第2章自適應(yīng)陣列處理基礎(chǔ)

2.1

陣列天線2.2信號模型2.3波束形成2.4性能度量2.1陣列天線

2.1.1機械掃描天線

機械掃描平面陣列天線的原理框圖如圖2.1-1（a）所示。該天線結(jié)構(gòu)包括一組陣元，并由一個固定的陣列流形（arraymanifold）饋送激勵信號。由于陣列流形是由硬件構(gòu)成的，例如利用波導，因此產(chǎn)生的波束指向某一個固定的方向，而且旁瓣響應(yīng)也是固定不變的。如果需要調(diào)整波束指向多個觀察方向，則需要借助天線的機械旋轉(zhuǎn)來實現(xiàn)。圖2.1-1機械掃描天線(a)機械掃描平面陣列天線；(b)拋物線反射面天線拋物線反射面天線的原理框圖如圖2.1-1（b）所示。這種天線利用了拋物面的平面波特性，即當輻射源位于拋物面的焦點上時，將沿其軸線反射一束平面波［2］。像機械

掃描平面陣列天線一樣，拋物面發(fā)射天線的波束僅僅指向一個固定的觀察方向，并具有固定的旁瓣響應(yīng)。2.1.2電子掃描天線

相控陣天線主要分為兩大類：無源陣列天線（passivearrays）和有源陣列天線（activearrays）。圖2.1-2（a）給出了無源陣列的原理框圖。在該陣列結(jié)構(gòu)中，每一個陣

元都包含一個相移器，以便于進行波束控制，而且發(fā)射機和接收機分別位于陣列中心。陣列的輸入和輸出既可以進行有約束的饋入，如波導（waveguide），或進行空間饋入（spacefeed）。圖2.1-2（b）給出了有源電子掃描陣列的原理框圖。該有源掃描陣列具有分布式的發(fā)射機結(jié)構(gòu)（distributedtransmitterarchitecture），其中每一個陣元都包含一個發(fā)射/

接收模塊（Transmit/Receive，T/R）用來提供最后的陣元級信號放大功能，而且該T/R模塊還包含了用于波束控制的相移器和低噪聲放大器（lownoiseamplifier）。圖2.1-2電子掃描陣列（相控陣）2.1.3自適應(yīng)陣列

圖2.1-3（a）給出了全自適應(yīng)陣列的原理框圖。在全自適應(yīng)陣列中，每一個陣元都具有一個接收機，其中包括模數(shù)轉(zhuǎn)換（A/D）器，用于向后面的信號處理器提供每個陣元的輸出數(shù)字信號。

自適應(yīng)陣列接收機的典型原理框圖如圖2.1-4所示。圖2.1-3自適應(yīng)陣列天線圖2.1-4自適應(yīng)陣列接收機原理框圖2.2信號模型

對于空間陣列信號處理，可以只考慮三種類型的信號，即有用信號（desiredsignal）、噪聲（noise）和干擾（jamming或interference）。而總的接收信號x服從疊加原理（principleofsuperposition），并且是這三種信號分量的和［6,9］，即

x=xs+xn+xj(2.2-1)其中：xs表示有用信號，xn表示噪聲信號，xj表示干擾信號。并將xn和xj認為是無用信號（undesiredsignals），即

xu=xn+xj(2.2-2)

如果干擾是指噪聲干擾，則通常假設(shè)無用信號為零均值高斯隨機過程（zero-meamgaussianrandomprocess），而且是互不相關(guān)的。因此，無用信號的協(xié)方差矩陣Ru可以表示為每個分量的各自協(xié)方差矩陣之和［9］，即

Ru=E{xuxHu}=Rn+Rj

(2.2-3)

其中：Rn為噪聲協(xié)方差矩陣，Rj為干擾協(xié)方差矩陣。由于這些信號被建模為零均值高斯隨機過程，因此協(xié)方差矩陣完全能夠描述它們的統(tǒng)計特性（statisticalproperties）。2.2.1有用信號

