模光纖的主要問(wèn)題之一是求出LP11模的歸一化截止頻率Vc。對(duì)折射率在纖芯、包層界面梯度化情況，由式(2-3-33)可得

(2-3-36)(2-3-37)由于等效階躍光纖的LP11模的歸一化截止頻率Vec=2.4048，因此實(shí)際光纖LP11模的歸一化截止頻率為這樣，就可確定光纖制造不完善對(duì)單模光纖工作范圍的影響。折射率中心凹陷也將影響LP11模的歸一化截止頻率，但由于LP11模在光纖軸心處為零，因此造成的影響很小。2.3.5單模光纖中的偏振態(tài)傳輸特性

單模光纖中，有極化方向互相垂直的兩個(gè)基模LPy01和LPx01，它們的電場(chǎng)各沿y、x方向極化。因而單模光纖實(shí)際上傳輸著兩個(gè)模式。在理想光纖中，光纖橫截面的形狀及折射率分布是均勻?qū)ΨQ(chēng)的，LPy01和LPx01的傳播常數(shù)相等，即這兩個(gè)模式是完全簡(jiǎn)并的。但實(shí)際光纖總帶有某種程度的不完善，例如纖芯幾何形狀的橢圓變形，光纖內(nèi)部的殘余應(yīng)力，光纖的彎曲、扭轉(zhuǎn)等引起的折射率的各項(xiàng)異性，都將使LPy01和LPx01模的簡(jiǎn)并受到破壞，它們的傳播常數(shù)βx和βy不再相等，這種現(xiàn)象叫做雙折射現(xiàn)象，Δβ=βx－βy是表明雙折射程度的物理量，叫做單模光纖的雙折射。雙折射在單模光纖中引起一系列復(fù)雜的效應(yīng)，影響到單模光纖的傳輸特性，雙折射對(duì)單模光纖傳輸特性的影響主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是引起極化色散，二是使光波的極化狀態(tài)沿光纖的長(zhǎng)度而變化，這兩種現(xiàn)象的分析比較復(fù)雜，下面只作簡(jiǎn)單介紹。

1.極化色散

由于LPy01和LPx01模的傳播常數(shù)βx和βy不同，因此引起這兩個(gè)模式傳輸?shù)牟煌剑瑥亩纬缮?，這種色散叫做極化色散。極化色散是模間色散的一種，但它與多模光纖中的模間色散不同，在完善光纖中它不存在。

極化色散用LPy01和LPx01兩個(gè)模式的單位長(zhǎng)度上的時(shí)延差來(lái)表示。這兩個(gè)模式傳輸單位長(zhǎng)度所用時(shí)間各為tpx、tpy，于是 (2-3-38)若用nx和ny分別表示兩個(gè)雙折射軸的折射率，則(2-3-39)對(duì)石英光纖，上式時(shí)延差中第二項(xiàng)遠(yuǎn)小于第一項(xiàng)，所以極化色散可簡(jiǎn)化為(2-3-40)可見(jiàn)，極化色散與光纖雙折射Δβ成正比。

2.單模光纖極化狀態(tài)的變化

由于LPy01和LPx01兩個(gè)模式的相位常數(shù)βx和βy不同，這兩個(gè)模式在傳輸過(guò)程中的相位差將沿光纖發(fā)生變化，這就引起總的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的極化方向沿光纖發(fā)生變化。這種效應(yīng)在某些應(yīng)用場(chǎng)合必須加以考慮。比如，在集成光學(xué)器件中，輸入光場(chǎng)必須保持一定的極化方向才能得到高的耦合效率；再如在相干光通信中，從單模光纖輸出的光場(chǎng)要與本地的光場(chǎng)疊加后送到探測(cè)器中去檢測(cè)，這要求兩光場(chǎng)的極化方向保持恒定。下面我們介紹光纖中光場(chǎng)的一些基本極化特性。討論一種簡(jiǎn)單情況，即單一頻率的線(xiàn)極化波激勵(lì)具有均勻雙折射的單模光纖的情況。具有均勻雙折射的單模光纖有兩個(gè)互相垂直的特定軸，當(dāng)LP01的電場(chǎng)沿這兩個(gè)方向極化時(shí)，將分別得到最大和最小的相位常數(shù)，這兩個(gè)軸稱(chēng)為雙折射軸。我們使用直角坐標(biāo)系，并使Ox軸和Oy軸與光纖的雙折射軸重合，如圖2-3-12所示。圖2-3-12單模光纖雙折射圖沿這兩個(gè)方向極化的電磁波的相位常數(shù)分別為βx和βy。今有一頻率為ω，電場(chǎng)強(qiáng)度幅度為E0的線(xiàn)極化波與Ox軸成φ角(叫做輸入極化角)對(duì)該單模光纖進(jìn)行激勵(lì)，如圖2-3-12所示。將E0分解在兩個(gè)軸上，其對(duì)應(yīng)分量的幅度為(2-3-41)這兩個(gè)分量即LPx01、LPy01模。設(shè)在輸入端它們的相位是相同的，如光纖中沒(méi)有衰減，則在沿光纖的任意點(diǎn)z處，LPx01、LPy01模的瞬時(shí)值表示為(2-3-42)Ex=axcos(ωt－βxz)=E0cosjcos(ωt－βxz)Ey=aycos(ωt－βyz)=E0sinjcos(ωt－βyz)這兩個(gè)模式之間的相位差為δ=(βx－βy)z，它是隨z變化的。這樣兩個(gè)?；ハ啻怪?、幅度不等、相位差為δ的線(xiàn)極化波合成為一個(gè)橢圓極化波，因兩波的相位差是隨z

