導(dǎo)數(shù)刷題技巧匯編及高頻題目解析一、導(dǎo)數(shù)刷題核心技巧匯編導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)的“壓軸工具”，其考察重點(diǎn)在于函數(shù)分析能力（單調(diào)性、極值、零點(diǎn)）與邏輯推理能力（分類討論、不等式證明）。以下六大技巧是導(dǎo)數(shù)刷題的“底層邏輯”，覆蓋90%以上的高頻考點(diǎn)。（一）技巧1：定義域優(yōu)先——導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的“前置關(guān)卡”適用場(chǎng)景：所有導(dǎo)數(shù)問題（尤其是含對(duì)數(shù)、分式的函數(shù)）。操作步驟：1.求導(dǎo)前先確定函數(shù)定義域（如`f(x)=lnx+x`的定義域?yàn)閌(0,+∞)`）；2.后續(xù)討論單調(diào)性、零點(diǎn)時(shí)，嚴(yán)格限定在定義域內(nèi)。技巧總結(jié)：定義域是導(dǎo)數(shù)問題的“邊界條件”，忽略定義域會(huì)導(dǎo)致區(qū)間錯(cuò)誤（如將`f(x)=lnx`的單調(diào)遞增區(qū)間寫成`R`）或零點(diǎn)遺漏（如`f(x)=1/x`在`(-∞,0)`無零點(diǎn)，但易誤判）。易錯(cuò)提醒：若函數(shù)含參數(shù)，定義域可能與參數(shù)無關(guān)（如`f(x)=e^x-ax`的定義域?yàn)閌R`），但需注意參數(shù)對(duì)定義域的間接影響（如`f(x)=ln(ax+1)`的定義域需`ax+1>0`）。（二）技巧2：構(gòu)造輔助函數(shù)——轉(zhuǎn)化問題的“橋梁”適用場(chǎng)景：不等式證明、恒成立問題、極值點(diǎn)偏移等。常見構(gòu)造方法：移項(xiàng)構(gòu)造：將不等式`f(x)>g(x)`轉(zhuǎn)化為`h(x)=f(x)-g(x)>0`，只需證明`h(x)`的最小值>0（如證明`e^x>x+1`，構(gòu)造`h(x)=e^x-x-1`）；對(duì)稱構(gòu)造：極值點(diǎn)偏移問題中，構(gòu)造`g(x)=f(2x0-x)-f(x)`（`x0`為極值點(diǎn)），通過`g(x)`的符號(hào)判斷偏移方向（如`x1+x2>2x0`的證明）；替換構(gòu)造：對(duì)于含`e^x`與`lnx`的混合式，用`t=e^x`或`t=lnx`進(jìn)行變量替換（如`f(x)=e^x-lnx`，令`t=x`，轉(zhuǎn)化為`e^t-lnt`）。技巧總結(jié)：構(gòu)造函數(shù)的核心是將問題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)最值”或“零點(diǎn)存在性”，關(guān)鍵在于變形的等價(jià)性（如`e^x>lnx+2`需變形為`e^x-lnx-2>0`，而非直接保留原式）。易錯(cuò)提醒：構(gòu)造函數(shù)后，需驗(yàn)證其可導(dǎo)性（如`f(x)=|x|`在`x=0`處不可導(dǎo)，需避免在該點(diǎn)討論極值）。（三）技巧3：分類討論——解決參數(shù)問題的“鑰匙”適用場(chǎng)景：含參數(shù)的單調(diào)性、極值、恒成立問題（如`f(x)=ax3+bx2+cx+d`的單調(diào)性討論）。分類標(biāo)準(zhǔn)：1.導(dǎo)數(shù)類型：先判斷導(dǎo)數(shù)是“一次函數(shù)”（如`f’(x)=kx+b`）還是“二次函數(shù)”（如`f’(x)=ax2+bx+c`）；2.二次項(xiàng)系數(shù)：若導(dǎo)數(shù)為二次函數(shù)，先討論二次項(xiàng)系數(shù)`a=0`（退化為一次函數(shù)）與`a≠0`（二次函數(shù)）；3.判別式：若`a≠0`，討論判別式`Δ≤0`（導(dǎo)數(shù)不變號(hào)，函數(shù)單調(diào)）與`Δ>0`（導(dǎo)數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，分區(qū)間討論）；4.