高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)系統(tǒng)梳理及練習(xí)題引言高一數(shù)學(xué)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)框架，涵蓋集合、函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列五大核心模塊，既是后續(xù)高二、高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的鋪墊，也是培養(yǎng)邏輯思維、抽象能力的關(guān)鍵階段。本文將對高一數(shù)學(xué)知識點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)梳理，并配套分層練習(xí)題（基礎(chǔ)題、中檔題、提高題），幫助同學(xué)們鞏固概念、掌握方法、提升解題能力。第二章集合（數(shù)學(xué)的語言與工具）2.1集合的概念與表示集合的定義：由確定（元素明確）、互異（無重復(fù)元素）、無序（元素順序無關(guān)）的元素組成的整體，記作$\{a,b,c\}$。元素與集合的關(guān)系：屬于（$\in$）或不屬于（$\notin$），如$1\in\mathbb{N}$，$0\notin\mathbb{N}^*$。集合的表示方法：列舉法：$\{1,2,3\}$（適用于有限集）；描述法：$\{x|x>0\}$（適用于無限集，格式：$\{元素|元素滿足的條件\}$）；Venn圖：用圓形或矩形表示集合（直觀展示集合關(guān)系）。常用數(shù)集：自然數(shù)集$\mathbb{N}$、正整數(shù)集$\mathbb{N}^*$（或$\mathbb{N}_+$）、整數(shù)集$\mathbb{Z}$、有理數(shù)集$\mathbb{Q}$、實(shí)數(shù)集$\mathbb{R}$。2.2集合間的關(guān)系子集：若$\forallx\inA$，都有$x\inB$，則$A\subseteqB$（$A$是$B$的子集）；真子集：若$A\subseteqB$且$\existsx\inB$但$x\notinA$，則$A\subsetB$（$A$是$B$的真子集）；相等集合：若$A\subseteqB$且$B\subseteqA$，則$A=B$；空集：不含任何元素的集合，記作$\emptyset$，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集（如$\emptyset\subseteq\{1\}$，$\emptyset\subset\{1\}$）。2.3集合的運(yùn)算交集：$A\capB=\{x|x\inA$且$x\inB\}$（兩集合的公共元素）；并集：$A\cupB=\{x|x\inA$或$x\inB\}$（兩集合的所有元素，去重）；2.4集合練習(xí)題（分層訓(xùn)練）基礎(chǔ)題（鞏固概念）1.用列舉法表示集合$A=\{x|x$是小于6的正偶數(shù)$\}$；2.設(shè)$A=\{1,2,3\}$，$B=\{2,3,4\}$，求$A\capB$、$A\cupB$；中檔題（深化理解）4.設(shè)$A=\{x|x^2-5x+6=0\}$，$B=\{x|x^2-4x+3=0\}$，求$A\capB$、$A\cupB$；5.已知$A=\{x|x\geq1\}$，$B=\{x|x<4\}$，求$A\capB$（用區(qū)間表示）。提高題（綜合應(yīng)用）6.設(shè)$A=\{x|x^2-ax+a^2-19=0\}$，$B=\{x|x^2-5x+6=0\}$，$C=\{x|x^2+2x-8=0\}$，若$A\capB\neq\emptyset$且$A\capC=\emptyset$，求實(shí)數(shù)$a$的值。2.5集合練習(xí)題解答基礎(chǔ)題1.小于6的正偶數(shù)為2,4，故$A=\{2,4\}$；2.$A\capB=\{2,3\}$，$A\cupB=\{1,2,3,4\}$；中檔題4.解方程$A$得$x=2,3$，解方程$B$得$x=1,3$，故$A\capB=\{3\}$，$A\cupB=\{1,2,3\}$；5.$A\capB=[1,4)$。提高題6.解方程$B$得$x=2,3$，解方程$C$得$x=2,-4$。由$A\capC=\emptyset$知$2\notinA$，故$3\inA$（因$A\capB\neq\emptyset$）。將$x=3$代入$A$的方程得$9-3a+a^2-19=0$，解得$a=5$或$a=-2$。當(dāng)$a=5$時(shí)，$A=\{x|x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}$，此時(shí)$2\inA$，與$A\capC=\emptyset$矛盾，舍去；當(dāng)$a=-2$時(shí)，$A=\{x|x^2+2x-15=0\}=\{3,-5\}$，此時(shí)$3\inA$，$2\notinA$，符合條件。故$a=-2$。第三章函數(shù)（高中數(shù)學(xué)的核心）3.1函數(shù)的概念函數(shù)的定義：設(shè)$A$、$B$為非空數(shù)集，若對任意$x\inA$，存在唯一$y\inB$，使得$f(x)=y$，則$f:A\toB$是函數(shù)，記作$y=f(x)$。三要素：定義域（$A$，$x$的取值范圍）、值域（$B$的子集，$y$的取值范圍）、對應(yīng)法則（$f$，$x$到$y$的映射規(guī)則）。相等函數(shù)：定義域、對應(yīng)法則均相同（與變量符號無關(guān)），如$f(x)=x$與$g(t)=t$是相等函數(shù)。3.2函數(shù)的定義域求法：1.分式：分母$\neq0$，如$f(x)=\frac{1}{x-2}$的定義域?yàn)?x\neq2$；2.偶次根式：被開方數(shù)$\geq0$，如$f(x)=\sqrt{x+1}$的定義域?yàn)?x\geq-1$；3.對數(shù)：真數(shù)$>0$，底數(shù)$>0$且$\neq1$，如$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域?yàn)?x>1$；4.復(fù)合函數(shù)：逐層求定義域，如$f(g(x))$的定義域是$g(x)$的定義域與$g(x)$的值域滿足$f(x)$定義域的交集。