1.3勾股定理的應(yīng)用第一章

勾股定理【2025新教材】北師大版數(shù)學(xué)

八年級(jí)上冊(cè)

授課教師：********班級(jí)：********時(shí)間：********互逆命題、互逆定理教案一、教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能目標(biāo)理解互逆命題、互逆定理的概念，能準(zhǔn)確說出一個(gè)命題的逆命題。會(huì)判斷一個(gè)命題及它的逆命題的真假性，掌握證明命題真假的方法。過程與方法目標(biāo)通過對(duì)命題、逆命題的分析，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和語言表達(dá)能力。經(jīng)歷探究互逆定理的過程，體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，敢于質(zhì)疑、勇于探索的精神。讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)互逆命題、互逆定理的概念及命題真假的判斷。能正確寫出一個(gè)命題的逆命題。難點(diǎn)判斷一個(gè)命題的逆命題的真假性，理解原命題為真，其逆命題不一定為真。用邏輯推理的方法證明命題的真假。三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合四、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）展示一些簡(jiǎn)單的命題，如“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”，“如果a=b，那么a2=b2”。引導(dǎo)學(xué)生分析這些命題的題設(shè)和結(jié)論。提問：能否交換這些命題的題設(shè)和結(jié)論，得到新的命題？新命題是否成立？從而引出本節(jié)課的課題——互逆命題、互逆定理。（二）講授新課（25分鐘）互逆命題給出互逆命題的定義：在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論又是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)命題叫做它的逆命題。舉例說明：如原命題“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”，它的逆命題是“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”。讓學(xué)生進(jìn)一步理解互逆命題的概念。組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，每個(gè)小組寫出3-5個(gè)命題，并交換寫出它們的逆命題。命題真假的判斷引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)命題的真假。對(duì)于真命題，需要通過推理證明；對(duì)于假命題，只需舉一個(gè)反例即可。以剛才的命題為例，分析原命題和逆命題的真假性。如“如果兩個(gè)角是直角，那么這兩個(gè)角相等”是真命題，而它的逆命題“如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是直角”是假命題，因?yàn)閮蓚€(gè)相等的角不一定是直角，還可能是銳角或鈍角等。讓學(xué)生自己判斷之前小組討論中寫出的命題及其逆命題的真假性，并在小組內(nèi)交流?；ツ娑ɡ斫o出互逆定理的定義：如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個(gè)定理，這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理。舉例說明：如“兩直線平行，同位角相等”和“同位角相等，兩直線平行”是互逆定理。強(qiáng)調(diào)：并不是所有的定理都有逆定理，只有當(dāng)定理的逆命題為真命題時(shí)，才有逆定理。（三）例題講解（15分鐘）例1：寫出下列命題的逆命題，并判斷其真假。（1）如果a=0，那么ab=0。（2）全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。（3）等腰三角形的兩個(gè)底角相等。分析：（1）逆命題為“如果ab=0，那么a=0”，這是假命題，因?yàn)楫?dāng)b=0時(shí)，ab=0，a不一定為0。（2）逆命題為“對(duì)應(yīng)角相等的三角形是全等三角形”，這是假命題，因?yàn)閷?duì)應(yīng)角相等的三角形不一定全等，可能是相似三角形。（3）逆命題為“有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形”，這是真命題，它是等腰三角形的判定定理。例2：證明命題“如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等”是真命題。分析：引導(dǎo)學(xué)生畫出圖形，寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明。已知：在△ABC中，∠B=∠C。求證：AB=AC。證明：作∠BAC的平分線AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳D平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，AD=AD（公共邊），所以△ABD≌△ACD（AAS）。所以AB=AC。（四）課堂練習(xí)（10分鐘）寫出下列命題的逆命題，并判斷真假。（1）如果x=2，那么x2=4。（2）直角三角形的兩個(gè)銳角互余。（3）對(duì)頂角相等。判斷下列說法是否正確：（1）每個(gè)命題都有逆命題。（2）每個(gè)定理都有逆定理。（3）真命題的逆命題一定是真命題。（4）假命題的逆命題一定是假命題。（五）課堂小結(jié)（5分鐘）與學(xué)生一起回顧互逆命題、互逆定理的概念，以及如何判斷命題的真假。強(qiáng)調(diào)：原命題為真，逆命題不一定為真；原命題為假，逆命題也不一定為假。（六）布置作業(yè)（5分鐘）課本課后習(xí)題，要求學(xué)生認(rèn)真書寫解題過程，判斷命題真假時(shí)要說明理由。拓展作業(yè)：收集生活中或數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中至少兩個(gè)互逆命題，并分析它們的真假性。五、教學(xué)反思在教學(xué)過程中，要注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、主動(dòng)參與，通過實(shí)際例子幫助學(xué)生理解抽象的概念。對(duì)于學(xué)生在判斷命題真假和寫逆命題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，要及時(shí)給予糾正和指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，可以進(jìn)一步加強(qiáng)練習(xí)，提高學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。5課堂檢測(cè)4新知講解6變式訓(xùn)練7中考考法8小結(jié)梳理學(xué)習(xí)目錄1復(fù)習(xí)引入2新知講解3典例講解知識(shí)回顧1.勾股定理的內(nèi)容是什么？ABC直角三角形a2+b2=c22.勾股定理的逆定理是什么？a2+b2=c2直角三角形新知探索裝修工人李叔叔想檢測(cè)某塊裝修用磚（如圖）的邊AD