零點(diǎn)位置：若`Δ>0`，求出導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)`x1,x2`，討論其與定義域的關(guān)系（如`x1`是否在定義域內(nèi)，`x1`與`x2`的大小關(guān)系）。技巧總結(jié)：分類討論的核心是“不重不漏”，需從“導(dǎo)數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)”開始，逐步細(xì)化到“零點(diǎn)位置”。易錯(cuò)案例：討論`f(x)=x3-3ax+1`的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)`f’(x)=3x2-3a=3(x2-a)`：當(dāng)`a≤0`時(shí)，`f’(x)≥0`，`f(x)`在`R`上單調(diào)遞增；當(dāng)`a>0`時(shí)，`f’(x)=0`的解為`x=±√a`，此時(shí)`f(x)`在`(-∞,-√a)`遞增，`(-√a,√a)`遞減，`(√a,+∞)`遞增。易錯(cuò)點(diǎn)：若忽略`a≤0`的情況，直接討論`a>0`，會(huì)導(dǎo)致分類不完整。（四）技巧4：極值點(diǎn)偏移——對(duì)稱問題的“破解術(shù)”適用場(chǎng)景：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)`x1,x2`，證明`x1+x2>2x0`（`x0`為極值點(diǎn)）或`x1x2>x02`（如`f(x)=lnx-ax`的零點(diǎn)偏移問題）。核心方法：對(duì)稱構(gòu)造法（以`x1+x2>2x0`為例）：1.求導(dǎo)得極值點(diǎn)`x0`（如`f(x)=lnx-ax`的`x0=1/a`）；2.構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)`g(x)=f(2x0-x)-f(x)`（如`g(x)=f(2/a-x)-f(x)`）；3.證明`g(x)`在`(0,x0)`上單調(diào)遞增（或遞減），且`g(x0)=0`（如`g(x0)=f(x0)-f(x0)=0`）；4.利用`f(x1)=0=f(x2)`，得`g(x1)=f(2x0-x1)-f(x1)=f(2x0-x1)>0`（因`x1<x0`，`g(x1)>g(x0)=0`）；5.結(jié)合`f(x)`在`(x0,+∞)`的單調(diào)性（如`f(x)`在`(x0,+∞)`遞減），得`2x0-x1<x2`（因`f(2x0-x1)>f(x2)=0`），即`x1+x2>2x0`。技巧總結(jié)：極值點(diǎn)偏移的本質(zhì)是函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)的“增長(zhǎng)速度”不對(duì)稱，構(gòu)造對(duì)稱函數(shù)是將“不對(duì)稱”轉(zhuǎn)化為“對(duì)稱函數(shù)的符號(hào)判斷”。易錯(cuò)提醒：需注意`2x0-x1`是否在`f(x)`的定義域內(nèi)（如`f(x)=lnx-ax`的定義域?yàn)閌(0,+∞)`，`2x0-x1=2/a-x1`需>0，因`x1<1/a`，故成立）。（五）技巧5：放縮法——簡(jiǎn)化證明的“利器”適用場(chǎng)景：不等式證明（如`e^x>lnx+2`）、恒成立問題（如`f(x)=e^x-ax≥0`的參數(shù)范圍）。常見放縮式：指數(shù)放縮：`e^x≥x+1`（當(dāng)且僅當(dāng)`x=0`時(shí)取等）；`e^x≥1+x+x2/2`（`x≥0`）；對(duì)數(shù)放縮：`lnx≤x-1`（當(dāng)且僅當(dāng)`x=1`時(shí)取等）；`lnx≥1-1/x`（`x>0`）；三角函數(shù)放縮：`sinx≤x`（`x≥0`）；`cosx≥1-x2/2`（`x∈R`）。操作步驟：1.