中學(xué)立體幾何專題訓(xùn)練習(xí)題集前言立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，旨在培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。本習(xí)題集圍繞空間幾何體、點(diǎn)線面位置關(guān)系、空間向量、截面與展開(kāi)四大核心專題，設(shè)計(jì)了知識(shí)點(diǎn)回顧、典型例題解析、分層訓(xùn)練習(xí)題及答案解析，覆蓋中考、高考的高頻考點(diǎn)，幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固知識(shí)，提升解題能力。專題一空間幾何體的表面積與體積核心考點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球的表面積與體積公式；組合體體積的分割與補(bǔ)形法。一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.基本幾何體公式柱體（棱柱、圓柱）：表面積\(S=2S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（圓柱側(cè)面積\(S_{\text{側(cè)}}=2\pirh\)）；體積\(V=S_{\text{底}}\cdoth\)。錐體（棱錐、圓錐）：表面積\(S=S_{\text{底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（圓錐側(cè)面積\(S_{\text{側(cè)}}=\pirl\)，\(l\)為母線長(zhǎng)）；體積\(V=\frac{1}{3}S_{\text{底}}\cdoth\)。臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）：表面積\(S=S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+S_{\text{側(cè)}}\)（圓臺(tái)側(cè)面積\(S_{\text{側(cè)}}=\pi(r_1+r_2)l\)）；體積\(V=\frac{1}{3}h(S_{\text{上底}}+S_{\text{下底}}+\sqrt{S_{\text{上底}}\cdotS_{\text{下底}}})\)。球：表面積\(S=4\piR^2\)；體積\(V=\frac{4}{3}\piR^3\)。2.組合體體積常用分割法（將組合體分成若干簡(jiǎn)單幾何體）或補(bǔ)形法（補(bǔ)成簡(jiǎn)單幾何體后減去補(bǔ)的部分）。二、典型例題解析例1：一個(gè)長(zhǎng)方體被平面截去一個(gè)三棱錐，所得幾何體的三視圖如圖所示（主視圖為矩形，左視圖為三角形，俯視圖為矩形），求該幾何體的體積（設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)、寬、高分別為\(a,b,c\)）。分析：根據(jù)三視圖還原幾何體：長(zhǎng)方體截去一個(gè)以底面直角三角形為底、高為長(zhǎng)方體高的三棱錐。長(zhǎng)方體體積：\(V_{\text{長(zhǎng)方體}}=abc\)；截去的三棱錐體積：底面為\(\frac{1}{2}ab\)，高為\(c\)，故\(V_{\text{三棱錐}}=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}ab\timesc=\frac{1}{6}abc\)。解答：幾何體體積\(V=V_{\text{長(zhǎng)方體}}-V_{\text{三棱錐}}=abc-\frac{1}{6}abc=\frac{5}{6}abc\)。總結(jié)：組合體體積優(yōu)先考慮“分割”或“補(bǔ)形”，將復(fù)雜幾何體轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單幾何體的和或差。三、專題訓(xùn)練習(xí)題基礎(chǔ)題（練習(xí)1-1）已知圓柱底面半徑為1，高為2，求其表面積與體積。提升題（練習(xí)1-2）一個(gè)棱錐底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形，側(cè)面都是等腰三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，求其體積。四、答案與解析練習(xí)1-1：表面積：\(S=2\pir^2+2\pirh=2\pi\times1^2+2\pi\times1\times2=6\pi\)；體積：\(V=\pir^2h=\pi\times1^2\times2=2\pi\)。練習(xí)1-2：底面正三角形的高為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\times3=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)，底面中心到頂點(diǎn)的距離為\(\frac{2}{3}\times\frac{3\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)；棱錐的高：\(h=\sqrt{\text{側(cè)棱長(zhǎng)}^2-\text{底面中心到頂點(diǎn)距離}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3})^2}=1\)；體積：\(V=\frac{1}{3}\timesS_{\text{底}}\timesh=\frac{1}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{4}\times3^2\times1=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)。