變化的，所以其極化狀態(tài)也隨z

變化。

為了說(shuō)明橢圓極化波的性質(zhì)，引入兩個(gè)參數(shù)：輸出極化角和極化橢圓度。沿光纖的橢圓極化波的長(zhǎng)軸一般并不與光纖的雙折射軸重合，設(shè)它與Ox軸成Ω角，如圖2-3-12所示，這一角度稱(chēng)為輸出極化角。設(shè)極化橢圓的長(zhǎng)軸和短軸方向的電場(chǎng)幅度各為amax及amin，相應(yīng)的光強(qiáng)為Imax及Imin，則橢圓極化度的定義為

(2-3-43)當(dāng)極化橢圓度P=0時(shí)，amax=amin，此時(shí)極化橢圓長(zhǎng)軸和短軸相等，橢圓極化波成為圓極化波；當(dāng)P=1時(shí)，amin=0，此時(shí)橢圓極化波變?yōu)榫€(xiàn)極化波。P在0~1之間變化。(2-3-44)可見(jiàn)，單模光纖的輸出極化角Ω與輸出極化橢圓度P都與輸入極化角及LPx01、LPy01模在z點(diǎn)的相位差δ有關(guān)。在不同的地點(diǎn)，δ不同，因而極化狀態(tài)隨z變化，圖2-3-13給出了光波的極化狀態(tài)隨δ變化的情況?？梢钥闯?，單模光纖中光波的極化狀態(tài)是沿z做周期性變化的，當(dāng)經(jīng)過(guò)一段長(zhǎng)度L后，兩模式的相位差變化2π，則極化方向也旋轉(zhuǎn)2π的角度，又恢復(fù)到原來(lái)的情況，這個(gè)長(zhǎng)度L叫做單模光纖的拍長(zhǎng)。由于(2-3-45)(2-3-46)L(βx－βy)=2π所以可以看出，拍長(zhǎng)越短，雙折射越嚴(yán)重。圖2-3-13相位差δ不同的橢圓極化波