3.3函數(shù)的值域求法：1.配方法：適用于二次函數(shù)，如$f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2$，值域?yàn)?[2,+\infty)$；2.換元法：適用于含根號的函數(shù)，如$f(x)=\sqrt{x}+x$，令$t=\sqrt{x}\geq0$，則$y=t+t^2$，值域?yàn)?[0,+\infty)$；3.單調(diào)性法：適用于單調(diào)函數(shù)，如$f(x)=2^x+1$在$\mathbb{R}$上遞增，值域?yàn)?(1,+\infty)$；4.判別式法：適用于分式函數(shù)（分子分母為二次多項(xiàng)式），如$f(x)=\frac{x^2+1}{x^2+2x+1}$，整理為$(y-1)x^2+2yx+(y-1)=0$，由$\Delta\geq0$得$y\geq\frac{1}{2}$且$y\neq1$，值域?yàn)?[\frac{1}{2},1)\cup(1,+\infty)$。3.4函數(shù)的單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$I$上有定義，若對任意$x_1<x_2\inI$，都有：$f(x_1)<f(x_2)$：$f(x)$在$I$上遞增；$f(x_1)>f(x_2)$：$f(x)$在$I$上遞減。判定方法：1.定義法（步驟）：取值→作差→變形→定號→結(jié)論；2.圖像法：上升→遞增，下降→遞減；3.復(fù)合函數(shù)：同增異減（若$f(g(x))$，$f$與$g$單調(diào)性相同則遞增，相反則遞減）。3.5函數(shù)的奇偶性定義：設(shè)函數(shù)$f(x)$的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（必要條件），若：$f(-x)=f(x)$：偶函數(shù)（圖像關(guān)于$y$軸對稱）；$f(-x)=-f(x)$：奇函數(shù)（圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱）。性質(zhì)：奇函數(shù)在$x=0$處有定義，則$f(0)=0$（如$f(x)=x^3$，$f(0)=0$）；偶函數(shù)的平方、絕對值仍為偶函數(shù)（如$f(x)=x^2$，$g(x)=|x|$）；奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇（如$f(x)=x$（奇），$g(x)=x^2$（偶），則$f(x)g(x)=x^3$（奇））。3.6基本初等函數(shù)3.6.1指數(shù)函數(shù)（$y=a^x$，$a>0$且$a\neq1$）定義域：$\mathbb{R}$；值域：$(0,+\infty)$；單調(diào)性：$a>1$時(shí)遞增（如$y=2^x$），$0<a<1$時(shí)遞減（如$y=(\frac{1}{2})^x$）；圖像特征：過定點(diǎn)$(0,1)$，$a>1$時(shí)$x\to+\infty$，$y\to+\infty$；$x\to-\infty$，$y\to0$。3.6.2對數(shù)函數(shù)（$y=\log_ax$，$a>0$且$a\neq1$）定義域：$(0,+\infty)$；值域：$\mathbb{R}$；單調(diào)性：$a>1$時(shí)遞增（如$y=\log_2x$），$0<a<1$時(shí)遞減（如$y=\log_{\frac{1}{2}}x$）；圖像特征：過定點(diǎn)$(1,0)$，$a>1$時(shí)$x\to+\infty$，$y\to+\infty$；$x\to0^+$，$y\to-\infty$；對數(shù)性質(zhì)：$\log_a1=0$，$\log_aa=1$，$\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN$，$\log_a(M/N)=\log_aM-\log_aN$，$\log_aM^n=n\log_aM$，換底公式$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$。3.6.3冪函數(shù)（$y=x^\alpha$，$\alpha$為實(shí)數(shù)）常見冪函數(shù)的性質(zhì)：$\alpha=1$：$y=x$，定義域$\mathbb{R}$，值域$\mathbb{R}$，奇函數(shù)，遞增；$\alpha=2$：$y=x^2$，定義域$\mathbb{R}$，值域$[0,+\infty)$，偶函數(shù)，在$(-\infty,0]$遞減，$[0,+\infty)$遞增；$\alpha=1/2$：$y=\sqrt{x}$，定義域$[0,+\infty)$，值域$[0,+\infty)$，非奇非偶，遞增；$\alpha=-1$：$y=1/x$，定義域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，值域$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，奇函數(shù)，在$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$遞減。3.7函數(shù)練習(xí)題基礎(chǔ)題（鞏固概念）1.求$f(x)=\frac{1}{x-2}+\sqrt{x+1}$的定義域；2.求$f(x)=x^2-4x+5$的值域；3.判斷$f(x)=x^3+2x$的奇偶性；4.求$f(x)=2^x+1$的單調(diào)性。中檔題（深化理解）5.求$f(x)=\sqrt{x^2-2x+3}$的值域；6.證明$f(x)=x+\frac{1}{x}$在$(0,1]$上遞減；7.求$f(x)=\log_2(x^2-2x+3)$的定義域和值域。提高題（綜合應(yīng)用）8.已知$f(x)$是偶函數(shù)，且在$[0,+\infty)$上遞增，求$f(2x-1)<f(3)$的解集；9.求$f(x)=x^2\cdot2^x$的單調(diào)性（提示：用導(dǎo)數(shù)法，高一可暫用定義法嘗試）。3.8函數(shù)練習(xí)題解答基礎(chǔ)題1.分母$x-2\neq0$→$x\neq2$；偶次根式$x+1\geq0$→$x\geq-1$，故定義域$[-1,2)\cup(2,+\infty)$；2.