（培優(yōu)）四年級同步個性化分層作業(yè)8.1.1數(shù)字問題一．選擇題（共3小題）1．（2024秋?西崗區(qū)期末）一個三位數(shù)，各個數(shù)位上數(shù)字的和是3，這樣的數(shù)中偶數(shù)有（）個．A．2 B．3 C．5 D．42．（2025?黃埔區(qū)）先寫出一個兩位數(shù)35，接著在35右端寫這兩個數(shù)字的和8，得到358，再寫末兩位數(shù)字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一個有2025位的整數(shù)。則這個整數(shù)的數(shù)字之和是（）A．7070 B．7090 C．7089 D．70943．（2024?鐵西區(qū)）已知三位數(shù)3□2正好是三個連續(xù)自然數(shù)的和，□里的數(shù)字可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6二．填空題（共3小題）4．（2025?東西湖區(qū)）對于一個自然數(shù)，用與這個數(shù)互質(zhì)且大于2的最小自然數(shù)替換這個數(shù)，稱為一次“互質(zhì)替換”，在黑板上任意寫出一個大于2025的自然數(shù)，反復(fù)進行“互質(zhì)替換”，最多經(jīng)過次“互質(zhì)替換”首次出現(xiàn)3。5．（2025春?蓮湖區(qū)期中）歡歡想到一個三位數(shù)，它在各個數(shù)位上的數(shù)字和是19，十位數(shù)字減2的差是3，個位數(shù)字減4的差也是3，她想的這個三位數(shù)是。6．（2025?北碚區(qū)）如果一個五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍。那么，這個五位數(shù)的前兩位的最大值是。三．應(yīng)用題（共4小題）7．（2024?北碚區(qū)校級模擬）黑板上任意寫上一個正整數(shù)，在它的約數(shù)之外，找出最小的正整數(shù)，擦去原數(shù)，寫上這個最小的正整數(shù)（例如：開始寫的數(shù)是12，在12的約數(shù)之外，最小的正整數(shù)是5，擦去12，寫上5）。這樣繼續(xù)下去，直到黑板上出現(xiàn)2為止。對于任意的一個正整數(shù)，最多擦多少次，黑板上就可以出現(xiàn)2？請說明理由。8．（2024?北碚區(qū)校級模擬）若干個學(xué)生圍成一個圓圈，每人手里有一些糖果。假設(shè)按順時針方向，第一個人的糖果比第二個人的多一塊，第二個人的糖果比第三個人的多一塊，以此類推，倒數(shù)第二個人的糖果比最后一個人的多一塊。下面開始做傳遞糖果的游戲：第一個人給第二個人1塊糖果，第二個人給第三個人2塊糖果，如此直到最后一個人給第一個人數(shù)目與人數(shù)相同的糖果數(shù)，這樣算一輪。經(jīng)過若干輪直到游戲不能再做為止，最后發(fā)現(xiàn)恰有兩個相鄰的同學(xué)其中一人的糖果是另一人的6倍，則所有同學(xué)的人數(shù)為人，游戲開始前最后一個同學(xué)手里糖果數(shù)為塊。9．（2024?江北區(qū)）已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少？10．（2024?北碚區(qū)）閱讀材料：把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫作第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫作第二次運算，……，如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”.例如：32→32+22＝13→12+32＝10→12+02＝1，所以32是快樂數(shù).根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）試說明：19是“快樂數(shù)”；（2）若一個三位“快樂數(shù)”進過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)”。