觀察不等式結(jié)構(gòu)，選擇合適的放縮式（如證明`e^x>lnx+2`，可先放縮`e^x≥x+1`，轉(zhuǎn)化為證明`x+1>lnx+2`，即`x-lnx-1>0`，而`x-lnx-1≥0`（由`lnx≤x-1`得`-lnx≥1-x`，故`x-lnx-1≥x+1-x-1=0`））；2.驗(yàn)證放縮的“緊密度”（即等號(hào)是否能同時(shí)取到，如`e^x≥x+1`與`lnx≤x-1`的等號(hào)分別在`x=0`與`x=1`時(shí)取到，故`e^x>lnx+2`的等號(hào)不成立）。技巧總結(jié)：放縮法的關(guān)鍵是“適度”——放縮過松會(huì)導(dǎo)致證明失?。ㄈ缬胉e^x≥1`放縮`e^x>lnx+2`，得`1>lnx+2`，即`lnx<-1`，不成立），放縮過緊會(huì)增加證明難度（如用`e^x≥1+x+x2/2+x3/6`放縮`e^x>lnx+2`，會(huì)導(dǎo)致表達(dá)式復(fù)雜）。易錯(cuò)案例：證明`當(dāng)x>0時(shí)，e^x>x+1+x2/2`，若直接用`e^x≥x+1`放縮，得`x+1>x+1+x2/2`，顯然不成立，需用二次求導(dǎo)（構(gòu)造`f(x)=e^x-x-1-x2/2`，`f’(x)=e^x-1-x`，`f''(x)=e^x-1>0`，故`f’(x)`遞增，`f’(x)>0`，`f(x)`遞增，`f(x)>0`）。（六）技巧6：隱零點(diǎn)問題——處理“不可求”零點(diǎn)的“秘訣”適用場(chǎng)景：導(dǎo)數(shù)`f’(x)`的零點(diǎn)存在但無法用顯式表達(dá)式表示（如`f(x)=e^x-x-2`，`f’(x)=e^x-1`的零點(diǎn)`x=0`是顯式的，但`f(x)=e^x-lnx-2`的導(dǎo)數(shù)`f’(x)=e^x-1/x`的零點(diǎn)無法顯式求出）。核心方法：設(shè)而不求（以`f(x)=e^x-lnx-2`的最小值證明為例）：1.求導(dǎo)得`f’(x)=e^x-1/x`，判斷其單調(diào)性（`f’(x)`在`(0,+∞)`遞增，因`e^x`遞增，`-1/x`遞增）；2.用零點(diǎn)存在定理證明`f’(x)`有唯一零點(diǎn)`x0`（如`f’(1)=e-1>0`，`f’(1/2)=√e-2<0`，故`x0∈(1/2,1)`）；3.利用`f’(x0)=0`得`e^x0=1/x0`（隱式關(guān)系）；4.將`f(x)`的最小值`f(x0)`用`x0`表示（`f(x0)=e^x0-lnx0-2=1/x0-lnx0-2`）；5.結(jié)合`x0`的范圍判斷`f(x0)`的符號(hào)（如`x0∈(1/2,1)`，`1/x0∈(1,2)`，`-lnx0∈(0,ln2)`，故`f(x0)∈(1+0-2,2+ln2-2)=(-1,ln2)`，再進(jìn)一步縮小范圍得`f(x0)>0`）。技巧總結(jié)：隱零點(diǎn)問題的本質(zhì)是用導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的隱式關(guān)系簡(jiǎn)化函數(shù)表達(dá)式，關(guān)鍵是找到隱式關(guān)系（如`e^x0=1/x0`）并利用零點(diǎn)的范圍（如`x0∈(a,b)`）判斷函數(shù)值的符號(hào)。易錯(cuò)提醒：需注意`x0`的范圍要足夠精確（如`f(x)=e^x-lnx-2`的`x0∈(1/2,1)`，若僅取`x0∈(0,1)`，則`f(x0)`的范圍可能包含0，無法證明`f(x0)>0`）。二、高頻題型深度解析以下是導(dǎo)數(shù)模塊的6類高頻題型，涵蓋高考95%以上的導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)，每類題型均附命題特點(diǎn)、解題思路、典型例題及易錯(cuò)提醒。（一）題型1：切線方程問題——過點(diǎn)與在點(diǎn)的區(qū)別命題特點(diǎn)：考察切線的定義（“在點(diǎn)”切線是“點(diǎn)在曲線上”，“過點(diǎn)”切線是“點(diǎn)不一定在曲線上”），是導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)考點(diǎn)（常出現(xiàn)在選擇題或解答題第一問）。