有用信號通常被建模為具有未知幅度（unknownamplitude）和隨機相位（randonphase）的非隨機信號（nonrandomsignal）［9］，即

其中：α為未知的信號幅度，為在(0，2π)上服從均勻分布的隨機變量，而fc為載波頻率。假設(shè)信號為窄帶的，而且滿足平面波（plane-wave）的假設(shè)。(2.2-4)圖2.2-1給出了有用信號入射到自適應(yīng)陣列的示意圖。假設(shè)具有正的方位角θ的信號首先到達最左邊的陣元，即

陣列法線的左邊信號方位角為正值，而右邊的為負值。如果假設(shè)最左邊的陣元為參考陣元，因此，信號到達后續(xù)的每一個陣元將會經(jīng)歷額外的附加路徑，而且是d·sinθ的整數(shù)倍。圖2.2-1平面波信號入射到自適應(yīng)陣列的示意圖由于空間信號被建模為窄帶遠場信號，因此信號在空間的傳播時延表現(xiàn)在各陣元接收信號中為相應(yīng)的相移，即相位差［6］。自適應(yīng)陣列在每一個陣元的后面都具有各自的接收機，以完成接收信號的下變頻和數(shù)模轉(zhuǎn)換處理。因此，這些接收機的輸出可以表示為一個N維矢量，即其中：N為陣元數(shù)量，x為第一個陣元接收到的復基帶信號（complexbasebandsignal），而vθ為陣列導向矢量（arraymanifoldvector），即(2.2-6)其中：d為陣元間距（inter-elementspacing）；λ為窄帶信號的中心頻率波長（centerfrequencywavelength）；j=

;上標“T”表示矢量的轉(zhuǎn)置運算（transposeoperator）。圖2.2-2給出了遠場（farfield）輻射源的平面波近似示意圖［6］。遠場假設(shè)要成立，只需下面的條件成立，即以及(2.2-7)(2.2-8)(2.2-9)其中：r為觀測點到信號源之間的距離；D為陣列長度；λ為輻射源波長。例如對于一部工作在430MHz（λ＝0.7m）的雷達，其陣元個數(shù)為14，而陣元間距為半波長，陣列的遠場距離為68m。然而通常的空中監(jiān)視雷達，最近的觀測距離也在十幾千米，因此遠場條件是比較容易滿足。圖2.2-2遠場平面波近似示意圖窄帶假設(shè)，即信號的帶寬相比于載波頻率比較小。該假設(shè)主要用于限制系統(tǒng)的處理帶寬，在實際應(yīng)用中，通常利用信道化設(shè)計以達到該假設(shè)所需的條件。在信道化處理結(jié)構(gòu)（channelizedprocessingarchitecture）的設(shè)計中，寬帶接收信號通常被變換到各自的頻率子帶進行處理，而在頻域由多個并行的窄帶波束形成器分別進行實現(xiàn)，而這些波束形成器的輸出可以被重新組合成一個單一的合成波束形成器輸出。其概念性原理如圖2.2-3所示。圖2.2-3利用多個窄帶波束形成通道實現(xiàn)寬帶波束形成器的原理框圖2.2.2噪聲

接收機熱噪聲被建模為零均值高斯隨機過程。由于自適應(yīng)陣列的每一個陣元都具有各自的接收機，因此通道之間的噪聲是不相關(guān)的，而且具有如下的協(xié)方差矩陣結(jié)構(gòu)：

Rn=σ2nI

(2.2-10)

其中：I為N×N維的單位矩陣（identitymatrix），N為陣元的數(shù)量，而σ2n為陣元級的白噪聲功率。而且噪聲功率可以計算如下：

σ2n=kTnB

(2.2-11)

其中：k為波爾茲曼常數(shù)（Boltzmann’sconstant），即k=1.38×10－23J/K；Tn為絕對溫標下的等效噪聲溫度，單位為K（Kelvin）；而B為接收機帶寬，單位為Hz。然而