專題二點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系核心考點(diǎn)：平行關(guān)系（線線、線面、面面）的判定與性質(zhì)；垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)。子專題1平行關(guān)系一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.線線平行：同位角/內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（平面內(nèi)）；平行于同一直線的兩條直線平行（傳遞性）；平面平行的性質(zhì)：兩平面平行，第三個(gè)平面與它們相交，交線平行。2.線面平行：判定定理：平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則該直線與平面平行（\(a\not\subset\alpha,b\subset\alpha,a\parallelb\Rightarrowa\parallel\alpha\)）；性質(zhì)定理：直線與平面平行，過(guò)該直線的平面與原平面相交，則直線與交線平行（\(a\parallel\alpha,a\subset\beta,\alpha\cap\beta=b\Rightarrowa\parallelb\)）。3.面面平行：判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則兩平面平行（\(a\subset\alpha,b\subset\alpha,a\capb=P,a\parallel\beta,b\parallel\beta\Rightarrow\alpha\parallel\beta\)）；性質(zhì)定理：兩平面平行，第三個(gè)平面與它們相交，交線平行（\(\alpha\parallel\beta,\alpha\cap\gamma=a,\beta\cap\gamma=b\Rightarrowa\parallelb\)）。二、典型例題解析例2：在三棱柱\(ABC-A_1B_1C_1\)中，\(D\)是\(AC\)中點(diǎn)，求證：\(B_1D\parallel\)平面\(A_1BC_1\)。分析：要證線面平行，需找到平面\(A_1BC_1\)內(nèi)與\(B_1D\)平行的直線。利用三棱柱的平行性質(zhì)，構(gòu)造中位線或平行四邊形。解答：連接\(A_1C\)，交\(A_1C_1\)于\(O\)（三棱柱側(cè)棱平行，\(A_1C_1\parallelAC\)，故\(O\)為\(A_1C\)中點(diǎn)）；連接\(BO\)，則\(BO\)是\(\triangleA_1BC\)的中位線（\(O\)是\(A_1C\)中點(diǎn)，\(D\)是\(AC\)中點(diǎn)）；故\(BO\parallelB_1D\)（中位線平行于第三邊）；又\(BO\subset\)平面\(A_1BC_1\)，\(B_1D\not\subset\)平面\(A_1BC_1\)，故\(B_1D\parallel\)平面\(A_1BC_1\)?？偨Y(jié)：線面平行的關(guān)鍵是“找平面內(nèi)的平行線”，常用中位線、平行四邊形或平面平行的性質(zhì)。三、專題訓(xùn)練習(xí)題基礎(chǔ)題（練習(xí)2-1）在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(E\)是\(AB\)中點(diǎn)，\(F\)是\(AD\)中點(diǎn)，求證：\(EF\parallel\)平面\(B_1D_1DB\)。提升題（練習(xí)2-2）在四棱錐\(P-ABCD\)中，底面\(ABCD\)是平行四邊形，\(E\)是\(PC\)中點(diǎn)，求證：\(PA\parallel\)平面\(EBD\)。子專題2垂直關(guān)系一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.線線垂直：勾股定理（平面內(nèi)）；線面垂直的性質(zhì)：直線與平面垂直，則直線與平面內(nèi)所有直線垂直（\(a\perp\alpha,b\subset\alpha\Rightarrowa\perpb\)）。2.線面垂直：判定定理：直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則直線與平面垂直（\(a\perpb,a\perpc,b\subset\alpha,c\subset\alpha,b\capc=P\Rightarrowa\perp\alpha\)）；性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩條直線平行（\(a\perp\alpha,b\perp\alpha\Rightarrowa\parallelb\)）。3.