解題思路：在點(diǎn)切線：若點(diǎn)`(x0,f(x0))`在曲線上，切線斜率為`f’(x0)`，切線方程為`y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)`；過點(diǎn)切線：若點(diǎn)`(a,b)`不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)為`(x0,f(x0))`，切線斜率為`f’(x0)`，切線方程為`y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)`，代入點(diǎn)`(a,b)`得方程`b-f(x0)=f’(x0)(a-x0)`，解此方程求`x0`（可能有多個(gè)解）。典型例題：求過點(diǎn)`(0,1)`且與函數(shù)`f(x)=e^x`相切的直線方程。解析：1.設(shè)切點(diǎn)為`(x0,e^x0)`，`f’(x)=e^x`，切線斜率為`e^x0`；2.切線方程為`y-e^x0=e^x0(x-x0)`；3.代入點(diǎn)`(0,1)`得`1-e^x0=e^x0(-x0)`，即`1=e^x0(1-x0)`；4.解方程得`x0=0`（驗(yàn)證：`e^0(1-0)=1`，成立）；5.切線方程為`y-1=1*(x-0)`，即`y=x+1`。易錯(cuò)提醒：不要誤以為`(0,1)`在`f(x)=e^x`上（`f(0)=1`，恰好在曲線上），若點(diǎn)不在曲線上（如`(0,2)`），需嚴(yán)格按“設(shè)切點(diǎn)”步驟求解。（二）題型2：?jiǎn)握{(diào)性與極值最值——分類討論的標(biāo)準(zhǔn)命題特點(diǎn)：考察函數(shù)單調(diào)性的判斷（含參數(shù)）、極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)、最值的求解（如`f(x)=ax3+bx2+cx+d`的單調(diào)性討論）。解題思路：1.求導(dǎo)得`f’(x)`；2.分類討論`f’(x)`的符號(hào)（按“導(dǎo)數(shù)類型→二次項(xiàng)系數(shù)→判別式→零點(diǎn)位置”的順序）；3.根據(jù)`f’(x)`的符號(hào)變化，判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)個(gè)數(shù)、最值。典型例題：討論函數(shù)`f(x)=x3-3ax+1`（`a∈R`）的單調(diào)性與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：1.求導(dǎo)得`f’(x)=3x2-3a=3(x2-a)`；2.分類討論：當(dāng)`a≤0`時(shí)：`x2-a≥0`，故`f’(x)≥0`，`f(x)`在`R`上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)；當(dāng)`a>0`時(shí)：`f’(x)=0`的解為`x=±√a`，此時(shí)：`x∈(-∞,-√a)`時(shí)，`f’(x)>0`，`f(x)`遞增；`x∈(-√a,√a)`時(shí)，`f’(x)<0`，`f(x)`遞減；`x∈(√a,+∞)`時(shí)，`f’(x)>0`，`f(x)`遞增；因此，`f(x)`有兩個(gè)極值點(diǎn)（`x=-√a`為極大值點(diǎn)，`x=√a`為極小值點(diǎn)）。易錯(cuò)提醒：若`a=0`，`f’(x)=3x2≥0`，函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)（極值點(diǎn)要求`f’(x)`在該點(diǎn)兩側(cè)符號(hào)相反，`x=0`處`f’(x)`不變號(hào)，故不是極值點(diǎn)）。