第21頁(yè)（共21頁(yè)）2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年7月）一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?遼寧期末）將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球放入兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種2．（2025春?山東月考）從7本不同的書(shū)中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（）A．37 B．73 C．21 D．2103．（2025春?武安市校級(jí)月考）從2，3，4，5，6，7，8，9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．56 B．54 C．53 D．524．（2025春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開(kāi)設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選1門課程參加，則不同的選法共有（）A．12種 B．64種 C．81種 D．96種5．（2025春?安徽期中）如圖，從甲地到乙地有1條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到將據(jù)丁地有4條路；從甲地不經(jīng)乙地或丙地直接到達(dá)丁地有n條路．若從甲地到丁地總共有20條不同的路線，則n＝（）A．4 B．5 C．6 D．76．（2025春?齊齊哈爾期中）某同學(xué)從2個(gè)田徑項(xiàng)目和4個(gè)球類項(xiàng)目中各選1個(gè)項(xiàng)目參加，則不同的選擇方案共有（）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種7．（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)模擬）若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m+n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位（例如：134+3802＝3936），則稱（m，n）為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Γ鴐+n稱為有序數(shù)對(duì)（m，n）的值，那么值為1942的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是（）A．20 B．16 C．150 D．3008．（2025春?清遠(yuǎn)期中）清遠(yuǎn)市有5個(gè)著名景點(diǎn)：A．連州地下河、B．英西峰林走廊、C．黃騰峽漂流、D．南崗千年瑤寨、E．聚龍灣溫泉．某游客計(jì)劃選擇其中3個(gè)游覽，但根據(jù)交通安排，若選擇C（黃騰峽漂流），則必須同時(shí)選擇E（聚龍灣溫泉）．則該游客不同的選法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?巴林右旗校級(jí)期中）若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為30 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為36 C．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為24 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20（多選）10．（2025?渝水區(qū)校級(jí)模擬）在一個(gè)圓環(huán)隧道內(nèi)等間距裝有若干個(gè)完全一樣的開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”或“關(guān)”兩種狀態(tài)（這些開(kāi)關(guān)總數(shù)和標(biāo)記為“開(kāi)”或“關(guān)”的開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)均未知）．小郅同學(xué)位于隧道內(nèi)部，從某個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始，以下策略一定可以一次確定開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)的選項(xiàng)為：（）A．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān) B．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為m（不包括最后一個(gè)開(kāi)關(guān)），將其標(biāo)記為“關(guān)”后，從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” C．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)第m（m為合數(shù)）個(gè)開(kāi)關(guān)為“開(kāi)”，將其標(biāo)記為“關(guān)”后從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” D．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），并將沿途的m﹣1個(gè)開(kāi)關(guān)均標(biāo)記為“開(kāi)”，第m個(gè)開(kāi)關(guān)標(biāo)記為“關(guān)”，再?gòu)倪@個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至第一次遇到狀態(tài)為“關(guān)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為n（包括最后1個(gè)開(kāi)關(guān)），n＜m﹣1（多選）11．（2024春?富陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a+bi，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A．其中虛數(shù)有30個(gè) B．其中虛數(shù)有42個(gè) C．其中虛數(shù)有36個(gè) D．其中虛數(shù)有35個(gè)（多選）12．（2024秋?鄄城縣校級(jí)期末）設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法 C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法三．填空題（共4小題）13．（2025春?淄博校級(jí)期中）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現(xiàn)從這三個(gè)班中任選1人去參加活動(dòng)，則不同的選法共有種．14．（2025春?西城區(qū)校級(jí)期中）由1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有個(gè)．