2.4光纖傳輸中的非線(xiàn)性現(xiàn)象

在第1章中我們已經(jīng)講到，由于光纖很細(xì)，纖芯中電場(chǎng)強(qiáng)度很高，又由于光纖中衰減很小，非線(xiàn)性現(xiàn)象的作用時(shí)間可以持續(xù)的較長(zhǎng)，這就使得光纖中的非線(xiàn)性效應(yīng)不能被忽視。光纖非線(xiàn)性特性對(duì)光信號(hào)傳輸?shù)挠绊懕容^復(fù)雜，可以造成功率損耗、新頻率成分的產(chǎn)生和光信號(hào)畸變等。在現(xiàn)代光纖通信系統(tǒng)中，隨著光源發(fā)射功率的增加、光纖損耗進(jìn)一步的降低、多信道傳輸方式的采用，光纖中的非線(xiàn)性愈來(lái)愈明顯，已經(jīng)成為影響光通信發(fā)展的主要因素。在石英光纖中，由于材料結(jié)構(gòu)的反演對(duì)稱(chēng)性，非線(xiàn)性效應(yīng)由三階極化率產(chǎn)生，非線(xiàn)性現(xiàn)象本質(zhì)上是在非線(xiàn)性介質(zhì)中傳輸?shù)墓鈭?chǎng)進(jìn)行能量和動(dòng)量交換的過(guò)程。對(duì)光纖中非線(xiàn)性傳輸特性的研究，原則上可以將光纖材料的三階極化率代入麥克斯韋方程，通過(guò)推導(dǎo)非線(xiàn)性耦合波方程，來(lái)得到各種非線(xiàn)性光學(xué)現(xiàn)象的耦合波方程，最終利用耦合波方程對(duì)各具體非線(xiàn)性光學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行研究。但是，非線(xiàn)性耦合波方程的推導(dǎo)極其復(fù)雜，本節(jié)不做具體的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，在重點(diǎn)介紹各種非線(xiàn)性光學(xué)現(xiàn)象的物理本質(zhì)后，將直接給出耦合波方程。在非線(xiàn)性光學(xué)現(xiàn)象中，根據(jù)非線(xiàn)性介質(zhì)是否參與非線(xiàn)性過(guò)程的能量交換，可分為彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象和非彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象，兩者的區(qū)別在于前者非線(xiàn)性介質(zhì)不參與非線(xiàn)性過(guò)程的能量交換，而后者參與。在石英光纖中，三階極化率產(chǎn)生的非線(xiàn)性效應(yīng)既含有彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象，也含有非彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象。光纖介質(zhì)中，當(dāng)窄線(xiàn)寬脈沖激光束在其中傳輸時(shí)，可以出現(xiàn)受激布里淵散射(SBS)、受激喇曼散射(SRS)、自相位調(diào)制(SPM)；當(dāng)輸入激光的線(xiàn)寬很寬(例如波分復(fù)用系統(tǒng))時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)四波混頻(FWM)、互相位調(diào)制(XPM)等非線(xiàn)性現(xiàn)象。在這些非線(xiàn)性現(xiàn)象中，受激布里淵散射(SBS)、受激喇曼散射(SRS)屬于非彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象，其它則屬于彈性非線(xiàn)性現(xiàn)象。下面我們分別介紹這些非線(xiàn)性光學(xué)現(xiàn)象及其對(duì)傳輸特性的影響。2.4.1受激喇曼散射(SRS)

1.喇曼散射與受激喇曼散射

喇曼散射是這樣一種現(xiàn)象，當(dāng)某一頻率的光輸入非線(xiàn)性介質(zhì)時(shí)，在散射輸出光中出現(xiàn)了光頻率偏移的現(xiàn)象。喇曼散射可看成是介質(zhì)中的分子對(duì)入射光的調(diào)制，即分子間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)致分子電偶極矩隨時(shí)間的周期性調(diào)制，從而對(duì)入射光產(chǎn)生散射作用。設(shè)入射光的頻率為νl，介質(zhì)分子的振動(dòng)頻率為νv，則產(chǎn)生的散射光的頻率分別為νs=νl－νv及νas=νl+νv，前者稱(chēng)為斯托克斯散射光(stokes)，后者稱(chēng)為反斯托克斯散射光(antistokes)，νv只與組成介質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)有關(guān)，與入射光波長(zhǎng)無(wú)關(guān)。上述兩類(lèi)散射的圖像可用圖2-4-1所示的能級(jí)圖來(lái)說(shuō)明。圖2-4-1喇曼散射原理圖喇曼散射有普通喇曼散射和受激喇曼散射之分，普通喇曼散射過(guò)程屬于一種自發(fā)散射過(guò)程，相應(yīng)產(chǎn)生的喇曼散射光十分微弱，不論是stokes散射光還是antistokes散射光，都不是相干光。可是，當(dāng)用強(qiáng)激光輸入到非線(xiàn)性介質(zhì)中時(shí)，在一定的條件下，喇曼散射光有激光的性質(zhì)，這就是所謂的受激喇曼散射，相應(yīng)產(chǎn)生的喇曼散射光較強(qiáng)，不論是stokes散射光還是antistokes散射光，都是相干光。受激喇曼散射只有在入射光超過(guò)某一閾值后才能產(chǎn)生，它具有高方向性、高強(qiáng)度，通過(guò)介質(zhì)時(shí)將獲得放大。在實(shí)際工作中，由于只有在強(qiáng)激光作用下喇曼散射才值得研究，因此人們普遍感興趣的是受激喇曼散射，在這里也將重點(diǎn)討論受激喇曼散射問(wèn)題。