為了分析方便，陣元級的噪聲功率通常被歸一化為單位

值［9］，即σ2n=1。2.2.3干擾

干擾（jammingorinterference）可以分為兩類：一類為通常所指的噪聲干擾（noisejamming），也稱為阻塞式干擾（barragejamming）；另一類則為空間點源形式的干擾。對于噪聲干擾，與噪聲的定義相似。然而對于空間點源形式的單一干擾場景，干擾具有如下的秩1協(xié)方差矩陣，即干擾協(xié)方差矩陣（jammercovariancematrix）為

其中：σ2j為干擾功率；vθj為方位角為θj的干擾信號的陣列導向矢量；H表示矢量的共軛轉(zhuǎn)置運算。如果考慮多個干擾源的場景，而且假設(shè)各干擾源之間是不相關(guān)的，則干擾協(xié)方差矩陣等于每個干擾源的協(xié)方差矩陣之和，即(2.2-12)(2.2-13)其中：Nj表示干擾源的數(shù)量。2.2.4信噪比和干噪比

信噪比定義為(2.2-14)其中：σ2s為陣元級的有用信號功率；σ2n為陣元級的熱噪聲功率。盡管有用信號被建模為非隨機變量，但這里還是利用了符號σ2s表示其功率。干噪比定義為(2.2-15)其中：σ2j為陣元級的干擾功率，σ2n的定義同上。當存在多個干擾時，總的JNR定義為(2.2-16)其中Nj表示干擾的數(shù)量。2.3波束形成

2.3.1波束形成基礎(chǔ)

圖2.3-1給出了一維均勻線陣（1-DimensionalUniformLinearArray，1-DULA）自適應(yīng)波束形成器的原理框圖。圖2.3-1均勻線陣的自適應(yīng)波束形成器示意圖波束形成器的輸出為一復標量y，即(2.3-1)如果稱上式中的求和項為陣列因子(arrayfactor)［7］，且記為A(θ)，即(2.3-2)當陣元響應(yīng)具有全方向特性時，波束方向圖（beampattern）B(θ)就等于陣列因子，即

B(θ)=A(θ)(2.3-3)然而在實際應(yīng)用中，每一個陣元都不是全向的，而是具有一定的方向性，如偶極子陣元。故陣列方向圖為陣列因子和陣元輻射方向圖（elementradiationpattern）Be(θ)的乘積，因此有

B(θ)=A(θ)Be(θ)

(2.3-4)

陣列天線的這種特性被稱為方向圖乘法（patternmultiplication）［7］。2.3.2經(jīng)典波束形成

將自適應(yīng)波束形成器的輸出利用矢量的形式表示為

y=wHx

(2.3-5)

其中：w為加權(quán)矢量，而x為陣列的接收快拍數(shù)據(jù)。下面的任務(wù)就是討論如何選擇權(quán)矢量w，其實加權(quán)處理也被稱為補償（shadingortapering）。最簡單的陣列加權(quán)方法為均勻加權(quán)，即(2.3-6)其中，上標“T”表示矢量的轉(zhuǎn)置運算，而常數(shù)項主要用于使波束形成器滿足無失真響應(yīng)（distortionlessresponse），即［w(unif)］Hs=1。圖2.3-2給出了均勻加權(quán)的10陣元ULA方向圖。該方向圖是以方向角的角度值為橫坐標給出的，顯然方向圖的波瓣隨著方向角偏離瞄準線逐漸變寬，如果將橫軸轉(zhuǎn)換為方向角的正弦值，即以u=sinθ為變量，則方向圖的波瓣展寬現(xiàn)象將會消除。圖2.3-3給出了以方向角的正弦值為變量的方向圖，其參數(shù)同圖2.3-2。圖2.3-2均勻加權(quán)的16陣元ULA方向圖（以方向角為變量）圖2.3-3均勻加權(quán)的16陣元ULA方向圖（以方向角的正弦值為變量）圖2.3-4給出了用于16陣元ULA在－40dB旁瓣電平時的Chebychev權(quán)矢量值，其中相對于單位模值導向矢量進行了無失真響應(yīng)的歸一化。其相應(yīng)的方向圖由圖2.3-5給出。顯然，通過Chebychev加權(quán)有效地改善了自適應(yīng)陣列方向圖的旁瓣響應(yīng)特性，當然旁瓣響應(yīng)性能的改善是以展寬主瓣寬度為代價的。圖2.3-4Chebychev補償?shù)年囋訖?quán)值圖2.3-5Chebychev補償?shù)年嚵蟹较驁D在圖2.3-3和圖2.3-5中，方向圖的主瓣都指向了陣列天線的視軸方向，如果通過給每一個陣元引入一個合適的相移，則可以控制波束指向任一給定的方向角。