（用數(shù)字作答）15．（2025春?安慶校級(jí)期中）給圖中六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色．若有4種不同的顏色可供選擇，則共有種不同的染色方案．16．（2025?商洛三模）設(shè)計(jì)一個(gè)五位的信息密碼，每位數(shù)字均在0～9中選取，則含有數(shù)字1，6，8，且1，6，8都只出現(xiàn)一次的信息密碼有個(gè)．四．解答題（共4小題）17．（2025春?臨西縣校級(jí)月考）解答下列問(wèn)題，要求列式并計(jì)算結(jié)果：（1）某影城有一些電影新上映，其中有2部科幻片、3部文藝片、2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法種數(shù)有多少種；（2）用0～6這7個(gè)自然數(shù)，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；（3）有9本不同的語(yǔ)文書(shū)，7本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中選出不同學(xué)科的2本書(shū)，則不同的選法有多少種；（4）3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盆子放球的數(shù)量不限，共多少種放法？18．（2025春?安慶校級(jí)期中）從1，3，5三個(gè)奇數(shù)中取兩個(gè)，再?gòu)?，2，4三個(gè)偶數(shù)中取兩個(gè)組成滿足下列條件的四位數(shù)，問(wèn)：（1）能夠組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）能夠組成多少個(gè)比3000大的四位奇數(shù)？19．（2025春?禮泉縣期中）某職業(yè)中學(xué)外貿(mào)專業(yè)高二（1）班有學(xué)生7人，高二（2）班有學(xué)生9人，高二（3）班有學(xué)生10人參加技能興趣選拔賽．（1）如果選一人當(dāng)組長(zhǎng)，那么有多少種選法？（2）如果老師任組長(zhǎng)，每班選一名副組長(zhǎng)，那么有多少種不同的選法？（3）如果推選兩名學(xué)生參加市技能大賽，要求這兩人來(lái)自不同的班級(jí)，那么有多少種不同的選法？20．（2024春?城中區(qū)校級(jí)期中）有0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，問(wèn)：（1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？

2026年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)新題速遞之兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（2025年7月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案CDDCBBDC二．多選題（共4小題）題號(hào)9101112答案BDBDABDABD一．選擇題（共8小題）1．（2024秋?遼寧期末）將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球放入兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先從球的個(gè)數(shù)分類，再求出每類放球的方法，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案．【解答】解：若一個(gè)盒子中放1個(gè)球，另一個(gè)盒子中放3個(gè)球，則有4種不同的方法．若兩個(gè)盒子中都放入2個(gè)球，則有3種不同的方法；故不同的放法有7種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025春?山東月考）從7本不同的書(shū)中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法種數(shù)是（）A．37 B．73 C．21 D．210【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理求解．【解答】解：從7本不同的書(shū)中選出3本送給3位同學(xué)，每人一本，不同的選法有7×6×5＝210種．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2025春?武安市校級(jí)月考）從2，3，4，5，6，7，8，9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，則可以組成不同對(duì)數(shù)值的個(gè)數(shù)為（）A．56 B．54 C．53 D．52【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】排列組合．【答案】D【分析】本題需要先分類來(lái)解，從8個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)字排列，log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重復(fù)了4次，要減去4，用所有的排列數(shù)減去重復(fù)的，問(wèn)題得以解決．【解答】解：從8個(gè)數(shù)中選兩個(gè)數(shù)字排列，共有A82又log24＝log39，log42＝log93，log23＝log49，log32＝log94重復(fù)了4次，要減去4，∴共有不同的對(duì)數(shù)值56﹣4＝52個(gè)，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查對(duì)數(shù)的性質(zhì)，是一個(gè)綜合題，也是一個(gè)易錯(cuò)題，易錯(cuò)點(diǎn)在于這一組數(shù)字做真數(shù)和底數(shù)時(shí)出現(xiàn)重復(fù)的結(jié)果，要去掉．4．（2025春?龍崗區(qū)校級(jí)期中）為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，某校開(kāi)設(shè)了游泳、武術(shù)和籃球課程，甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人從中任選1門課程參加，則不同的選法共有（）A．12種 B．64種 C．81種 D．96種【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：甲、乙、丙、丁4位同學(xué)每人都有3種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，不同的選法共有3×3×3×3＝34＝81種．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．5．（2025春?安徽期中）如圖，從甲地到乙地有1條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到將據(jù)丁地有4條路；從甲地不經(jīng)乙地或丙地直接到達(dá)丁地有n條路．若從甲地到丁地總共有20條不同的路線，則n＝（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理得到方程，求出n＝5．