第二節(jié)用樣本的數(shù)字特征估計總體高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求

1.

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)），理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義.2.

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差、方差、極

差），理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.3.

結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律.4.

結(jié)合實例，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義.目錄CONTENTS知識·逐點夯實01.考點·分類突破02.課時·跟蹤檢測03.PART01知識·逐點夯實必備知識|課前自修

1.

總體百分位數(shù)的估計（1）百分位數(shù)定義意義百分位數(shù)一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使

得這組數(shù)據(jù)中

有p%的數(shù)據(jù)小于或等于

這個值，且至少有（100－p）%的數(shù)據(jù)大于或

等于這個值反映該組數(shù)中小

于或等于該百分

位數(shù)的分布特點至少

（2）求一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；第2步：計算i＝

?；第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)

據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第（i＋1）項數(shù)據(jù)的平均數(shù).n×p%

2.

總體集中趨勢的估計

（2）中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，處于

?位置的一個

數(shù)據(jù)（或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).（3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).最中間

最多

提醒

（1）中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)所占頻率的等分線，不受少數(shù)極端值影響；

（2）眾數(shù)體現(xiàn)了樣本數(shù)據(jù)的最大集中點，一組數(shù)據(jù)可能有n個眾數(shù)，也可

能沒有眾數(shù)；（3）與中位數(shù)、眾數(shù)比較，平均數(shù)反映出樣本數(shù)據(jù)的更多

信息，對樣本數(shù)據(jù)中的少數(shù)極端值更加敏感.

3.

總體離散程度的估計

①極差：max{x1，x2，…，xn}－min{x1，x2，…，xn}；

1.

頻率分布直方圖中的常見結(jié)論（1）眾數(shù)的估計值為最高矩形底邊的中點對應(yīng)的橫坐標(biāo)；（2）平均

數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊

中點的橫坐標(biāo)之和；（3）中位數(shù)的估計值的左邊和右邊的小矩形的面

積和是相等的.2.

平均數(shù)、方差的公式推廣

1.

判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）對一組數(shù)據(jù)來說，平均數(shù)和中位數(shù)總是非常接近.

（

×

）（2）方差與標(biāo)準(zhǔn)差具有相同的單位.

（

×

）（3）如果一組數(shù)中每個數(shù)減去同一個非零常數(shù)，則這組數(shù)的平均數(shù)改

變，方差不變.

（

√

）××√2.

（人A必修二P181練習(xí)1題改編）為了合理調(diào)配電力資源，某市欲了解

全市50

000戶居民的日用電量.若通過簡單隨機抽樣從中抽取了500戶進行

調(diào)查，得到其日用電量的平均數(shù)為5.5

kW·h，則可以推測全市居民用戶日

用電量的平均數(shù)（

）A.

一定為5.5

kW·hB.

高于5.5

kW·hC.

低于5.5

kW·hD.

約為5.5

kW·h解析：

由樣本的數(shù)字特征與總體的數(shù)字特征的關(guān)系，可知全市居民用

戶日用電量的平均數(shù)約為5.5

kW·h.√3.

（人A必修二P203例2改編）某射擊運動員7次的訓(xùn)練成績分別為86，

88，90，89，88，87，85，則這7次成績的第80百分位數(shù)為（

）A.88.5B.89C.91D.89.5解析：

因為7次的訓(xùn)練成績從小到大排列為85，86，87，88，88，89，

90，且7×80%＝5.6，所以第80百分位數(shù)為從小到大排列的數(shù)據(jù)中的第6個

數(shù)據(jù)，即89.√4.

（人A必修二P224復(fù)習(xí)參考題3題改編）如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均

數(shù)小很多，下列敘述一定錯誤的是（

）A.

數(shù)據(jù)中可能有異常值B.

這組數(shù)據(jù)是近似對稱的C.

數(shù)據(jù)中可能有極端大的值D.

數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同√解析：

如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則數(shù)據(jù)中可能有異常

值，即數(shù)據(jù)中可能有極端大的值，故A、C正確；當(dāng)這組數(shù)據(jù)近似對稱，則

中位數(shù)與平均數(shù)近似相等，一定不會出現(xiàn)中位數(shù)比平均少很多的現(xiàn)象，故

B錯誤；當(dāng)眾數(shù)與中位數(shù)相同時，若其余值大于中位數(shù)，則中位數(shù)就小于

平均數(shù)，如數(shù)據(jù)1，1，1，1，6，8，10，故D可能成立.5.