$f(x)=(x-2)^2+1\geq1$，值域$[1,+\infty)$；3.$f(-x)=(-x)^3+2(-x)=-x^3-2x=-f(x)$，故$f(x)$是奇函數(shù)；4.$2^x$遞增，故$f(x)=2^x+1$在$\mathbb{R}$上遞增。中檔題5.$x^2-2x+3=(x-1)^2+2\geq2$，故$\sqrt{x^2-2x+3}\geq\sqrt{2}$，值域$[\sqrt{2},+\infty)$；6.證明：任取$0<x_1<x_2\leq1$，則$f(x_1)-f(x_2)=x_1+\frac{1}{x_1}-x_2-\frac{1}{x_2}=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)(1-\frac{1}{x_1x_2})$。因$0<x_1<x_2\leq1$，故$x_1-x_2<0$，$x_1x_2-1<0$，$x_1x_2>0$，故$f(x_1)-f(x_2)>0$，即$f(x_1)>f(x_2)$，故$f(x)$在$(0,1]$上遞減；7.定義域：$x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0$，故定義域$\mathbb{R}$；值域：$x^2-2x+3\geq2$，故$\log_2(x^2-2x+3)\geq1$，值域$[1,+\infty)$。提高題8.$f(x)$是偶函數(shù)，故$f(2x-1)=f(|2x-1|)$，又$f(x)$在$[0,+\infty)$上遞增，故$f(|2x-1|)<f(3)$→$|2x-1|<3$→$-3<2x-1<3$→$-1<x<2$，解集$(-1,2)$；9.提示：用導(dǎo)數(shù)法，$f'(x)=2x\cdot2^x+x^2\cdot2^x\ln2=2^x(x^2\ln2+2x)$，令$f'(x)=0$得$x=0$或$x=-\frac{2}{\ln2}\approx-2.885$。當(dāng)$x<-\frac{2}{\ln2}$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$遞增；當(dāng)$-\frac{2}{\ln2}<x<0$時(shí)，$f'(x)<0$，$f(x)$遞減；當(dāng)$x>0$時(shí)，$f'(x)>0$，$f(x)$遞增。第四章三角函數(shù)（周期性與幾何的結(jié)合）4.1任意角與弧度制任意角：按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)為正角，順時(shí)針為負(fù)角，不旋轉(zhuǎn)為零角；象限角：終邊在第幾象限，就是第幾象限角，如$\alpha\in(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2})$（$k\in\mathbb{Z}$）是第一象限角；終邊相同的角：所有與$\alpha$終邊相同的角可表示為$\alpha+2k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）；弧度制：$1$弧度是長度等于半徑的弧所對的圓心角，$\pi$弧度$=180^\circ$，$1^\circ=\frac{\pi}{180}$弧度；弧長公式：$l=|\alpha|r$（$\alpha$為弧度）；扇形面積公式：$S=\frac{1}{2}lr=\frac{1}{2}|\alpha|r^2$。4.2三角函數(shù)的定義單位圓定義：設(shè)$\alpha$的終邊與單位圓交于$P(x,y)$，則：$\sin\alpha=y$（正弦）；$\cos\alpha=x$（余弦）；$\tan\alpha=\frac{y}{x}$（正切，$x\neq0$）。三角函數(shù)的符號：第一象限：$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha>0$，$\tan\alpha>0$；第二象限：$\sin\alpha>0$，$\cos\alpha<0$，$\tan\alpha<0$；第三象限：$\sin\alpha<0$，$\cos\alpha<0$，$\tan\alpha>0$；第四象限：$\sin\alpha<0$，$\cos\alpha>0$，$\tan\alpha<0$。4.3誘導(dǎo)公式（簡化三角函數(shù)運(yùn)算）口訣：奇變偶不變，符號看象限（“奇”“偶”指$\frac{\pi}{2}$的倍數(shù)的奇偶性，“符號”是把$\alpha$看作銳角時(shí)原函數(shù)值的符號）；常見誘導(dǎo)公式：$\sin(\alpha+2k\pi)=\sin\alpha$，$\cos(\alpha+2k\pi)=\cos\alpha$，$\tan(\alpha+2k\pi)=\tan\alpha$（周期性）；$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$（奇偶性）；$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$（補(bǔ)角）；$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$（余角）；$\sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\frac{\pi}{2}-\alpha)=\sin\alpha$（互余）；$\sin(\frac{\pi}{2}+\alpha)=\cos\alpha$，$\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha)=-\sin\alpha$（互補(bǔ)）。4.4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)4.4.1正弦函數(shù)（$y=\sinx$）定義域：$\mathbb{R}$；值域：$[-1,1]$；周期：$2\pi$；奇偶性：奇函數(shù)；對稱軸：$x=k\pi+\frac{\pi}{2}$（$k\in\mathbb{Z}$）；對稱中心：$(k\pi,0)$（$k\in\mathbb{Z}$）；單調(diào)性：在$[2k\pi-\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{\pi}{2}]$（$k\in\mathbb{Z}$）上遞增，在$[2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\frac{3\pi}{2}]$（$k\in\mathbb{Z}$）上遞減。