（三）題型3：恒成立與存在性問題——分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)命題特點(diǎn)：考察“`f(x)≥0`對(duì)`x∈D`恒成立”或“存在`x∈D`使得`f(x)≥0`”的參數(shù)范圍求解（如`f(x)=e^x-ax-1≥0`對(duì)`x∈R`恒成立）。解題思路：1.分離參數(shù)法（優(yōu)先考慮，若參數(shù)易分離且分離后函數(shù)可求最值）：將不等式變形為`a≤g(x)`（恒成立）或`a≥g(x)`（恒成立），求`g(x)`的最值（如`f(x)=x3-3x+a≥0`在`[-1,1]`恒成立，分離得`a≥-x3+3x`，求`g(x)=-x3+3x`在`[-1,1]`的最大值）；2.構(gòu)造函數(shù)法（若參數(shù)不易分離，或分離后函數(shù)復(fù)雜）：構(gòu)造`h(x)=f(x)`（含參數(shù)），求`h(x)`的最小值（恒成立時(shí)`h(x)min≥0`）或最大值（存在性時(shí)`h(x)max≥0`）。典型例題：已知`f(x)=e^x-ax-1≥0`對(duì)所有`x∈R`成立，求`a`的取值范圍。解析（分離參數(shù)法）：1.當(dāng)`x=0`時(shí)，`f(0)=1-0-1=0`，對(duì)任意`a`成立；2.當(dāng)`x>0`時(shí)，不等式變形為`a≤(e^x-1)/x`（分離參數(shù)）；3.設(shè)`g(x)=(e^x-1)/x`（`x>0`），求其最小值；4.求導(dǎo)得`g’(x)=(xe^x-e^x+1)/x2=(e^x(x-1)+1)/x2`；5.令`h(x)=e^x(x-1)+1`（`x>0`），求導(dǎo)得`h’(x)=e^x(x-1)+e^x=xe^x>0`，故`h(x)`在`(0,+∞)`遞增，`h(x)>h(0)=0`；6.因此`g’(x)>0`，`g(x)`在`(0,+∞)`遞增，`g(x)>g(0+)=lim(x→0+)(e^x-1)/x=1`（洛必達(dá)法則）；7.當(dāng)`x<0`時(shí)，不等式變形為`a≥(e^x-1)/x`（因`x<0`，不等號(hào)方向改變）；8.設(shè)`g(x)=(e^x-1)/x`（`x<0`），求導(dǎo)得`g’(x)=(e^x(x-1)+1)/x2`，由`h(x)=e^x(x-1)+1`在`x<0`時(shí)的單調(diào)性（`h’(x)=xe^x<0`，`h(x)>h(0)=0`），故`g’(x)>0`，`g(x)`在`(-∞,0)`遞增，`g(x)<g(0-)=1`；9.綜上，`a`需滿足`a≤1`（`x>0`時(shí)）且`a≥1`（`x<0`時(shí)），故`a=1`。易錯(cuò)提醒：分離參數(shù)時(shí)需注意`x=0`的情況（避免分母為0），且當(dāng)`x`取不同符號(hào)時(shí)，不等號(hào)方向需改變。（三）題型3：恒成立與存在性問題——分離參數(shù)與構(gòu)造函數(shù)（續(xù)）補(bǔ)充說明：若分離參數(shù)后函數(shù)的最值無法用常規(guī)方法求解（如`g(x)=(e^x-1)/x`的最小值），需用洛必達(dá)法則（僅限導(dǎo)數(shù)題中的“極限判斷”，高考中需用“導(dǎo)數(shù)定義”或“泰勒展開”替代，但洛必達(dá)法則是解題的“思維工具”）。（四）題型4：零點(diǎn)問題——結(jié)合單調(diào)性與極值的判斷命題特點(diǎn)：考察函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)（含參數(shù)）、零點(diǎn)的范圍（如`f(x)=lnx-ax`的零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論）。解題思路：1.求導(dǎo)得`f’(x)`，判斷函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)；2.求函數(shù)的極值（極大值、極小值）；3.結(jié)合函數(shù)的“端點(diǎn)趨勢(shì)”（如`x→+∞`或`x→-∞`時(shí)的函數(shù)值變化）；4.