2.SRS耦合波方程

對(duì)SRS過(guò)程的嚴(yán)格描述需采用量子理論。鑒于在感興趣的范圍內(nèi)，入射光和stokes波都比較強(qiáng)，也可采用經(jīng)典電磁理論進(jìn)行定量描述。這時(shí)，需給出描述入射波(采用激光技術(shù)中的術(shù)語(yǔ)稱(chēng)為泵浦波)與stokes波在非線(xiàn)性介質(zhì)中相互作用關(guān)系的耦合波方程?？梢宰C明，該耦合波方程為(2-4-1)在以上諸式中，pp、ps分別為泵浦光和stokes波的功率；αp和αs分別為光和泵浦stokes波的損耗系數(shù)；gr為喇曼增益系數(shù)，它表示兩個(gè)波間能量的耦合強(qiáng)度，取決于非線(xiàn)性介質(zhì)的增益特性及波長(zhǎng)間距；k為保偏系數(shù)，當(dāng)泵浦波和stokes波的偏振方向重合時(shí)，k=1，一般情況下1<k<2；Ae為泵浦光和stokes波的相互作用面積，在單模光纖中就近似纖芯的面積。利用該SRS光功率耦合波方程，結(jié)合邊界條件我們就可以定量分析SRS過(guò)程。假定信道中輸入連續(xù)功率恒定光，此時(shí)光纖中信號(hào)光功率只與位置坐標(biāo)有關(guān)，與時(shí)間坐標(biāo)無(wú)關(guān)，這種假定條件下對(duì)應(yīng)的SRS的情形稱(chēng)為SRS的穩(wěn)態(tài)模型，在不考慮自發(fā)喇曼散射的情況下，SRS光功率耦合波方程相應(yīng)地變?yōu)?2-4-2)

3.石英光纖的喇曼增益特性

在早期單模光纖的SRS實(shí)驗(yàn)中，Stolen等人測(cè)得了石英光纖中的喇曼增益系數(shù)，如圖2-4-2所示。它是通過(guò)測(cè)量自發(fā)喇曼散射的截面積得出的，與用泵浦波結(jié)構(gòu)的石英光纖喇曼放大器測(cè)得的喇曼增益系數(shù)值基本相同。

喇曼增益系數(shù)一般與光纖的纖芯的成分有關(guān)，對(duì)不同的摻雜物，喇曼增益系數(shù)有很大的變化。圖2-4-2給出了泵浦波長(zhǎng)為λp=1.0μm時(shí)，熔石英的喇曼增益系數(shù)與頻移的變化關(guān)系gr(λ|λp=1.0)。對(duì)于不同的泵浦波長(zhǎng)λp，喇曼增益系數(shù)與λp成反比，如下所示

(2-4-3)石英光纖中喇曼增益的最顯著特征是帶寬很寬(達(dá)

40THz)，并且在13THz附近有一個(gè)較寬的主峰，這些性質(zhì)是由于石英玻璃的非晶特性所致。在諸如熔石英等非晶材料中，分子的振動(dòng)頻率展寬成頻帶，這些頻帶交疊并產(chǎn)生連續(xù)態(tài)，結(jié)果與大多數(shù)介質(zhì)中在特定頻率上產(chǎn)生的喇曼增益情況相反，石英光纖中的喇曼增益可在一很寬的范圍內(nèi)連續(xù)地產(chǎn)生，因?yàn)檫@一特性，光纖可用作寬帶放大器。圖2-4-2泵浦波長(zhǎng)λp=1.0μm時(shí)熔石英的喇曼增益譜

4.SRS過(guò)程的基本特性

下面在穩(wěn)態(tài)情況下結(jié)合兩個(gè)信道的情況討論石英光纖中SRS過(guò)程的基本特性。假設(shè)一個(gè)信道為泵浦波，另一信道為受激stokes波。Smith早在1972年就研究了泵浦波傳輸方向與stokes波相同和相反兩種情況下各光波功率的變化情況，我們現(xiàn)在利用他的結(jié)果來(lái)對(duì)SRS過(guò)程的基本特性進(jìn)行說(shuō)明。

假設(shè)兩信道的光波同向傳輸，第一信道為泵浦波，第二信道為stokes波。進(jìn)一步假定第二信道(stokes波)的光信號(hào)功率很小，對(duì)第一信道的光信號(hào)功率(泵浦波)的SRS影響不大，可以忽略不計(jì)，那么第一信道的光信號(hào)功率在光纖中的傳輸特性可表示為