【解答】解：從甲地到乙地有1條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有3條路，從丙地到將據(jù)丁地有4條路，則甲地經(jīng)丙地到丁地的路線共有3×4＝12條，甲地經(jīng)乙地到丁地的路線共有1×3＝3條，故從甲地到丁地路線條數(shù)為3+12+n＝15+n，所以15+n＝20，解得n＝5．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．6．（2025春?齊齊哈爾期中）某同學(xué)從2個(gè)田徑項(xiàng)目和4個(gè)球類項(xiàng)目中各選1個(gè)項(xiàng)目參加，則不同的選擇方案共有（）A．6種 B．8種 C．12種 D．16種【考點(diǎn)】分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可．【解答】解：由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的選擇方案共有2×4＝8種．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．7．（2025?長(zhǎng)沙校級(jí)模擬）若m，n均為非負(fù)整數(shù)，在做m+n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位（例如：134+3802＝3936），則稱（m，n）為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)?，而m+n稱為有序數(shù)對(duì)（m，n）的值，那么值為1942的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是（）A．20 B．16 C．150 D．300【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；新定義．【答案】D【分析】由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一位取法兩種為0，1，第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有5種，0，1，2，3，4，第四為有3種，0，1，2，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一位取法兩種為0，1第二位有10種從0，1，2，3，4，5，6，7，8，9第三位有5種，0，1，2，3，4，第四為有3種，0，1，2根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理知共有2×10×5×3＝300個(gè)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題看出分步計(jì)數(shù)原理，本題解題的關(guān)鍵是看出四位數(shù)中每一個(gè)數(shù)字可以有幾種情況，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．8．（2025春?清遠(yuǎn)期中）清遠(yuǎn)市有5個(gè)著名景點(diǎn)：A．連州地下河、B．英西峰林走廊、C．黃騰峽漂流、D．南崗千年瑤寨、E．聚龍灣溫泉．某游客計(jì)劃選擇其中3個(gè)游覽，但根據(jù)交通安排，若選擇C（黃騰峽漂流），則必須同時(shí)選擇E（聚龍灣溫泉）．則該游客不同的選法有（）A．5種 B．6種 C．7種 D．8種【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】通過(guò)分類計(jì)數(shù)原理，分選擇C景點(diǎn)和不選C景點(diǎn)兩種情況求解即可．【解答】解：分兩種情況，不選C景點(diǎn)的，有C43選C景點(diǎn)的，同時(shí)選擇E景點(diǎn)，有C31故共有3+4＝7種選法．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025春?巴林右旗校級(jí)期中）若一個(gè)三位數(shù)中十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字都大，則稱這個(gè)數(shù)為“凸數(shù)”，如231、354等都是“凸數(shù)”，用1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則（）A．組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為30 B．在組成的三位數(shù)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為36 C．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為24 D．在組成的三位數(shù)中，“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)為20【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BD【分析】根據(jù)位置特殊限制的排列問(wèn)題和“凸數(shù)”的概念分析，結(jié)合選項(xiàng)依次求解即可．【解答】解：對(duì)于A，5個(gè)數(shù)組成無(wú)重復(fù)的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A53=60對(duì)于B，奇數(shù)為個(gè)位數(shù)是1，3，5的三位數(shù)，個(gè)數(shù)為3A42對(duì)于C，“凸數(shù)”分為3類，①十位數(shù)為5，則有A42=12個(gè)；②十位數(shù)為4，則有③十位數(shù)為3，則有A22=2個(gè)，所以共有20個(gè)，故C故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．（多選）10．（2025?渝水區(qū)校級(jí)模擬）在一個(gè)圓環(huán)隧道內(nèi)等間距裝有若干個(gè)完全一樣的開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)只有“開(kāi)”或“關(guān)”兩種狀態(tài)（這些開(kāi)關(guān)總數(shù)和標(biāo)記為“開(kāi)”或“關(guān)”的開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)均未知）．小郅同學(xué)位于隧道內(nèi)部，從某個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始，以下策略一定可以一次確定開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)的選項(xiàng)為：（）A．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān) B．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至遇到下一個(gè)標(biāo)記為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為m（不包括最后一個(gè)開(kāi)關(guān)），將其標(biāo)記為“關(guān)”后，從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” C．