3.4函數(shù)的應(yīng)用(Ⅱ)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.掌握常見(jiàn)增長(zhǎng)函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)，并體會(huì)其增長(zhǎng)快慢；理解直線上升，對(duì)數(shù)增長(zhǎng)，指數(shù)爆炸的含義.2.會(huì)分析具體的實(shí)際問(wèn)題，建模解決實(shí)際問(wèn)題.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增圖象的變化隨x增大逐漸變陡隨x增大逐漸變緩隨n值而不同2.三種函數(shù)的增長(zhǎng)速度比較(1)在區(qū)間(0，＋∞)上，函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但增長(zhǎng)速度不同，且不在同一個(gè)“檔次”上.(2)在區(qū)間(0，＋∞)上隨著x的增大，y＝ax(a＞1)增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢.(3)存在一個(gè)x0，使得當(dāng)x＞x0時(shí)，有l(wèi)ogax＜xn＜ax.要點(diǎn)一函數(shù)模型的增長(zhǎng)差異例1(1)當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)該是()A.y＝10000x B.y＝log2xC.y＝x1000 D.y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x(2)四個(gè)變量y1，y2，y3，y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表：x151015202530y1226101226401626901y22321024327681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是________.答案(1)D(2)y2解析(1)由于指數(shù)型函數(shù)的增長(zhǎng)是爆炸式增長(zhǎng)，則當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(e,2)))x增長(zhǎng)速度最快.(2)以爆炸式增長(zhǎng)的變量是呈指數(shù)函數(shù)變化的.從表格中可以看出，四個(gè)變量y1，y2，y3，y4均是從2開(kāi)始變化，變量y1，y2，y3，y4都是越來(lái)越大，但是增長(zhǎng)速度不同，其中變量y2的增長(zhǎng)速度最快，可知變量y2關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化.規(guī)律方法在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函數(shù)，但它們的增長(zhǎng)速度不同，而且不在同一個(gè)“檔次”上.隨著x的增大，y＝ax(a＞1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xn(n＞0)的增長(zhǎng)速度，而y＝logax(a＞1)的增長(zhǎng)速度則會(huì)越來(lái)越慢，總會(huì)存在一個(gè)x0，當(dāng)x＞x0，就有l(wèi)ogax＜xn＜ax.跟蹤演練1如圖給出了紅豆生長(zhǎng)時(shí)間t(月)與枝數(shù)y(枝)的散點(diǎn)圖，那么最能擬合詩(shī)句“紅豆生南國(guó)，春來(lái)發(fā)幾枝”所提到的紅豆生長(zhǎng)時(shí)間與枝數(shù)的關(guān)系的函數(shù)模型是()A.指數(shù)函數(shù)：y＝2t B.對(duì)數(shù)函數(shù)：y＝log2tC.冪函數(shù)：y＝t3 D.二次函數(shù)：y＝2t2答案A解析由題中圖象可知，該函數(shù)模型為指數(shù)函數(shù).要點(diǎn)二幾種函數(shù)模型的比較例2某汽車(chē)制造商在2013年初公告：隨著金融危機(jī)的解除，公司計(jì)劃2013年生產(chǎn)目標(biāo)定為43萬(wàn)輛.已知該公司近三年的汽車(chē)生產(chǎn)量如下表所示：年份201020112012產(chǎn)量8(萬(wàn))18(萬(wàn))30(萬(wàn))如果我們分別將2010,2011,2012,2013定義為第一、二、三、四年.現(xiàn)在你有兩個(gè)函數(shù)模型：二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，哪個(gè)模型能更好地反映該公司年銷(xiāo)量y與年份x的關(guān)系？解建立年銷(xiāo)量y與年份x的函數(shù)，可知函數(shù)必過(guò)點(diǎn)(1,8)，(2,18)，(3,30).(1)構(gòu)造二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝8，,4a＋2b＋c＝18，,9a＋3b＋c＝30，))解得a＝1，b＝7，c＝0，則f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，與計(jì)劃誤差為1.(2)構(gòu)造指數(shù)函數(shù)模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)，將點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝8，,ab2＋c＝18，,ab3＋c＝30，))解得a＝eq\f(125,3)，b＝eq\f(6,5)，c＝－42.則g(x)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))x－42，故g(4)＝eq\f(125,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))4－42＝44.4，與計(jì)劃誤差為1.4.由(1)(2)可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映該公司年銷(xiāo)量y與年份x的關(guān)系.規(guī)律方法1.此類(lèi)問(wèn)題求解的關(guān)鍵是首先利用待定系數(shù)法求出相關(guān)函數(shù)模型，也就是借助數(shù)據(jù)信息，得到相關(guān)方程，進(jìn)而求出待定參數(shù).2.理解“模型能更好反映該公司年銷(xiāo)量y與年份x的關(guān)系”的含義，在此基礎(chǔ)上利用既定值來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷膬?yōu)劣.跟蹤演練2函數(shù)f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的圖象如圖.(1)指出C1，C2分別對(duì)應(yīng)圖中哪一個(gè)函數(shù)；(2)比較兩函數(shù)的增長(zhǎng)差異(以兩圖象交點(diǎn)為分界點(diǎn)，對(duì)f(x)，g(x)的大小進(jìn)行比較).解(1)由函數(shù)圖象特征及變化趨勢(shì)，知曲線C1對(duì)應(yīng)的函數(shù)為g(x)＝0.3x－1，曲線C2對(duì)應(yīng)的函數(shù)為f(x)＝lgx，(2)當(dāng)x∈(0，x1)時(shí)，g(x)＞f(x)；當(dāng)x∈(x1，x2)時(shí)，g(x)＜f(x)；當(dāng)x∈(x2，＋∞)時(shí)，g(x)＞f(x).函數(shù)g(x)＝0.3x－1呈直線增長(zhǎng)，函數(shù)f(x)隨著x的逐漸增大，其函數(shù)值變化的越來(lái)越慢，為“蝸牛式”增長(zhǎng).1.當(dāng)x越來(lái)越大時(shí)，下列函數(shù)中，增長(zhǎng)速度最快的應(yīng)該是()A.y＝100x B.y＝log100xC.y＝x100 D.y＝100x答案D解析幾種函數(shù)模型中，指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)最快，故選D.2.當(dāng)2＜x＜4時(shí)，2x，x2，log2x的大小關(guān)系是()A.2x＞x2＞log2x B.x2＞2x＞log2xC.2x＞log2x＞x2 D.x2＞log2x＞2x答案B解析方法一在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)y＝log2x，y＝x2，y＝2x，在區(qū)間(2,4)上從上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的圖象，所以x2＞2x＞log2x.方法二比較三個(gè)函數(shù)值的大小，作為選擇題，可以采用特殊值代入法.可取x＝3，經(jīng)檢驗(yàn)易知選B.3.某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長(zhǎng)10.4%，要增長(zhǎng)到原來(lái)的x倍，需經(jīng)過(guò)y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是()答案D解析設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意，ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，∴y＝f(x)的圖象大致為D中圖象.4.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y＝alog2(x＋1)，設(shè)這種動(dòng)物第一年有100只，到第7年它們發(fā)展到()A.300只 B.400只C.500只 D.600只答案A解析由已知第一年有100只，得a＝100.將a＝100，x＝7代入y＝alog2(x＋1)，得y＝300.5.某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為_(kāi)_______.答案y＝－eq\f(1,4)x＋50(0＜x＜200).解析設(shè)解析式為y＝kx＋b(k≠0)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(30＝k×80＋b，,20＝k×120＋b，))解得k＝－eq\f(1,4)，b＝