4.4.2余弦函數(shù)（$y=\cosx$）定義域：$\mathbb{R}$；值域：$[-1,1]$；周期：$2\pi$；奇偶性：偶函數(shù)；對稱軸：$x=k\pi$（$k\in\mathbb{Z}$）；對稱中心：$(k\pi+\frac{\pi}{2},0)$（$k\in\mathbb{Z}$）；單調(diào)性：在$[2k\pi-\pi,2k\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$）上遞增，在$[2k\pi,2k\pi+\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$）上遞減。4.4.3正切函數(shù)（$y=\tanx$）定義域：$\{x|x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z}\}$；值域：$\mathbb{R}$；周期：$\pi$；奇偶性：奇函數(shù)；對稱中心：$(k\pi/2,0)$（$k\in\mathbb{Z}$）；單調(diào)性：在$(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2})$（$k\in\mathbb{Z}$）上遞增。4.5三角函數(shù)練習(xí)題基礎(chǔ)題（鞏固概念）1.把$60^\circ$轉(zhuǎn)化為弧度，把$\frac{\pi}{3}$弧度轉(zhuǎn)化為角度；2.求$\sin\frac{\pi}{6}$，$\cos\frac{\pi}{3}$，$\tan\frac{\pi}{4}$的值；3.化簡$\sin(\pi-\alpha)\cos(\pi+\alpha)\tan(-\alpha)$；4.求$y=\sin2x$的周期和對稱軸。中檔題（深化理解）5.求$y=\cos(2x+\frac{\pi}{3})$的單調(diào)遞增區(qū)間；6.計(jì)算$\sin\frac{5\pi}{6}+\cos\frac{7\pi}{4}-\tan\frac{2\pi}{3}$；7.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，$\alpha\in(0,\frac{\pi}{2})$，求$\cos\alpha$和$\tan\alpha$。提高題（綜合應(yīng)用）8.求$y=\sin^2x+\cosx+1$的值域；9.已知$\tan\alpha=2$，求$\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}$的值。4.6三角函數(shù)練習(xí)題解答基礎(chǔ)題1.$60^\circ=60\times\frac{\pi}{180}=\frac{\pi}{3}$弧度；$\frac{\pi}{3}$弧度$=\frac{\pi}{3}\times\frac{180}{\pi}=60^\circ$；2.$\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$，$\tan\frac{\pi}{4}=1$；3.$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$，$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$，$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$，故原式$=\sin\alpha\times(-\cos\alpha)\times(-\tan\alpha)=\sin^2\alpha$；4.周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$；對稱軸$2x=k\pi+\frac{\pi}{2}$→$x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{4}$（$k\in\mathbb{Z}$）。中檔題5.余弦函數(shù)遞增區(qū)間為$[2k\pi-\pi,2k\pi]$（$k\in\mathbb{Z}$），故$2k\pi-\pi\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi$→$k\pi-\frac{2\pi}{3}\leqx\leqk\pi-\frac{\pi}{6}$（$k\in\mathbb{Z}$）；6.$\sin\frac{5\pi}{6}=\sin(\pi-\frac{\pi}{6})=\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}$，$\cos\frac{7\pi}{4}=\cos(2\pi-\frac{\pi}{4})=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan\frac{2\pi}{3}=\tan(\pi-\frac{\pi}{3})=-\tan\frac{\pi}{3}=-\sqrt{3}$，故原式$=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}$；7.$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。提高題8.$y=\sin^2x+\cosx+1=1-\cos^2x+\cosx+1=-\cos^2x+\cosx+2=-(cosx-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}$。因$\cosx\in[-1,1]$，故當(dāng)$\cosx=\frac{1}{2}$時(shí)，$y_{\text{max}}=\frac{9}{4}$；當(dāng)$\cosx=-1$時(shí)，$y_{\text{min}}=0$，值域$[0,\frac{9}{4}]$；9.分子分母同除以$\cos\alpha$得$\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha-1}=\frac{2+1}{2-1}=3$。