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），計(jì)數(shù)發(fā)現(xiàn)第m（m為合數(shù)）個(gè)開(kāi)關(guān)為“開(kāi)”，將其標(biāo)記為“關(guān)”后從這個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)出發(fā)，逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)為“關(guān)” D．從第1個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)始，順時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），并將沿途的m﹣1個(gè)開(kāi)關(guān)均標(biāo)記為“開(kāi)”，第m個(gè)開(kāi)關(guān)標(biāo)記為“關(guān)”，再?gòu)倪@個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)開(kāi)始逆時(shí)針計(jì)數(shù)（不包括第1個(gè)開(kāi)關(guān)），直至第一次遇到狀態(tài)為“關(guān)”的開(kāi)關(guān)，計(jì)數(shù)為n（包括最后1個(gè)開(kāi)關(guān)），n＜m﹣1【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【答案】BD【分析】利用，邏輯推理來(lái)計(jì)數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A．顯然錯(cuò)誤，例如5個(gè)燈，第1、4個(gè)為“開(kāi)”，不符合題意；對(duì)于B．發(fā)現(xiàn)第m個(gè)開(kāi)關(guān)為“關(guān)”只能是小郅手動(dòng)關(guān)上的，而順時(shí)針途經(jīng)過(guò)程中沒(méi)有其他“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，所以m為開(kāi)關(guān)總數(shù)，符合題意；對(duì)于C．順時(shí)針沿途可能遇到狀態(tài)為“開(kāi)”的開(kāi)關(guān)，所以可能繞了不止一圈，例如，開(kāi)關(guān)總數(shù)為5，取m＝10，繞了兩圈，開(kāi)關(guān)總數(shù)為10的非1因子（所以m取合數(shù)時(shí)都可能無(wú)法一次確定開(kāi)關(guān)個(gè)數(shù)），不符合題意；對(duì)于D．第1～m﹣1個(gè)開(kāi)關(guān)均為“開(kāi)”，第m個(gè)開(kāi)關(guān)為“關(guān)”，假設(shè)環(huán)繞不足一圈，則n＞m﹣1，矛盾，于是環(huán)繞數(shù)大于等于一圈；而不論環(huán)繞是否多于一圈，兩個(gè)“關(guān)”的開(kāi)關(guān)之間一定間隔一圈，即逆時(shí)針一定只環(huán)繞一圈，所以n為所求，符合題意．故選：BD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查合情推理的應(yīng)用，涉及策略的選擇，屬于基礎(chǔ)題．（多選）11．（2024春?富陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a+bi，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有（）A．其中虛數(shù)有30個(gè) B．其中虛數(shù)有42個(gè) C．其中虛數(shù)有36個(gè) D．其中虛數(shù)有35個(gè)【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】整體思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)虛數(shù)的概念，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)選項(xiàng)，可只考慮a+bi為虛數(shù)，虛部不能為0，第一步選虛部，有6種選擇，第二步，選擇實(shí)部，有6種選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，虛數(shù)有36個(gè)，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．（多選）12．（2024秋?鄄城縣校級(jí)期末）設(shè)從東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆贩謩e有2，3，3，4條，現(xiàn)要從一面上山，從剩余三面中的任意一面下山，則下列結(jié)論正確的是（）A．從東面上山有20種走法 B．從西面上山有27種走法 C．從南面上山有30種走法 D．從北面上山有32種走法【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；分類加法計(jì)數(shù)原理．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，由分步計(jì)數(shù)原理依次分析選項(xiàng)，綜合可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于A，若從東面上山，上山的路2條，下山的路有3+3+4＝10條，則有2×10＝20條，A正確；對(duì)于B，若從西面上山，上山的路3條，下山的路有2+3+4＝9條，則有3×9＝27條，B正確；對(duì)于C，若從南面上山，上山的路3條，下山的路有2+3+4＝9條，則有3×9＝27條，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若從北面上山，上山的路4條，下山的路有2+3+3＝8條，則有4×8＝32條，D正確；故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步、分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，注意分類、分步計(jì)數(shù)原理的不同，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）13．（2025春?淄博校級(jí)期中）已知某校高二（1）班有42人，高二（2）班有45人，高一（3）班有38人，現(xiàn)從這三個(gè)班中任選1人去參加活動(dòng)，則不同的選法共有125種．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】125．【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，不同的選法共有42+45+38＝125種．故答案為：125．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．14．（2025春?