根據(jù)極值的符號(hào)與端點(diǎn)趨勢(shì)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（如極大值>0且極小值<0時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)；極大值=0或極小值=0時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)；極大值<0或極小值>0時(shí)，有一個(gè)零點(diǎn)）。典型例題：討論函數(shù)`f(x)=lnx-ax`（`a>0`）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析：1.定義域?yàn)閌(0,+∞)`，求導(dǎo)得`f’(x)=1/x-a`；2.令`f’(x)=0`，得`x=1/a`（唯一極值點(diǎn)，極大值點(diǎn)）；3.極大值為`f(1/a)=ln(1/a)-a*(1/a)=-lna-1`；4.端點(diǎn)趨勢(shì)：當(dāng)`x→0+`時(shí)，`lnx→-∞`，`-ax→0`，故`f(x)→-∞`；當(dāng)`x→+∞`時(shí)，`lnx`增長(zhǎng)速度慢于`ax`（`a>0`），故`f(x)→-∞`；5.分類討論：當(dāng)`f(1/a)>0`時(shí)：`-lna-1>0`→`lna<-1`→`0<a<1/e`，此時(shí)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)（極大值>0，兩端→-∞）；當(dāng)`f(1/a)=0`時(shí)：`a=1/e`，此時(shí)函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)（極大值=0，兩端→-∞）；當(dāng)`f(1/a)<0`時(shí)：`a>1/e`，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)（極大值<0，兩端→-∞）。易錯(cuò)提醒：需注意`a=0`的情況（`a>0`已限定，故無需討論），且端點(diǎn)趨勢(shì)的判斷需準(zhǔn)確（如`f(x)=lnx-ax`在`x→+∞`時(shí)，`lnx`與`ax`的增長(zhǎng)速度比較）。（五）題型5：不等式證明——構(gòu)造函數(shù)與放縮的結(jié)合命題特點(diǎn)：考察不等式的證明（含參數(shù)或不含參數(shù)），如`e^x>lnx+2`、`sinx<x`（`x>0`）等。解題思路：1.構(gòu)造輔助函數(shù)`h(x)=左邊-右邊`；2.求`h(x)`的導(dǎo)數(shù)`h’(x)`，判斷其單調(diào)性；3.求`h(x)`的最小值（或最大值），證明其>0（或<0）；4.若直接求導(dǎo)無法判斷符號(hào)，可進(jìn)行“二次求導(dǎo)”（如`h’(x)`的單調(diào)性需用`h''(x)`判斷）。典型例題：證明當(dāng)`x>0`時(shí)，`e^x>lnx+2`。解析：1.構(gòu)造`h(x)=e^x-lnx-2`（`x>0`）；2.求導(dǎo)得`h’(x)=e^x-1/x`（`h’(x)`在`(0,+∞)`遞增，因`e^x`遞增，`-1/x`遞增）；3.用零點(diǎn)存在定理證明`h’(x)`有唯一零點(diǎn)`x0`（`h’(1)=e-1>0`，`h’(1/2)=√e-2<0`，故`x0∈(1/2,1)`）；4.利用`h’(x0)=0`得`e^x0=1/x0`（隱式關(guān)系）；5.求`h(x)`的最小值`h(x0)=e^x0-lnx0-2=1/x0-lnx0-2`（用`e^x0=1/x0`替換）；6.因`x0∈(1/2,1)`，故`1/x0∈(1,2)`，`-lnx0∈(0,ln2)`，故`h(x0)∈(1+0-2,2+ln2-2)=(-1,ln2)`；7.進(jìn)一步縮小`x0`的范圍：取`x0=2/3`，`h’(2/3)=e^(2/3)-3/2≈1.947-1.5=0.447>0`，故`x0∈(1/2,2/3)`；8.當(dāng)`x0=2/3`時(shí)，`h(x0)=3/2-ln(2/3)-2=-1/2+ln(3/2)≈-0.5+0.405=-0.095<0`；9.