（人A必修二P216習(xí)題2題改編）甲、乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，

在10天中，兩臺機床每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為：甲：0

1

0

2

2

0

3

1

2

4乙：2

3

1

1

0

2

1

1

0

1分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，從計算結(jié)果看

?機床的性能

更好.乙

PART02考點·分類突破精選考點|課堂演練

總體百分位數(shù)的估計（師生共研過關(guān)）

（1）（2024·江西重點中學(xué)盟校第一次聯(lián)考）某工廠隨機抽取40名工

人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表，則該組數(shù)據(jù)的第

75百分位數(shù)是（

C

）件數(shù)7891011人數(shù)6141082A.8.5B.9C.9.5D.10C

（2）將高三某班60名學(xué)生參加某次數(shù)學(xué)模擬考試所得的成績（成績均為

整數(shù)）整理后畫出頻率分布直方圖如圖，則此班模擬考試成績的80%分位

數(shù)是

.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）124.44

1.

已知100個數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是9.3，則下列說法正確的是（

）A.

這100個數(shù)據(jù)中一定有75個數(shù)小于或等于9.3B.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)C.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的平均

數(shù)D.

把這100個數(shù)據(jù)從小到大排列后，9.3是第75個數(shù)據(jù)和第74個數(shù)據(jù)的平

均數(shù)解析：

因為100×75%＝75，為整數(shù)，所以第75個數(shù)據(jù)和第76個數(shù)據(jù)的

平均數(shù)為第75百分位數(shù)，是9.3，則C正確，其他選項均不正確，故選C.

√2.

（2025·武漢一調(diào)）已知一組數(shù)據(jù)1，2，3，4，x的上四分位數(shù)是x，則

x的取值范圍為（

）A.

{3}B.

[2，3]C.

[3，4]D.

{4}解析：

在五個數(shù)中，上四分位數(shù)為第二大的數(shù)，故1，2，3，4，x中第

二大的數(shù)是x，所以3≤x≤4.√總體集中趨勢的估計（師生共研過關(guān)）

（1）某射擊運動員進行打靶練習(xí)，已知打十槍每發(fā)的環(huán)數(shù)分別為

9，10，7，8，10，10，6，8，9，7，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)

為c，則有（

D

）A.

a＞b＞cB.

c＞a＞bC.

b＞c＞aD.

c＞b＞aD

（2）〔多選〕某城市在創(chuàng)建文明城市的活動中，為了解居民對“創(chuàng)建文

明城市”的滿意程度，組織居民給活動打分（分?jǐn)?shù)為整數(shù)，滿分100

分），從中隨機抽取一個容量為100的樣本，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)均在[40，100]內(nèi).

現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成6組并畫出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部

分圖形，如圖所示.觀察圖形，則下列說法正確的是（

ABC

）ABCA.

頻率分布直方圖中第三組的頻數(shù)為10B.

根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的眾數(shù)為75分C.

根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)為75分D.

根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本的平均數(shù)為75分解析：分?jǐn)?shù)在[60，70）內(nèi)的頻率為1－10×（0.005＋0.020＋0.030＋

0.025＋0.010）＝0.10，所以第三組的頻數(shù)為100×0.10＝10，故A正確；

因為眾數(shù)的估計值是頻率分布直方圖中最高矩形底邊中點的橫坐標(biāo)，從圖

中可看出眾數(shù)的估計值為75分，故B正確；因為（0.005＋0.020＋0.010）

×10＝0.35＜0.5，（0.005＋0.020＋0.010＋0.030）×10＝0.65＞0.5，

所以中位數(shù)位于[70，80）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則0.35＋0.03（x－70）＝

0.5，解得x＝75，所以中位數(shù)的估計值為75分，故C正確；樣本平均數(shù)的

估計值為45×（10×0.005）＋55×（10×0.020）＋65×（10×0.010）

＋75×（10×0.030）＋85×（10×0.025）＋95×（10×0.010）＝73

（分），故D錯誤.解題技法求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的方法（1）眾數(shù)：由定義知，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，即為眾數(shù)，若有

兩個或幾個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)最多，且出現(xiàn)的次數(shù)一樣，這些數(shù)據(jù)都是這組

數(shù)據(jù)的眾數(shù)；若一組數(shù)據(jù)中，每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)一樣多，則認(rèn)為這組數(shù)

據(jù)沒有眾數(shù)；（2）中位數(shù)：若一組數(shù)據(jù)為奇數(shù)個，按照從小到大（或從大到?。┑捻?/p>

序排列，位于中間位置的數(shù)據(jù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；若一組數(shù)據(jù)為偶數(shù)

個，按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，位于中間位置的兩個數(shù)據(jù)

的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；

1.