西城區(qū)校級(jí)期中）由1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有36個(gè)．（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題．【專題】對(duì)應(yīng)思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；邏輯思維．【答案】36．【分析】用分步乘法原理，先確定個(gè)位數(shù)字，再確定萬(wàn)位數(shù)字，剩下的中間任意排列即可．【解答】解：先確定個(gè)位數(shù)字有2種方法，再確定萬(wàn)位數(shù)字有3種方法，中間三位任意排列方法數(shù)為A3∴小于50000的偶數(shù)共有2×3×A3故答案為：36．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的混合問(wèn)題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想，屬于基礎(chǔ)題．15．（2025春?安慶校級(jí)期中）給圖中六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色且相鄰的區(qū)域不同色．若有4種不同的顏色可供選擇，則共有288種不同的染色方案．【考點(diǎn)】染色問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】288．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合題意分析6個(gè)區(qū)域的染色方法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，如圖，假設(shè)六個(gè)區(qū)域依次為ABCDEF，對(duì)于區(qū)域ABC，三個(gè)區(qū)域兩兩相鄰，有A43＝24種選擇方案，對(duì)于區(qū)域D，與區(qū)域C相鄰，有3種選擇方案，對(duì)于區(qū)域E，與區(qū)域C、D相鄰，有2種選擇方案，對(duì)于區(qū)域F，與區(qū)域C、E相鄰，有2種選擇方案，則有24×3×2×2＝288種染色方案，故答案為：288．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．16．（2025?商洛三模）設(shè)計(jì)一個(gè)五位的信息密碼，每位數(shù)字均在0～9中選取，則含有數(shù)字1，6，8，且1，6，8都只出現(xiàn)一次的信息密碼有2940個(gè)．【考點(diǎn)】分步乘法計(jì)數(shù)原理；簡(jiǎn)單組合問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】2940【分析】先從5個(gè)數(shù)位選擇3個(gè)數(shù)位分別排1、6、8，剩余的2個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從剩余的7個(gè)數(shù)字中進(jìn)行選擇，每個(gè)數(shù)位有7種選擇，結(jié)合分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先從5個(gè)數(shù)位選擇3個(gè)數(shù)位分別排1、6、8，剩余的2個(gè)數(shù)位上的數(shù)字從0、2、3、4、5、7、9中選擇，每個(gè)數(shù)位有7種選擇，則滿足條件的信息碼的個(gè)數(shù)為A5故答案為：2940．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?臨西縣校級(jí)月考）解答下列問(wèn)題，要求列式并計(jì)算結(jié)果：（1）某影城有一些電影新上映，其中有2部科幻片、3部文藝片、2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法種數(shù)有多少種；（2）用0～6這7個(gè)自然數(shù)，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)；（3）有9本不同的語(yǔ)文書(shū)，7本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的英語(yǔ)書(shū)，從中選出不同學(xué)科的2本書(shū)，則不同的選法有多少種；（4）3個(gè)不同的球放入5個(gè)不同的盒子，每個(gè)盆子放球的數(shù)量不限，共多少種放法？【考點(diǎn)】加法計(jì)數(shù)原理與乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）7種；（2）180個(gè)；（3）127種；（4）125種．【分析】（1）由分類計(jì)數(shù)原理可求解；（2）由分步計(jì)數(shù)原理可求解；（3）由分類計(jì)數(shù)原理可求解；（4）由分步計(jì)數(shù)原理可求解．【解答】解：（1）有2部科幻片、3部文藝片、2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，小明從中任選1部電影觀看，則小明可以選擇科幻片、文藝片或喜劇片，不同的選法種數(shù)有2+3+2＝7種；（2）百位數(shù)字有6種不同的選法，十位有6種不同的選法，個(gè)位有5種不同的選法，由分步計(jì)數(shù)原理可得共有6×6×5＝180種；（3）有9本不同的語(yǔ)文書(shū)，7本不同的數(shù)學(xué)書(shū)，4本不同的英語(yǔ)書(shū)，從語(yǔ)文和數(shù)學(xué)中選擇有9×7＝63，從語(yǔ)文和英語(yǔ)中選擇有9×4＝36，從數(shù)學(xué)和英語(yǔ)中選擇有4×7＝28，總共有63+36+28＝127種不同的選擇；（4）每個(gè)球可以放入5個(gè)盒子中的任何一個(gè)盒子有5種放法，故由分步計(jì)數(shù)原理可得共有5×5×5＝125種不同的放法．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．18．（2025春?安慶校級(jí)期中）從1，3，5三個(gè)奇數(shù)中取兩個(gè)，再?gòu)?，2，4三個(gè)偶數(shù)中取兩個(gè)組成滿足下列條件的四位數(shù)，問(wèn)：（1）能夠組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）能夠組成多少個(gè)比3000大的四位奇數(shù)？【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）180；（2）48．【分析】（1）根據(jù)題意，按取出的4個(gè)數(shù)字中是否有0，分2種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案；（2）根據(jù)題意，按四位數(shù)的最高位分3種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，分2種情況討論：當(dāng)取出的數(shù)字含0時(shí)，C3當(dāng)取出的數(shù)字不含0時(shí)，C3故能構(gòu)成108+72＝180個(gè)四位數(shù)．（2）根據(jù)題意，分3種情況討論：當(dāng)最高位為3時(shí)，有C2當(dāng)最高位為4時(shí)，有C3當(dāng)最高位為5時(shí)，有C2則能構(gòu)成12+24+12＝48個(gè)比3000大的奇數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19．