（培優(yōu)）四年級同步個性化分層作業(yè)8.1.1數(shù)字問題參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）題號123答案DBB一．選擇題（共3小題）1．（2024秋?西崗區(qū)期末）一個三位數(shù)，各個數(shù)位上數(shù)字的和是3，這樣的數(shù)中偶數(shù)有（）個．A．2 B．3 C．5 D．4【考點】數(shù)字問題．【專題】整除性問題．【答案】D【分析】把3拆分為3個數(shù)字的和，再根據(jù)排列組合知識和偶數(shù)的特征（個位是0、2、4、6、8）列舉解答即可．【解答】解：3＝0+0+3＝0+1+2＝1+1+1①3＝0+0+3這樣的數(shù)中偶數(shù)有：300②3＝0+1+2這樣的數(shù)中偶數(shù)有：210、120、102③3＝1+1+1不能組成偶數(shù)，所以共有：1+3＝4（個）答：這樣的數(shù)中偶數(shù)有4個．故選：D．【點評】解答本題關(guān)鍵是明確偶數(shù)的特征：個位是0、2、4、6、8．2．（2025?黃埔區(qū)）先寫出一個兩位數(shù)35，接著在35右端寫這兩個數(shù)字的和8，得到358，再寫末兩位數(shù)字5和8的和13，得到35813，用上述方法得到一個有2025位的整數(shù)。則這個整數(shù)的數(shù)字之和是（）A．7070 B．7090 C．7089 D．7094【考點】數(shù)字問題．【專題】應(yīng)用意識．【答案】B【分析】繼續(xù)寫下去，發(fā)現(xiàn)規(guī)律后即可解答。【解答】解：繼續(xù)往下多寫幾個數(shù)：358134711235813471123……可以發(fā)現(xiàn)10個數(shù)字一循^，這10個數(shù)字之和為：3+5+8+1+3+4+7+1+1+2＝35。因此2025÷10＝202……5，這個2025位數(shù)字之和等于：35×202+（3+5+8+1+3）＝7070+20＝7090答：這個整數(shù)的數(shù)字之和是7090。故選：B。【點評】本題考查了數(shù)字和問題的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是找出數(shù)字排列的規(guī)律。3．（2024?鐵西區(qū)）已知三位數(shù)3□2正好是三個連續(xù)自然數(shù)的和，□里的數(shù)字可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】數(shù)字問題．【專題】綜合判斷題；運算能力．【答案】B【分析】三個連續(xù)自然數(shù)是3的倍數(shù)，3的倍數(shù)的數(shù)數(shù)字和是3的倍數(shù)，因為3+2＝5，故□可以為1、4、7，據(jù)此選擇?！窘獯稹拷猓喝齻€連續(xù)自然數(shù)是3的倍數(shù)，3的倍數(shù)的數(shù)數(shù)字和是3的倍數(shù)，因為3+2＝5，故□可以為1、4、7。即只有B選項4符合題意，三位數(shù)可以是342。三個連續(xù)的自然數(shù)是113、114、115。故選：B?！军c評】本題考查了能被3整除的數(shù)的應(yīng)用。二．填空題（共3小題）4．（2025?東西湖區(qū)）對于一個自然數(shù)，用與這個數(shù)互質(zhì)且大于2的最小自然數(shù)替換這個數(shù)，稱為一次“互質(zhì)替換”，在黑板上任意寫出一個大于2025的自然數(shù)，反復(fù)進行“互質(zhì)替換”，最多經(jīng)過3次“互質(zhì)替換”首次出現(xiàn)3?！究键c】數(shù)字問題．【專題】應(yīng)用意識．【答案】3?！痉治觥扛鶕?jù)題意，分析不同類型大于2025的自然數(shù)經(jīng)過“互質(zhì)替換”得到3的過程和次數(shù)?！窘獯稹拷猓捍笥?025的偶數(shù)：例如2026，與它互質(zhì)且大于2的最小自然數(shù)是一個奇數(shù)（不是3的倍數(shù)時），經(jīng)過一次“互質(zhì)替換”，就把偶數(shù)變成了奇數(shù)；大于2025的奇數(shù)：①奇數(shù)不是3的倍數(shù)：比如2027，它不是3的倍數(shù)，與2027互質(zhì)目大于2的最小自然數(shù)就是3。此時，從不是3的倍數(shù)的奇數(shù)到3，經(jīng)過了1次“互質(zhì)替換”（如果前面是從偶數(shù)變來的，那么總共經(jīng)過2次）；②奇數(shù)是3的倍數(shù)：例如2031＝3×677，與它互質(zhì)且大于2的最小自然數(shù)不是3，而是其他數(shù)，比如4（因為2031是3的倍數(shù)，4與2031互質(zhì)且大于2），經(jīng)過這一次替換得到了一個偶數(shù)。