用于控制波束指向的加權(quán)矢量可以按照下式計算：

(2.3-7)

其中：w為視軸方向的加權(quán)矢量，用于感興趣的補償；vθ為需要觀察方向的陣列導向矢量；“”表示Hadamard乘積。兩個N×M維矩陣A和B的Hadamard乘積定義為(2.3-8)圖2.3-6給出了Chebychev波束方向圖指向偏離視軸30°的示例方向圖。圖2.3-6Chebychev波束方向圖指向偏離視軸30°的示例方向圖2.3.3最優(yōu)波束形成

波束形成器的結(jié)構(gòu)如前所述，假設(shè)接收到N個復觀察數(shù)據(jù)，即一次快拍數(shù)據(jù)：

x=［x1,x2,…,xN)］T

(2.3-9)

測量矢量x是陣列接收到的復合信號，它包括有用信號xs、多個平面波干擾(噪聲干擾)xi以及空間白噪聲xn，因此有

x=xs+xi+xn

(2.3-10)

其中的有用信號被建模為具有已知到達角θ和未知幅度、隨機相位的非隨機平面波信號。通常假設(shè)干擾和噪聲是不相關(guān)的，因此它們的協(xié)方差矩陣可以表示如下：

Ri,n=Ri+Rn

(2.3-11)

其中：Ri=E{xixHi}為干擾的協(xié)方差矩陣，Rn=E{xnxHn}為噪聲的協(xié)方差矩陣，而Ri,n=E{xi,nxHi,n}為干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。在前面，波束形成器的輸出可以利用矢量的形式表示為y=wHx，結(jié)合陣列接收信號的表達式，波束形成器的輸出信號也可表示為

y=ys+yi+yn=ys+yi,n

(2.3-12)

其中：ys表示有用信號的輸出，而yi,n為干擾加噪聲的輸出。設(shè)計波束形成器加權(quán)矢量的目標是要完成如下兩個問題：

①最小化輸出干擾加噪聲的功率E{|yi,n|2}；

②保持有用信號的無失真。

然而輸出的干擾加噪聲功率E{|yi,n|2}通?？梢员硎緸?2.3-13)第二個波束形成器的目標就是保證有用信號的無失真響應(yīng)，因此隱含著

wHs=1

(2.3-14)

其中s為具有單位模值的導向矢量，即

式中的vθ為前面所定義的陣列導向矢量，其中的觀察方向為θ。符號‖·‖表示矢量的2-范數(shù)，而且可以計算如下：(2.3-15)(2.3-1６)將上面的兩個波束形成目標可以組合成如下的最小方差無失真響應(yīng)（MVDR）約束最小化（constraintminimization）問題：

(2.3-17)

或者

(2.3-18)該最優(yōu)化問題可以利用Lagrange乘數(shù)方法有效地求解。其中的最小化函數(shù)即Lagrangian函數(shù)為

(2.3-19)

其中λ為Lagrange乘數(shù)，上標“*”表示復共軛運算。為了求解上面的最優(yōu)化問題，求上式關(guān)于wH的梯度，并令其為零，可得(2.3-20)或者