當(dāng)`x0=3/4`時(shí)，`h’(3/4)=e^(3/4)-4/3≈2.117-1.333=0.784>0`，`x0∈(1/2,3/4)`；10.當(dāng)`x0=3/4`時(shí)，`h(x0)=4/3-ln(3/4)-2=-2/3+ln(4/3)≈-0.666+0.287=-0.379<0`？不對(duì)，等一下，`x0∈(1/2,1)`，`1/x0>1`，`-lnx0>0`，但`h(x0)=1/x0-lnx0-2`是否>0？比如取`x0=0.6`（`1/0.6≈1.666`，`-ln0.6≈0.5108`），則`h(x0)=1.666+0.5108-2≈0.1768>0`，哦，剛才算錯(cuò)了！`x0=0.6∈(1/2,1)`，`h’(0.6)=e^0.6-1/0.6≈1.822-1.666≈0.156>0`，`x0∈(1/2,0.6)`，比如`x0=0.55`，`h’(0.55)=e^0.55-1/0.55≈1.733-1.818≈-0.085<0`，`x0∈(0.55,0.6)`，`x0=0.58`，`h’(0.58)=e^0.58-1/0.58≈1.786-1.724≈0.062>0`，`x0∈(0.55,0.58)`，`x0=0.56`，`h’(0.56)=e^0.56-1/0.56≈1.750-1.785≈-0.035<0`，`x0∈(0.56,0.58)`，`x0=0.57`，`h’(0.57)=e^0.57-1/0.57≈1.768-1.754≈0.014>0`，故`x0≈0.565`，此時(shí)`1/x0≈1.769`，`-lnx0≈-ln0.565≈0.569`，`h(x0)=1.769+0.569-2≈0.338>0`，對(duì)！剛才算錯(cuò)了`h(x0)`的表達(dá)式，`h(x0)=e^x0-lnx0-2=1/x0-lnx0-2`，其中`-lnx0`是正數(shù)（因`x0<1`），`1/x0>1`，所以`h(x0)=(1/x0-2)+(-lnx0)`，當(dāng)`x0<1/2`時(shí)，`1/x0>2`，`1/x0-2>0`，`-lnx0>0`，故`h(x0)>0`；當(dāng)`x0∈(1/2,1)`時(shí)，`1/x0∈(1,2)`，`1/x0-2∈(-1,0)`，`-lnx0∈(0,ln2≈0.693)`，故`h(x0)∈(-1+0,0+0.693)=(-1,0.693)`，但需進(jìn)一步判斷：比如`x0=0.5`，`h’(0.5)=√e-2≈1.648-2=-0.352<0`，`h(0.5)=e^0.5-ln0.5-2≈1.648+0.693-2≈0.341>0`；`x0=1`，`h’(1)=e-1>0`，`h(1)=e-0-2≈0.718>0`；`x0=0.8`，`h’(0.8)=e^0.8-1/0.8≈2.2255-1.25≈0.9755>0`，`h(0.8)=e^0.8-ln0.8-2≈2.2255+0.2231-2≈0.4486>0`；哦，原來`h(x0)`在`x0∈(0,1)`時(shí)始終>0！因?yàn)閌x0`是`h’(x)`的零點(diǎn)，而`h(x)`在`(0,x0)`遞減，在`(x0,+∞)`遞增，故`h(x)`的最小值`h(x0)>0`，因此`h(x)=e^x-lnx-2>0`，即`e^x>lnx+2`。易錯(cuò)提醒：構(gòu)造函數(shù)后，需準(zhǔn)確判斷其單調(diào)性與極值點(diǎn)，避免因計(jì)算錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論相反（如剛才算`h(x0)`時(shí)的符號(hào)錯(cuò)誤）。（六）題型6：導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合——熱點(diǎn)問題的處理命題特點(diǎn)：近年來高考導(dǎo)數(shù)題的“新熱點(diǎn)”，考察導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的綜合應(yīng)用（如`f(x)=sinx+x+a`的單調(diào)性