第五章平面向量（代數(shù)與幾何的橋梁）5.1向量的概念向量：既有大小又有方向的量，記作$\overrightarrow{a}$或$\overrightarrow{AB}$（$A$為起點(diǎn)，$B$為終點(diǎn)）；模：向量的大小，記作$|\overrightarrow{a}|$或$|\overrightarrow{AB}|$；零向量：模為0的向量，記作$\overrightarrow{0}$，方向任意；單位向量：模為1的向量，記作$\overrightarrow{e}$，$\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$（$\overrightarrow{a}\neq\overrightarrow{0}$）；平行向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，記作$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$；相等向量：模相等且方向相同的向量，記作$\overrightarrow{a}=\overrightarrow$。5.2向量的線性運(yùn)算5.2.1加法三角形法則：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$（首尾相連，起點(diǎn)到終點(diǎn)）；平行四邊形法則：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$（鄰邊為向量，對角線為和）；坐標(biāo)運(yùn)算：若$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)$，$\overrightarrow=(x_2,y_2)$，則$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。5.2.2減法三角形法則：$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$（起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相連，指向被減向量）；坐標(biāo)運(yùn)算：$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(x_1-x_2,y_1-y_2)$。5.2.3數(shù)乘定義：$\lambda\overrightarrow{a}$（$\lambda\in\mathbb{R}$），模為$|\lambda||\overrightarrow{a}|$，方向：$\lambda>0$與$\overrightarrow{a}$相同，$\lambda<0$與$\overrightarrow{a}$相反；坐標(biāo)運(yùn)算：$\lambda\overrightarrow{a}=(\lambdax_1,\lambday_1)$；平行向量的判定：$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow$（$\overrightarrow\neq\overrightarrow{0}$）$\Leftrightarrow$存在唯一$\lambda\in\mathbb{R}$，使得$\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow$；坐標(biāo)表示：$x_1y_2-x_2y_1=0$。5.3向量的數(shù)量積（度量向量的夾角與垂直）定義：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|\cos\theta$（$\theta$為$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角，$0\leq\theta\leq\pi$）；坐標(biāo)運(yùn)算：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=x_1x_2+y_1y_2$；性質(zhì)：$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}=|\overrightarrow{a}|^2$（模的平方）；$\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\Leftrightarrow\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0$（垂直的充要條件）；$|\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow|\leq|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|$（柯西不等式）。5.4向量的夾角與模夾角公式：$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$；模的計(jì)算公式：$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}$。5.5平面向量練習(xí)題基礎(chǔ)題（鞏固概念）1.已知$\overrightarrow{a}=(2,1)$，$\overrightarrow=(1,-3)$，求$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$，$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow$；2.已知$\overrightarrow{a}=(3,4)$，求$|\overrightarrow{a}|$，單位向量$\overrightarrow{e}=\frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$；3.已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow$，夾角$\theta$的余弦值。中檔題（深化理解）4.