面面垂直：判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩平面垂直（\(a\perp\alpha,a\subset\beta\Rightarrow\alpha\perp\beta\)）；性質(zhì)定理：兩平面垂直，一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面（\(\alpha\perp\beta,\alpha\cap\beta=l,a\subset\alpha,a\perpl\Rightarrowa\perp\beta\)）。二、典型例題解析例3：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求證：\(A_1C\perp\)平面\(B_1D_1DB\)。分析：要證線面垂直，需證\(A_1C\)垂直于平面\(B_1D_1DB\)內(nèi)的兩條相交直線（如\(BD\)和\(BB_1\)）。解答：由正方體性質(zhì)，\(BD\perpAC\)（底面正方形對(duì)角線垂直），\(A_1A\perp\)底面\(ABCD\)，故\(A_1A\perpBD\)；\(AC\capA_1A=A\)，故\(BD\perp\)平面\(A_1AC\)，從而\(BD\perpA_1C\)；同理，\(BB_1\perp\)底面\(A_1B_1C_1D_1\)，故\(BB_1\perpA_1C_1\)，又\(A_1C_1\perpB_1D_1\)，故\(A_1C_1\perp\)平面\(B_1D_1DB\)，從而\(A_1C\perpBB_1\)；\(BD\capBB_1=B\)，故\(A_1C\perp\)平面\(B_1D_1DB\)?？偨Y(jié)：線面垂直的關(guān)鍵是“找平面內(nèi)的兩條相交垂線”，常用底面垂直（如棱柱、棱錐的高）或?qū)蔷€垂直（如正方形、菱形）。三、專題訓(xùn)練習(xí)題基礎(chǔ)題（練習(xí)2-3）在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求證：\(A_1C\perpBD\)。提升題（練習(xí)2-4）在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=BC\)，\(D\)是\(AC\)中點(diǎn)，求證：\(BD\perp\)平面\(PAC\)。專題三空間向量與立體幾何核心考點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算；異面直線所成角、線面角、二面角的向量求法。一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.空間向量運(yùn)算：坐標(biāo)表示：設(shè)\(\vec{a}=(x_1,y_1,z_1)\)，\(\vec=(x_2,y_2,z_2)\)，則：加法：\(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\)；點(diǎn)積：\(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2\)；模長(zhǎng)：\(|\vec{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2}\)；夾角余弦：\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}\)。2.空間角求法：異面直線所成角：設(shè)兩直線方向向量為\(\vec{a},\vec\)，則\(\theta=\arccos\left(\frac{|\vec{a}\cdot\vec|}{|\vec{a}|\cdot|\vec|}\right)\)（范圍\((0^\circ,90^\circ]\)）；線面角：設(shè)直線方向向量為\(\vec{a}\)，平面法向量為\(\vec{n}\)，則\(\theta=\arcsin\left(\frac{|\vec{a}\cdot\vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}\right)\)（范圍\([0^\circ,90^\circ]\)）；二面角：設(shè)兩平面法向量為\(\vec{n}_1,\vec{n}_2\)，則\(\theta=\arccos\left(\frac{|\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2|}{|\vec{n}_1|\cdot|\vec{n}_2|}\right)\)或其補(bǔ)角（范圍\([0^\circ,180^\circ]\)，需根據(jù)圖形判斷銳角/鈍角）。二、典型例題解析例4：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，棱長(zhǎng)為1，求異面直線\(A_1B\)與\(AC_1\)所成的角。分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求兩直線方向向量的夾角，取絕對(duì)值即為異面直線所成角。解答：建立坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(1,0,0)\)，\(C_1(1,1,1)\)，\(A_1(0,0,1)\)；方向向量：\(\overrightarrow{A_1B}=(1,0,-1)\)，\(\overrightarrow{AC_1}=(1,1,1)\)；點(diǎn)積：\(\overrightarrow{A_1B}\cdot\overrightarrow{AC_1}=1\times1+0\times1+(-1)\times1=0\)；故兩向量垂直，異面直線所成角為\(90^\circ\)?？