為了求解參數(shù)λ，將權(quán)矢量的求解結(jié)果帶入最優(yōu)化問題的約束條件中，即

求解該式，可得(2.3-21)(2.3-22)(2.3-23)其中利用了協(xié)方差矩陣Ri,n的Hermitian特性，[R－1i,n]H=

R－1i,n。將所求的Lagrange乘數(shù)λ帶入前面的權(quán)矢量表達式中，可得最終的MVDR加權(quán)矢量表達式：(2.3-24)由于上面的求解利用了所有N個自適應(yīng)自由度（adaptivedegreesoffreedom），故稱為全維（fullrank）MVDR解。通過深入分析上式可以發(fā)現(xiàn)，該解可以表示為Weiner濾波器的形式：w=R－1r，其中互相關(guān)r為導向矢量

s被其白化模值歸一化后的信矢量，即(2.3-25)在前邊曾經(jīng)提到，對于只有白噪聲（即沒有干擾）的特殊環(huán)境，均勻加權(quán)是最優(yōu)的。其實可以利用上面的求解結(jié)果進行簡單的解釋。如果假設(shè)干擾和噪聲為白噪聲場景，即Ri,n=σ2i,nI，其中σ2i,n為陣元級的噪聲功率，而I

為單位矩陣。將上面的MVDR最優(yōu)權(quán)矢量中的Ri,n用σ2i,nI進行替換，可得(2.3-26)其中：s為單位模值的導向矢量，即sHs=1，而“”的定義與前面相同，表示Hadamard乘積。2.3.4自適應(yīng)波束形成

估計協(xié)方差矩陣的標準方法是構(gòu)造樣本協(xié)方差矩陣（samplecovariancematrix），其中：(2.3-27)其中：xi,n(k)為第k個訓練樣本，而K為可利用的訓練樣本的總數(shù)。樣本協(xié)方差矩陣就是真實協(xié)方差矩陣Ri,n的最大似然估計（MaximumLikelihoodEstimate，MLE)。利用樣本協(xié)方差矩陣代替真實協(xié)方差矩陣所得到的方法稱之為樣本矩陣求逆(SampleMatrixInversion，SMI)，即(2.3-28)陣列信號處理中主要存在兩類基本的訓練數(shù)據(jù)類型：無目標（target-free）訓練數(shù)據(jù)xi,n=xi+xn和有目標（target-in）訓練數(shù)據(jù)xs,i,n=xs+xi+xn。圖2.3-7和圖2.3-8分別給出了半波長陣元間距的12陣元均勻線陣，信噪比為－5dB的信號，入射角分別為0°和20°時的自適應(yīng)波束形成方向圖，其中虛線為無目標信號

訓練數(shù)據(jù)所對應(yīng)的方向圖，而實線為有目標信號訓練數(shù)據(jù)對應(yīng)的方向圖。圖2.3-7波束指向0°的自適應(yīng)方向圖圖2.3-8波束指向20°的自適應(yīng)方向圖第二個影響自適應(yīng)波束形成器性能的關(guān)鍵問題是可利