和邊BC

是否分別垂直于底邊AB。（1）如果李叔叔隨身只帶了卷尺，那么你能替他想辦法完成任務(wù)嗎？ABCD用卷尺分別測(cè)量

AD，DB，AB的長(zhǎng)，若

AD2+AB2＝DB2，則∠A＝90°，即AD⊥AB。（2）李叔叔測(cè)得邊

AD

長(zhǎng)30cm，邊

AB

長(zhǎng)40cm，點(diǎn)

B，D

之間的距離是50cm。邊

AD

垂直于邊

AB

嗎？ABCD∵

AD2+AB2＝302+402＝2500，DB2

＝502

＝2500，∴∠A＝90°，即AD⊥AB。所以邊

AD

垂直于邊

AB

。ABCD（3）如果李叔叔隨身只帶了一把長(zhǎng)度為20cm的刻度尺，那么他能檢驗(yàn)邊

AD

是否垂直于邊

AB

嗎？能檢驗(yàn)。在

AD上從

A

點(diǎn)量取12cm得點(diǎn)

E，在

AB

上從

A

點(diǎn)量取16cm得點(diǎn)

F。EF因?yàn)?22+162=202，用刻度尺測(cè)

EF

長(zhǎng)度，若

EF=20cm，根據(jù)勾股定理逆定理，AD⊥AB；若

EF≠20cm，則

AD不垂直

AB。嘗試·思考

如圖，正方形紙片

ABCD

的邊長(zhǎng)為8cm，點(diǎn)

E

是邊

AD

的中點(diǎn)，將這個(gè)正方形紙片翻折，使點(diǎn)

C

落到點(diǎn)E

處，折痕交邊

AB

于點(diǎn)

G，交邊CD于點(diǎn)

F。你能求出

DF

的長(zhǎng)嗎？ADBCGEFx48－x8－x解：∵點(diǎn)

E

是邊

AD

的中點(diǎn)，

設(shè)

DF=xcm，則

CF=EF=(8－x)cm，在Rt△DEF

中，DE2+DF2=EF2，則42+x2=(8－x)2，解得

x=3?！郉F的長(zhǎng)為3cm。今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊。問：水深、葭長(zhǎng)各幾何？(選自《九章算術(shù)》)例題BOCA題目大意：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，那么它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面。這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？解：設(shè)水池的水深

OA為

x尺，則蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度

OB為(x+1)尺。由于蘆葦位于水池中央，所以

AC為5尺。在Rt△OAC中，由勾股定理，可得

AC2+OA2=OC2，即52

+x2

=(x+1)2。解得

x=12。12

+

1=13。因此，水池的深度是12尺，蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度是13尺。BOCA隨堂練習(xí)【課本P14隨堂練習(xí)】1.五根小木棒的長(zhǎng)度分別是7cm，15cm，20cm，24cm，25cm，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，如圖所示的三個(gè)

圖形中哪個(gè)是正確的？151520252420777242520242515（1）（2）（3）72+242=252152+202=252（2）正確能力提升1.如圖，港口P

位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時(shí)離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙輪船每小時(shí)分別航行12

nmile和16

n

mile，1h后兩船分別位于點(diǎn)A，B處，且相距20

nmile，已知甲船沿北偏西40°方向航行，則乙船沿___________方向航行。北偏東50°2.如圖為甲工廠生產(chǎn)的某零件結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化示意圖。在△ABC中，AB邊上的垂直平分線DE與AB，AC分別交于點(diǎn)D，E，CB2＝AE2－CE2，根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)，該零件需滿足AC⊥BC。（1）判斷該零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)，并說明理由；（2）若量出AC＝4

cm，BC＝3cm，求CE的長(zhǎng)。解:（1）該零件符合安全標(biāo)準(zhǔn)，理由如下:如圖，連接BE。因?yàn)镈E是線段AB

的垂直平分線，所以AE＝BE。因?yàn)镃B2＝AE2－CE2，所以CB2＝BE2－CE2，所以CB2＋CE2＝BE2，所以△BCE是直角三角形，且∠C＝90°，所以AC

⊥