(2-4-4)pp(z)=pp(0)exp(－αpz)將上式代入式(2-4-2)，在忽略自發(fā)散射光的情況下，由此可以解出第二信道的光信號(hào)功率為(2-4-5)式中，Leff是由泵浦波的衰減系數(shù)αp決定的光纖的有效互作用長(zhǎng)度，可表示為(2-4-6)由式(2-4-5)可以看出，如果喇曼增益大于線(xiàn)性損耗，第二信道的stokes波信號(hào)功率在傳輸過(guò)程中將被放大，喇曼放大系數(shù)為(2-4-7)使用方程式(2-4-5)需要知道z=0處的stokes波強(qiáng)度，在只有泵浦波輸入的情況下，z=0處的stokes波強(qiáng)度源于自發(fā)喇曼散射光。實(shí)際上，SRS過(guò)程是從產(chǎn)生于整個(gè)光纖上的自發(fā)輻射建立起來(lái)的，Smith指出它等價(jià)于在入射端每個(gè)模式中注入一個(gè)假想光子，可以按方程式(2-4-5)考慮每個(gè)能量為hω的頻率分量的放大，然后在整個(gè)喇曼增益譜范圍內(nèi)積分來(lái)計(jì)算stokes波功率，即(2-4-8)計(jì)算上式需利用非線(xiàn)性介質(zhì)的增益譜，石英光纖的增益譜已由圖2-4-2給出，它是一個(gè)復(fù)雜函數(shù)。Smith采用矩形譜分布來(lái)代替實(shí)測(cè)的石英喇曼增益譜，在矩形譜分布內(nèi)，所有喇曼散射光的增益系數(shù)為grmax，在矩形譜分布外，所有喇曼散射光的增益系數(shù)為0，如圖2-4-3所示(圖中還給出了后面討論要用到的A.R.Chraplyvy三角模型)。利用該模型可得

(2-4-9)式中，Peffs0為z=0處的等效入射功率(2-4-10)式中，Beff為矩形譜的等效寬度，其大小為(2-4-11)式中，ΔνR、grmax為實(shí)測(cè)喇曼增益譜線(xiàn)的半值寬度和峰值高度。由式(2-4-11)可以看出，Beff取決于grmax對(duì)應(yīng)的放大系數(shù)Gr，Gr愈大Beff愈小。圖2-4-3熔石英喇曼增益譜的近似計(jì)算模型下面我們引入一個(gè)新概念——喇曼閾值，它定義為在光纖的輸出端stokes功率與泵浦功率相等時(shí)的入射泵浦波功率PRth，即(2-4-12)Ps(z)=PP(L)=PRthexp(－αpL)由上式和方程式(2-4-2)，并假定αp=αs，則(2-4-13)在上面采用的Smith分析方法中利用了一些近似，它只適用于stokes功率較小時(shí)的情況，但在估算喇曼閾值時(shí)還是比較準(zhǔn)確的，對(duì)stokes功率超過(guò)喇曼閾值后的情況需做理論上的修正。以上我們的討論是在穩(wěn)態(tài)情況下進(jìn)行的。在實(shí)際光通信中，信號(hào)都是變化的，并且大多是脈沖信號(hào)，對(duì)脈沖信號(hào)傳輸過(guò)程中的SRS現(xiàn)象的描述非常復(fù)雜，在這里無(wú)法展開(kāi)討論。在通常的電時(shí)分復(fù)用速率下，也可以用穩(wěn)態(tài)的結(jié)果近似對(duì)脈沖情況進(jìn)行分析，但要注意有相互作用長(zhǎng)度問(wèn)題。在穩(wěn)態(tài)情況下，有相互作用長(zhǎng)度由光纖的衰減系數(shù)確定，而在脈沖信號(hào)中，由于色散的影響，泵浦脈沖與斯托克斯脈沖將隨著傳輸距離的增加而互相錯(cuò)開(kāi)。