（2025春?禮泉縣期中）某職業(yè)中學(xué)外貿(mào)專業(yè)高二（1）班有學(xué)生7人，高二（2）班有學(xué)生9人，高二（3）班有學(xué)生10人參加技能興趣選拔賽．（1）如果選一人當(dāng)組長(zhǎng)，那么有多少種選法？（2）如果老師任組長(zhǎng)，每班選一名副組長(zhǎng)，那么有多少種不同的選法？（3）如果推選兩名學(xué)生參加市技能大賽，要求這兩人來(lái)自不同的班級(jí)，那么有多少種不同的選法？【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；分類討論；數(shù)學(xué)模型法；排列組合．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】直接根據(jù)分步和分類計(jì)數(shù)原理可得．【解答】解：（1）一共7+9+10＝26人，從中選一人當(dāng)組長(zhǎng)，共有26選法．（2）每班選一名副組長(zhǎng)為一步，故有7×9×10＝630種，（3）分三類，1班和2班，或1班和3班，或2班和3班，故推選兩名學(xué)生參加市技能大賽，要求這兩人來(lái)自不同的班級(jí)，有7×9+7×10+9×10＝223種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分步和分類計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．20．（2024春?城中區(qū)校級(jí)期中）有0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，問(wèn)：（1）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位密碼？（2）可以組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？【考點(diǎn)】數(shù)字問(wèn)題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）120；（2）96．【分析】（1）從5個(gè)數(shù)字任取4個(gè)進(jìn)行全排列即可求出；（2）特殊位置優(yōu)先安排的原則即可求出．【解答】解：（1）：從5個(gè)數(shù)字任取4個(gè)進(jìn)行全排列，故有A54=（2）首尾不能為0，則有A41【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題，考查排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．分類加法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：（1）完成一件事的n類方案相互獨(dú)立；（2）同一類方案中的各種方法相對(duì)獨(dú)立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；4．注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對(duì)每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及分類討論思想．例：某校開(kāi)設(shè)A類選修課3門，B類選擇課4門，一位同學(xué)從中共選3門，若要求兩類課程中各至少選一門，則不同的選法共有（）A.30種B.35種C.42種D.48種分析：兩類課程中各至少選一門，包含兩種情況：A類選修課選1門，B類選修課選2門；A類選修課選2門，B類選修課選1門，寫(xiě)出組合數(shù)，根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理得到結(jié)果．解答：可分以下2種情況：①A類選修課選1門，B類選修課選2門，有C3②A類選修課選2門，B類選修課選1門，有C3∴根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知不同的選法共有C31C4故選A．點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查分類計(jì)數(shù)原理、組合知識(shí)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．本題也可以從排列的對(duì)立面來(lái)考慮，寫(xiě)出所有的減去不合題意的，可以這樣解：C732．分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事需要分成兩個(gè)步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個(gè)步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：完成一件事的n個(gè)步驟相互依存，必須依次完成n個(gè)步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】如果完成一件事情有n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對(duì)每一步的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分步乘法計(jì)數(shù)原理求積；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力及分類討論思想．例：從1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.432B.288C.216D.108分析：本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共C42C32解答：∵由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)原理，第一步先從4個(gè)奇數(shù)中取2個(gè)再?gòu)?個(gè)偶數(shù)中取2個(gè)共C42第二步再把4個(gè)數(shù)排列，其中是奇數(shù)的共A21∴所求奇數(shù)的個(gè)數(shù)共有18×12＝216種．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查分步計(jì)數(shù)原理，是一個(gè)數(shù)字問(wèn)題，數(shù)字問(wèn)題是排列中的一大類問(wèn)題，把排列問(wèn)題包含在數(shù)字問(wèn)題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實(shí)質(zhì)，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．3．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法點(diǎn)撥】1．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問(wèn)題的基本思想方法．常見(jiàn)考題類型：（1）映射問(wèn)題（2）涂色問(wèn)題（①區(qū)域涂色②點(diǎn)的涂