偨Y(jié)：向量法求異面直線所成角的關(guān)鍵是“正確建立坐標(biāo)系”和“計(jì)算方向向量”，點(diǎn)積為0時(shí)直線垂直。三、專題訓(xùn)練習(xí)題基礎(chǔ)題（練習(xí)3-1）在長(zhǎng)方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，\(AB=2\)，\(BC=1\)，\(AA_1=3\)，求異面直線\(A_1B\)與\(AC\)所成的角。提升題（練習(xí)3-2）在三棱錐\(P-ABC\)中，\(PA\perp\)底面\(ABC\)，\(AB=AC=2\)，\(\angleBAC=90^\circ\)，\(PA=3\)，求二面角\(P-BC-A\)的大小。四、答案與解析練習(xí)3-1：坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(2,1,0)\)，\(A_1(0,0,3)\)；方向向量：\(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-3)\)，\(\overrightarrow{AC}=(2,1,0)\)；點(diǎn)積：\(2\times2+0\times1+(-3)\times0=4\)；模長(zhǎng)：\(|\overrightarrow{A_1B}|=\sqrt{2^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\)，\(|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2^2+1^2+0^2}=\sqrt{5}\)；余弦值：\(\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{13}\times\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{65}}{65}\)；夾角：\(\theta=\arccos\left(\frac{4\sqrt{65}}{65}\right)\)。練習(xí)3-2：坐標(biāo)系：\(A(0,0,0)\)，\(B(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(P(0,0,3)\)；平面\(ABC\)法向量：\(\vec{n}_1=(0,0,1)\)（\(PA\perp\)底面）；平面\(PBC\)法向量：\(\overrightarrow{PB}=(2,0,-3)\)，\(\overrightarrow{PC}=(0,2,-3)\)，\(\vec{n}_2=\overrightarrow{PB}\times\overrightarrow{PC}=(6,6,4)\)；點(diǎn)積：\(\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0\times6+0\times6+1\times4=4\)；模長(zhǎng)：\(|\vec{n}_1|=1\)，\(|\vec{n}_2|=\sqrt{6^2+6^2+4^2}=\sqrt{22}\)；余弦值：\(\cos\theta=\frac{4}{\sqrt{22}}=\frac{2\sqrt{22}}{11}\)；二面角：\(\theta=\arccos\left(\frac{2\sqrt{22}}{11}\right)\)（銳角，因\(PA\perp\)底面）。專題四空間幾何體的截面與展開(kāi)核心考點(diǎn)：截面形狀的判斷；表面最短路徑問(wèn)題（展開(kāi)圖）。一、知識(shí)點(diǎn)回顧1.截面：定義：平面與幾何體的交線圍成的平面圖形；性質(zhì)：截面與幾何體的面交于直線，截面形狀由平面與幾何體的相交位置決定（如正方體的截面可以是三角形、四邊形、五邊形、六邊形）。2.展開(kāi)圖：定義：將幾何體的表面沿棱剪開(kāi)，平鋪成平面圖形；應(yīng)用：求表面最短路徑（轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)直線段）。二、典型例題解析例5：在正方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，求經(jīng)過(guò)\(A,B_1,D_1\)三點(diǎn)的截面形狀。分析：連接三點(diǎn)，判斷平面與正方體的交線。\(A\)是底面頂點(diǎn)，\(B_1,D_1\)是頂面頂點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，故截面為三角形。解答：連接\(AB_1\)、\(B_1D_1\)、\(D_1A\)；由正方體性質(zhì)，\(AB_1=B_1D_1=D_1A=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}\)（棱長(zhǎng)為1）；故截面為等邊三角形?？偨Y(jié)：判斷截面形狀的關(guān)鍵是“找出平面與幾何體所有面的交線”，常用“延長(zhǎng)交線”或“連接頂點(diǎn)”法。例6：將棱長(zhǎng)為1的正方體表面展開(kāi)，求從\(A\)到