這時(shí)兩個(gè)脈沖之間互相作用的持續(xù)時(shí)間可用一個(gè)新的長(zhǎng)度量——走離距離來(lái)度量，它定義為

(2-4-14)其中，vgp和vgs分別為泵浦脈沖與斯托克斯脈沖的群速度，T0為泵浦脈沖寬度。

5.SRS過(guò)程對(duì)光通信的影響

從光信號(hào)傳輸?shù)慕嵌瓤?，在單信道通信中，SRS會(huì)導(dǎo)致光纖通信系統(tǒng)中信號(hào)光功率的附加衰減，同時(shí)，由于泵浦脈沖與其產(chǎn)生的斯托克斯脈沖的相互錯(cuò)位，如果在接收端不加光濾波器對(duì)斯托克斯脈沖抑制的話(huà)，將會(huì)造成碼間串?dāng)_。在多信道系統(tǒng)中，SRS將造成各信道之間的能量轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生信道串?dāng)_。另外，SRS在通信中也有其有用的一面。由于SRS具有增益特性，而且可以在光纖中積累，因此這種效應(yīng)可被利用制作成光纖放大器。SRS光纖放大器具有很寬的增益譜寬(約5~10THz)，可用于寬光譜的波分復(fù)用光纖通信系統(tǒng)中；SRS光纖放大器還具有響應(yīng)時(shí)間快、飽和輸出功率大、易于耦合等優(yōu)點(diǎn)。由于這些特性，SRS光纖放大器在光放大器中占有一席之地。利用SRS還可以制成光纖激光器，由于喇曼增益寬度很寬，因此喇曼激光器的輸出光波長(zhǎng)可以在很寬的范圍內(nèi)調(diào)節(jié)。2.4.2受激布里淵散射(SBS)

1.布里淵散射和受激布里淵散射

所謂布里淵散射，就是入射到介質(zhì)上的光波場(chǎng)與介質(zhì)內(nèi)的彈性聲波發(fā)生相互作用而產(chǎn)生的一種光的散射現(xiàn)象。由于光學(xué)介質(zhì)內(nèi)大量質(zhì)點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)熱運(yùn)動(dòng)會(huì)產(chǎn)生彈性聲波，它會(huì)引起介質(zhì)密度隨時(shí)間和空間周期性地發(fā)生變化，因此，聲振動(dòng)介質(zhì)可以被看做是一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的光柵。這樣，當(dāng)一束頻率為νl的光通過(guò)光學(xué)介質(zhì)時(shí)，就會(huì)受到“光柵”的“衍射”作用，產(chǎn)生頻率為νs=νl－νb的stokes散射光(νb是彈性聲波的頻率)。由此可見(jiàn)，布里淵散射中聲波的作用類(lèi)似于喇曼散射中分子振動(dòng)的作用，因而普通布里淵散射光強(qiáng)烈地依賴(lài)于溫度，在低溫下，它基本消失。受激布里淵散射與普通布里淵散射有很大的差別。當(dāng)頻率為νl的強(qiáng)激光通過(guò)光學(xué)介質(zhì)時(shí)，介質(zhì)在強(qiáng)激光的作用下產(chǎn)生電致伸縮效應(yīng)，結(jié)果在介質(zhì)內(nèi)產(chǎn)生頻率為νb的相干聲波，入射激光與此相干聲波相互作用產(chǎn)生頻率為νs=νl－νb的stokes散射光。在光纖通信中，我們遇到的是強(qiáng)激光束在光纖中的傳輸問(wèn)題，故在本節(jié)我們討論受激布里淵散射現(xiàn)象。

2.SBS耦合波方程

類(lèi)似于SRS，SBS的形成需要考慮泵浦波和stokes波之間的互作用。為了分析方便，我們只考慮SBS的一階stokes效應(yīng)，忽略其它高階效應(yīng)。假設(shè)泵浦波沿+z方向入射進(jìn)光纖的情況，在穩(wěn)態(tài)條件下，這種互作用類(lèi)似于SRS的耦合過(guò)程，它們之間的唯一區(qū)別是dps/dz的符號(hào)不同，可表示為(2-4-15)其中，gB為布里淵增益系數(shù)，在推導(dǎo)上式中我們還做了一個(gè)簡(jiǎn)化：由于布里淵頻移較小，則ωp=ωs。

3.石英光纖的布里淵現(xiàn)象及特點(diǎn)

與SRS的情形不同，石英光纖的布里淵增益譜譜寬很窄，譜寬與聲波的阻尼時(shí)間或是聲子壽命有關(guān)。在λ=

1.0μm時(shí)，布里淵增益譜譜寬ΔνB=38.4MHz；在λ=1~1.6μm時(shí)，ΔνB=15~40MHz，經(jīng)驗(yàn)計(jì)算公式為(2-4-16)對(duì)應(yīng)的布里淵增益系數(shù)gB