已知$\overrightarrow{a}=(2,-1)$，$\overrightarrow=(1,3)$，若$\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow)$，求$\lambda$；5.已知$|\overrightarrow{a}|=2$，$|\overrightarrow|=3$，$\theta=60^\circ$，求$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|$，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|$；6.已知$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,0)$，求$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BC}$。提高題（綜合應(yīng)用）7.已知$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow=(2,3)$，$\overrightarrow{c}=(3,4)$，若$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$平行，求$\lambda$；8.已知$A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(1,\sqrt{3})$，求$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角。5.6平面向量練習(xí)題解答基礎(chǔ)題1.$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=(3,-2)$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=(1,4)$，$2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow=(4-3,2+9)=(1,11)$；2.$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$，$\overrightarrow{e}=(\frac{3}{5},\frac{4}{5})$；3.$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=1\times2+2\times3=8$，$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{5}$，$|\overrightarrow|=\sqrt{13}$，故$\cos\theta=\frac{8}{\sqrt{5}\times\sqrt{13}}=\frac{8\sqrt{65}}{65}$。中檔題4.$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow=(2+\lambda,-1+3\lambda)$，由$\overrightarrow{a}\perp(\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow)$得$2(2+\lambda)+(-1)(-1+3\lambda)=0$→$\lambda=5$；5.$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|^2=|\overrightarrow{a}|^2+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+|\overrightarrow|^2=4+2\times2\times3\times\cos60^\circ+9=19$→$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow|=\sqrt{19}$；$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|^2=4-6+9=7$→$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow|=\sqrt{7}$；6.$\overrightarrow{AB}=(3-1,4-2)=(2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(5-1,0-2)=(4,-2)$，$\overrightarrow{BC}=(5-3,0-4)=(2,-4)$。提高題7.$\overrightarrow{a}+\lambda\overrightarrow=(1+2\lambda,2+3\lambda)$，與$\overrightarrow{c}=(3,4)$平行，故$(1+2\lambda)\times4-(2+3\lambda)\times3=0$→$\lambda=-2$；8.$\overrightarrow{AB}=(2,0)$，$\overrightarrow{AC}=(1,\sqrt{3})$，$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\times1+0\times\sqrt{3}=2$，$|\overrightarrow{AB}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=2$，故$\cos\theta=\frac{2}{2\times2}=\frac{1}{2}$，$\theta=60^\circ$。第六章數(shù)列（特殊的函數(shù)：定義域?yàn)檎麛?shù)集）6.1數(shù)列的概念數(shù)列：按一定順序排列的一列數(shù)，記作$\{a_n\}$，$a_n$為第$n$項(xiàng)；通項(xiàng)公式：$a_n=f(n)$（表示第$n$項(xiàng)與$n$的關(guān)系）；遞推公式：表示$a_n$與前一項(xiàng)或幾項(xiàng)的關(guān)系，如$a_{n+1}=a_n+2$（等差數(shù)列）；前$n$項(xiàng)和：$S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$，與通項(xiàng)的關(guān)系：$a_n=S_n-S_{n-1}$（$n\geq2$），$a_1=S_1$。6