從上述分析可知，先把偶數(shù)通過一次“互質(zhì)替換”變成奇數(shù)，若這個奇數(shù)不是3的倍數(shù)，再一次“互質(zhì)替換”就得到3；若這個奇數(shù)是3的倍數(shù)，經(jīng)過﹣次替換得到偶數(shù)，再對偶數(shù)替換得到奇數(shù)，然后再一次“互質(zhì)替換”得到3。所以，最多經(jīng)過3次“互質(zhì)替換”就能首次出現(xiàn)3。綜上，最多經(jīng)過3次“互質(zhì)替換”首次出現(xiàn)3。答：最多經(jīng)過3次“互質(zhì)替換”首次出現(xiàn)3。故答案為：3?！军c評】本題考查了基于數(shù)論中互質(zhì)概念的邏輯推理的應(yīng)用。5．（2025春?蓮湖區(qū)期中）歡歡想到一個三位數(shù)，它在各個數(shù)位上的數(shù)字和是19，十位數(shù)字減2的差是3，個位數(shù)字減4的差也是3，她想的這個三位數(shù)是757?！究键c】數(shù)字問題．【專題】綜合題；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】757?！痉治觥渴粩?shù)字減2的差是3，個位數(shù)字減4的差也是3，分別計算出十位，個位上數(shù)字，再計算百位上數(shù)字。【解答】解：十位上數(shù)字：3+2＝5個位上數(shù)字：3+4＝7百位上數(shù)字：19﹣7﹣5＝7這個三位數(shù)是757。故答案為：757。【點評】本題考查的是數(shù)字問題的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是計算出各個數(shù)位上數(shù)字。6．（2025?北碚區(qū)）如果一個五位數(shù)，它的各位數(shù)字乘積恰好是它的各位數(shù)字和的25倍。那么，這個五位數(shù)的前兩位的最大值是75?！究键c】數(shù)字問題．【專題】綜合填空題；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】75。【分析】設(shè)五位數(shù)的五個數(shù)字為a、b、c、d、e，已知a×b×c×d×e＝25×（a+b+c+d+e），則原來的5個數(shù)字中一定有2個數(shù)字5，假設(shè)d、e都是5，則a×b×c＝a+b+c+10，要使這個五位數(shù)最大，假設(shè)a＝9，計算有沒有符合要求的b和c，同理驗證a＝8，a＝7時，有沒有符合要求的b和c，由此解答本題?！窘獯稹拷猓涸O(shè)五位數(shù)的五個數(shù)字為a、b、c、d、e，已知a×b×c×d×e＝25×（a+b+c+d+e），則原來的5個數(shù)字中一定有2個數(shù)字5，假設(shè)d、e都是5，則a×b×c＝a+b+c+10，要使這個五位數(shù)最大，假設(shè)a＝9，則9bc＝b+c+19，即81bc＝9b+9c+171，所以（9b﹣1）×（9c﹣1）＝172＝4×43，此時沒有滿足條件的整數(shù)b和c；假設(shè)a＝8，則8bc＝b+c+18，即64bc＝8b+8c+144，所以（8b﹣1）×（8c﹣1）＝145＝5×29，此時沒有滿足條件的整數(shù)b和c；假設(shè)a＝7，則7bc＝b+c+17，即49bc＝7b+7c+119，所以（7b﹣1）×（7c﹣1）＝120，（7b﹣1）與（7c﹣1）除以7都余6，則7b﹣1＝6，7c﹣1＝120，所以b＝1，c＝3，此時五位數(shù)是75531。這個五位數(shù)的前兩位的最大值75。故答案為：75?！军c評】本題考查的是數(shù)字問題的應(yīng)用。三．應(yīng)用題（共4小題）7．（2024?北碚區(qū)校級模擬）黑板上任意寫上一個正整數(shù)，在它的約數(shù)之外，找出最小的正整數(shù)，擦去原數(shù)，寫上這個最小的正整數(shù)（例如：開始寫的數(shù)是12，在12的約數(shù)之外，最小的正整數(shù)是5，擦去12，寫上5）。這樣繼續(xù)下去，直到黑板上出現(xiàn)2為止。對于任意的一個正整數(shù)，最多擦多少次，黑板上就可以出現(xiàn)2？請說明理由?！究键c】數(shù)字問題．【專題】應(yīng)用意識．【答案】3次。理由為：①如果黑板上的數(shù)是偶數(shù)2，則不用擦；②如果黑板上的數(shù)是奇數(shù)，則擦后即出現(xiàn)2；③如果黑板上的數(shù)是偶數(shù)n（n＞2），則最多擦3次。