下表是某城市某日在不同觀測點對細顆粒物（PM2.5）的觀測值：396275268225168166176173188168141157若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，則下列數(shù)字特征沒

有改變的是（

）A.

極差B.

中位數(shù)C.

眾數(shù)D.

平均數(shù)√

2.

〔多選〕（2024·武漢四調(diào)）如圖所示的頻率分布直方圖顯示了三種不

同的分布形態(tài).圖1形成對稱形態(tài)，圖2形成“右拖尾”形態(tài)，圖3形成“左

拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（

）A.

圖1的平均數(shù)＝中位數(shù)＝眾數(shù)B.

圖2的平均數(shù)＜眾數(shù)＜中位數(shù)C.

圖2的眾數(shù)＜中位數(shù)＜平均數(shù)D.

圖3的平均數(shù)＜中位數(shù)＜眾數(shù)√√√解析：

圖1所示的頻率分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)＝中位

數(shù)＝眾數(shù)，故A正確；圖2眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B

錯誤，C正確；圖3左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故

選A、C、D.

總體離散程度的估計（定向精析突破）考向1

方差與標(biāo)準(zhǔn)差

（2023·全國乙卷理17題）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產(chǎn)品伸

縮率的處理效應(yīng)，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質(zhì)相同的兩個

橡膠產(chǎn)品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量

處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率，甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產(chǎn)品的伸縮率

分別記為xi，yi（i＝1，2，…，10），試驗結(jié)果如下：試驗序號i12345伸縮率xi545533551522575伸縮率yi536527543530560試驗序號i678910伸縮率xi544541568596548伸縮率yi533522550576536

解：

由題意，求出zi的值如表所示，試驗序號i12345678910zi968－8151119182012

解題技法

標(biāo)準(zhǔn)差（方差）反映了數(shù)據(jù)的離散與集中、波動與穩(wěn)定的程度.標(biāo)準(zhǔn)

差（方差）越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差（方差）越小，數(shù)據(jù)的離

散程度越小.考向2

分層隨機抽樣的方差與標(biāo)準(zhǔn)差

（2024·鷹潭一模）某單位為了解職工體重情況，采用分層隨機抽樣

的方法從800名職工中抽取了一個容量為80的樣本.其中，男性平均體重為

64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比

為5∶3，則該單位職工體重的方差為（

）A.166B.167C.168D.169√

1.

〔多選〕（2025·新鄉(xiāng)模擬）已知由5個數(shù)據(jù)組成的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

7，方差為2，現(xiàn)再加入一個數(shù)據(jù)1，組成一組新數(shù)據(jù)，則（

）A.

這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3B.

這組新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為6C.

這組新數(shù)據(jù)的方差為

D.

這組新數(shù)據(jù)的方差為

√√

2.5

3.

某班成立了A，B兩個數(shù)學(xué)興趣小組，A組10人，B組30人，經(jīng)過一周

的補習(xí)后進行了一次測試，在該測試中，A組的平均成績?yōu)?30分，方差為

115，B組的平均成績?yōu)?10分，方差為215.則在這次測試中全班學(xué)生的平

均成績?yōu)?/p>

分，方差為

?.

115265PART03課時·跟蹤檢測關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

12345678910111213141516171819202022232425

A.

B.

C.

D.

√2.

（2025·湖南長郡中學(xué)模擬）已知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和

標(biāo)準(zhǔn)差均為4，則數(shù)據(jù)－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均數(shù)與方差分

別為（

）A.

－5，4B.

－5，16C.4，16D.4，4解析：

由題意知樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x100的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差均為4，

則x1，x2，…，x100的方差為16，則－x1，－x2，…，－x100的平均數(shù)為－

4，方差為（－1）2×16＝16，故－x1－1，－x2－1，…，－x100－1的平均

數(shù)為－4－1＝－5，方差16，故選B.

√3.

（2024·菏澤一模）已知樣本數(shù)據(jù)為x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，去掉

一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定

不變的是（

）A.

極差B.

平均數(shù)C.

中位數(shù)D.

方差√

4.

某校高一年級開設(shè)了校本課程，現(xiàn)從甲、乙兩班各隨機抽取了5名學(xué)生

校本課程的學(xué)分，統(tǒng)計如下表所示，s1，s2分別表示甲、乙兩班抽取的5名

學(xué)生校本課程學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則（

）甲811141522乙67102324A.

s1＞s2B.

s1＜s2C.

s1＝s2D.

s1，s2的大小不能確定√

5.