用的訓練數(shù)據(jù)數(shù)量。一般而言，訓練數(shù)據(jù)數(shù)量越多越好。對于MVDR-SMI波束形成器，關(guān)于性能與訓練樣本數(shù)量之間的函數(shù)關(guān)系，已由Reed、Mallet和Brennan的有關(guān)論文進行了深入的分析和研究。其中分析了度量的標準量ρ，稱為歸一化信干噪比（SINR），即(2.3-29)其中：SINR(SMI)為自適應(yīng)MVDR-SMISINR，而SINR(opt)為最優(yōu)MVDR-SINR，其中的SINR定義為(2.3-30)其中：w為感興趣的加權(quán)矢量，即MVDR或MVDR-SMI，而σ2s為陣元級的信號功率。文獻［13］給出了全維MVDR處理器的歸一化SINR的概率密度函數(shù)(ProbabilityDensityFunction,PDF)表達式，即(2.3-31)其中：N為自適應(yīng)自由度的數(shù)量，即陣元的數(shù)量，而K為訓練樣本的數(shù)量。其實上式所表示的概率密度函數(shù)為一個貝塔分布（Betadistribution），即(2.3-32)其中α=K+2－N，β=N－1。而伽馬函數(shù)（Bammafunction）Γ(·)的定義為［14］(2.3-33)其中當α=N為整數(shù)時，Γ(n+1)=n!，其中的符號“！”表示階乘運算。貝塔函數(shù)的一個基本特性就是均值等于α/(α+β)，即隱含著歸一化SINR的均值由下式給出：(2.3-34)圖2.3-9和圖2.3-10分別給出了半波長陣元間距的12陣元均勻線陣，信噪比為－5dB的信號，入射角分別為0°時的自適應(yīng)波束形成方向圖隨訓練樣本數(shù)量的變化情況。其中圖2.3-9對應(yīng)于無目標信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境，而圖2.3-10對應(yīng)于有目標信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境。顯然，訓練數(shù)據(jù)的數(shù)量對有目標信號環(huán)境的自適應(yīng)波束方向圖影響較大。為了進一步分析訓練數(shù)據(jù)數(shù)量的影響，圖2.3-11和圖2.3-12分別給出了自適應(yīng)波束形成器輸出信噪比隨數(shù)據(jù)數(shù)

量的變化曲線，其中圖2.3-11的仿真參數(shù)同圖2.3-7，而圖2.3-12的仿真參數(shù)同圖2.3-8。同樣，無信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境下的波束形成器SNR明顯優(yōu)于有信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境，尤其在小樣本數(shù)量時的比較優(yōu)勢更加明顯，這與圖2.3-9和圖

2.3-10的方向圖仿真分析結(jié)果相一致。圖2.3-9方向圖隨樣本數(shù)量的變化（無信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境）圖2.3-10方向圖隨樣本數(shù)量的變化（有信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境）圖2.3-11SNR隨樣本數(shù)量的變化（波束指向0°）圖2.3-12SNR隨樣本數(shù)量的變化（波束指向20°）第三個影響自適應(yīng)波束形成器性能的關(guān)鍵問題是可利用的訓練數(shù)據(jù)質(zhì)量。由于在估計干擾加噪聲協(xié)方差矩陣Ri,n時，利用了數(shù)據(jù)樣本xi,n，其中隱含假設(shè)這些數(shù)據(jù)樣本具有相同協(xié)方差，而且等于估計值，而且還假設(shè)了這些數(shù)據(jù)樣本xi,n是獨立同分布的(IndependentandIdenticalDistributed,IID)。圖2.3-13和圖2.3-14分別給出了自適應(yīng)波束形成方向圖隨訓練樣本協(xié)方差矩陣誤差的變化情況。兩圖的仿真參數(shù)分別同圖2.3-11和圖2.3-12，而協(xié)方差矩陣的誤差是通過一Hermitian誤差矩陣加入的。為了進一步分析訓練數(shù)據(jù)質(zhì)量的影響，圖2.3-15和圖2.3-16分別給出了自適應(yīng)波束形成器輸出信噪比隨協(xié)方差矩陣誤差的變化曲線，其中圖2.3-15的仿真參數(shù)同圖2.3-7，而圖2.3-16的仿真參數(shù)同圖2.3-8，協(xié)方差矩陣誤差的加入

方式同圖2.3-13和圖2.3-14。圖2.3-13方向圖隨協(xié)方差矩陣誤差的變化（無信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境）圖2.3-14方向圖隨協(xié)方差矩陣誤差的變化（有信號訓練數(shù)據(jù)環(huán)境）圖2.3-15SNR隨協(xié)方差矩陣誤差的變化（波束指向0°）圖2.3-16