【分析】分析每次寫上的數(shù)與原數(shù)約數(shù)的關(guān)系，找出出現(xiàn)2最多需要擦寫的次數(shù)。我們從最初給定的正整數(shù)出發(fā)，按照規(guī)則依次找出在約數(shù)之外最小的正整數(shù)并替換原數(shù)，觀察經(jīng)過幾次這樣的操作能得到2?！窘獯稹拷猓旱谝淮尾僮鳎涸O(shè)最初寫在黑板上的正整數(shù)為n。當n＞1時，若n是奇數(shù)，那么1和n是它的約數(shù)，2不是它的約數(shù)，所以在它約數(shù)之外最小的正整數(shù)就是2，此時只需要擦1次就出現(xiàn)2；若n是偶數(shù)，設(shè)n＝2k（k為正整數(shù)），1、2是它的約數(shù)，3有可能不是它的約數(shù)（比如4，約數(shù)是1、2、4，3不在約數(shù)中），所以在約數(shù)之外最小的正整數(shù)可能是3。第二次操作：若第一次寫上的數(shù)是3，3的約數(shù)是1和3，那0么在它約數(shù)之外最小的正整數(shù)就是2，此時總共擦了2次就出現(xiàn)2了；若第一次寫上的數(shù)不是3，比如第一次寫上的數(shù)是偶數(shù)且不是2的倍數(shù)，設(shè)這個數(shù)為m，1是它的約數(shù)，2不是它的約數(shù)，所以在它約數(shù)之外最小的正整數(shù)就是2，此時總共擦了2次就出現(xiàn)2了。第三次操作：若第一次寫上的數(shù)既不是2也不是3，且經(jīng)過第二次操作后得到的數(shù)既不是2也不是3。設(shè)第二次寫上的數(shù)為P，若P不是2的倍數(shù)，那么在它約數(shù)之外最小的正整數(shù)就是2，此時總共擦了3次就出現(xiàn)2了。答：對于任意的一個正整數(shù)，最多擦3次，黑板上就可以出現(xiàn)2。【點評】本題考查了最值問題的應(yīng)用。8．（2024?北碚區(qū)校級模擬）若干個學(xué)生圍成一個圓圈，每人手里有一些糖果。假設(shè)按順時針方向，第一個人的糖果比第二個人的多一塊，第二個人的糖果比第三個人的多一塊，以此類推，倒數(shù)第二個人的糖果比最后一個人的多一塊。下面開始做傳遞糖果的游戲：第一個人給第二個人1塊糖果，第二個人給第三個人2塊糖果，如此直到最后一個人給第一個人數(shù)目與人數(shù)相同的糖果數(shù)，這樣算一輪。經(jīng)過若干輪直到游戲不能再做為止，最后發(fā)現(xiàn)恰有兩個相鄰的同學(xué)其中一人的糖果是另一人的6倍，則所有同學(xué)的人數(shù)為11人，游戲開始前最后一個同學(xué)手里糖果數(shù)為4塊?！究键c】數(shù)字問題．【專題】應(yīng)用意識．【答案】11；4。【分析】每輪操作過程，實際上就是每人減少1塊糖果，這些糖果再給第一個人，第一個人增加的糖果塊數(shù)比人數(shù)少1。如果相鄰的兩個人的糖果數(shù)連續(xù)，肯定不會是6倍關(guān)系。據(jù)此解答?！窘獯稹拷猓涸O(shè)共有n名學(xué)生，最后一個人開始有a塊糖果，則第一個人開始有糖果（a+n﹣1）塊。如果無法操作，說明糖果數(shù)最少的學(xué)生已經(jīng)沒有糖果了，所以需要經(jīng)過a輪傳遞，且只有第一個人與第二個人的糖果數(shù)可能存在6倍關(guān)系，開始狀態(tài)如圖1所示，結(jié)束狀態(tài)如圖2所示。如下圖所示：則（n﹣1）+an＝6（n﹣2）即n（5﹣a）＝11而11＝11×1所以a=4所以，共有同學(xué)11人，游戲開始前，最后一個同學(xué)有糖果4塊。故答案為：11；4?！军c評】能否把題目解答出來，關(guān)鍵在于審題，也就是把題目轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)表達的能力。對于未知的量，可以先用未知數(shù)表達，它們之間的關(guān)系利用四則運算和等量表達出來。這里既不知道最后一個人有幾塊糖果，也不知道人數(shù)，二者設(shè)出未知就可以把操作表達出來，然后繼續(xù)操作下去。最后就是解二元一次不定方程的正整數(shù)解問題。9．（2024?江北區(qū)）已知一個四位數(shù)加上它的各位數(shù)字之和后等于2008，則所有這樣的四位數(shù)之和為多少？【考點】數(shù)字問題．【專題】整數(shù)的分解與分拆．【答案】3988?！