〔多選〕（2025·阜陽模擬）關(guān)于一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾

數(shù)、頻率分布直方圖和方差，下列說法正確的是（

）A.

改變其中一個數(shù)據(jù)，平均數(shù)和眾數(shù)都會發(fā)生改變B.

頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積應(yīng)該相等C.

在數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，眾數(shù)一定是該直方圖中最高矩形底邊的某

個（些）點的橫坐標(biāo)D.

樣本數(shù)據(jù)的方差越小，說明樣本數(shù)據(jù)的離散程度越小√√√解析：

對于A中，例如：數(shù)據(jù)1，3，3，將數(shù)據(jù)改成2，3，3，數(shù)據(jù)

的眾數(shù)未改變，仍為3，A錯誤；對于B中，根據(jù)頻率分布直方圖中中位數(shù)

的求法，頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積應(yīng)該相

等，B正確；對于C中，根據(jù)眾數(shù)的意義可知，由頻率分布直方圖估計眾數(shù)

時，一般用最高矩形的中點橫坐標(biāo)近似代替，C正確；對于D中，樣本數(shù)據(jù)

方差越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定，離散程度越小，D正確.故選B、C、D.

6.

〔多選〕（2024·菏澤三模）某燈具配件廠生產(chǎn)了一種塑膠配件，該廠

質(zhì)檢人員某日隨機抽取了100個該配件的質(zhì)量指標(biāo)值（單位：分）作為一

個樣本，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)

間的中點值作代表）（

）A.

m＝0.030B.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為75C.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的眾數(shù)小于其平均數(shù)D.

樣本質(zhì)量指標(biāo)值的第75百分位數(shù)為85√√√

7.

為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間，采用樣本量比例分配的分層隨機抽

樣方法，現(xiàn)抽取初中生800人，其每天睡眠時間的均值為9小時，方差為

1，抽取高中生1

200人，其每天睡眠時間的均值為8小時，方差為0.5，則

估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為

?.

0.94

489.

某種治療心臟病的中藥產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越

大表明質(zhì)量越好.為了提高中藥產(chǎn)品的質(zhì)量，我國醫(yī)療科研專家攻堅克

難，研發(fā)出A，B兩種新配方，在這兩種新配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取數(shù)

量相同的樣本，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，規(guī)定質(zhì)量指標(biāo)值小于85為廢

品，在[85，115）為一等品，不小于115為特等品.現(xiàn)把測量數(shù)據(jù)整理如

下，其中B配方的樣本中有6件廢品.A配方的頻數(shù)分布表質(zhì)量指標(biāo)值[75，

85）[85，

95）[95，

105）[105，

115）[115，125]頻數(shù)8a36248（1）求實數(shù)a，b的值；

（2）試確定A配方和B配方哪一種更好.（說明：在統(tǒng)計方法中，同一組

數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值作代表）

A.

樣本眾數(shù)B.

樣本中位數(shù)C.

樣本標(biāo)準(zhǔn)差D.

樣本平均數(shù)

√11.

〔多選〕（2023·新高考Ⅰ卷9題）有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x6，其

中x1是最小值，x6是最大值，則（

）A.

x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，…，x6的平均數(shù)B.

x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，…，x6的中位數(shù)C.

x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，…，x6的標(biāo)準(zhǔn)差D.

x2，x3，x4，x5的極差不大于x1，x2，…，x6的極差√√

12.

（創(chuàng)新知識交匯）〔多選〕新高考模式下，化學(xué)、生物等學(xué)科實施賦

分制，即通過某種數(shù)學(xué)模型將原始分換算為標(biāo)準(zhǔn)分.某校在一次高三模擬

考試中實施賦分制的方式，其中應(yīng)用的換算模型為：y＝kx＋b（k，

b∈R），其中x為原始分，y為換算后的標(biāo)準(zhǔn)分.已知在本校2

000名高三

學(xué)生中某學(xué)科原始分最高得分為150分，最低得分為50分，經(jīng)換算后最高

分為150分，最低分為80分.則以下說法正確的是（

）A.

若學(xué)生甲本學(xué)科考試換算后的標(biāo)準(zhǔn)分為115分，則其原始得分為100分B.

若在原始分中學(xué)生乙的得分為中位數(shù)，則換算后學(xué)生乙的分?jǐn)?shù)仍為中位數(shù)C.

該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分與標(biāo)準(zhǔn)分的標(biāo)準(zhǔn)差相同D.

該校本學(xué)科高三全體學(xué)生得分的原始分的平均分低于標(biāo)準(zhǔn)分的平均分√√√

13.

某公司購買了A，B，C三種不同