痉治觥咳绻@個四位數(shù)的最高位是2，四個數(shù)字的和是2008﹣2000＝8，則四位數(shù)個位上數(shù)字的2倍是8﹣2＝6，個位數(shù)字即可求。如果這個四位數(shù)的最高位上1，則百位上只能是9，因為四個數(shù)字的最大和是二十幾，這個數(shù)字的十位上如果是9，（1+9+9）+1990＝2009，不符合題意；這個數(shù)字的十位上如果是8，2008﹣（1+9+8）﹣1980＝10，10÷2＝5，個位上是5，符合題意；這個數(shù)字的十位上如果是7，2008﹣（1+9+7）﹣1970＝21，個位上是21÷2，商不是整數(shù)，不符合題意?！窘獯稹拷猓?008＝2003+（2+3+0+0）2008＝1985+（1+9+8+5）則2003+1985＝3988答：所有這樣的四位數(shù)之和為3988?！军c評】運用首尾數(shù)法計算是解決本題的有效途徑。10．（2024?北碚區(qū)）閱讀材料：把一個自然數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和得到一個新數(shù)，叫作第一次運算，再把所得新數(shù)所有數(shù)位上的數(shù)字先平方再求和又將得到一個新數(shù)，叫作第二次運算，……，如此重復(fù)下去，若最終結(jié)果為1，我們把具有這種特征的自然數(shù)稱為“快樂數(shù)”.例如：32→32+22＝13→12+32＝10→12+02＝1，所以32是快樂數(shù).根據(jù)上述材料，解決以下問題：（1）試說明：19是“快樂數(shù)”；（2）若一個三位“快樂數(shù)”進過兩次運算后結(jié)果為1，把這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2，求出這個“快樂數(shù)”?！究键c】數(shù)字問題．【專題】閱讀型；數(shù)的運算；數(shù)感．【答案】（1）12+92＝1+81＝8282+22＝64+4＝6862+82＝36+64＝10012+02+02＝1（2）860?！痉治觥浚?）按照“快樂數(shù)“的驗證方法來解答。（2）一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，經(jīng)過第一次運算結(jié)果為100?？汕蟮?00＝82+62+0。再根據(jù)這個三位“快樂數(shù)”與它的各位上的數(shù)字相加所得的和被8除余數(shù)是2求出“快樂數(shù)“?！窘獯稹拷猓海?）12+92＝1+81＝8282+22＝64+4＝6862+82＝36+64＝10012+02+02＝1則19是“快樂數(shù)”。（2）一個三位“快樂數(shù)”經(jīng)過兩次運算后結(jié)果為1，經(jīng)過第一次運算結(jié)果為100。可求得100＝82+62+0。這個“快樂數(shù)”可能是860，860+8+6+0＝874874÷8＝109……2答：這個“快樂數(shù)“為860?！军c評】明確“快樂數(shù)”的含義是解決本題的關(guān)鍵。

考點卡片1．數(shù)字問題【知識點歸納】1．數(shù)字問題的主要題型：數(shù)字問題是研究有關(guān)數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關(guān)系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對來說，難度較大．通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關(guān)系，求這個數(shù)為多少．2．核心知識（1）數(shù)字的拆分是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應(yīng)用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、因式分解、同余理論等．（2）數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系解答數(shù)字的排列與位數(shù)關(guān)系時，經(jīng)常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列方程法、代入法、假設(shè)法等一些方法，進行快速求解．【命題方向】常考題型：例1：在1到400的整數(shù)中，至少能被3和5中的一個數(shù)整除的數(shù)有（）個