第二節(jié)二項(xiàng)式定理高中總復(fù)習(xí)·數(shù)學(xué)課標(biāo)要求1.

能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.

會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.目錄CONTENTS知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)01.考點(diǎn)·分類(lèi)突破02.課時(shí)·跟蹤檢測(cè)03.PART01知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)必備知識(shí)|課前自修1.

二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理（a＋b）n＝

?

（n∈N*）二項(xiàng)展開(kāi)式的

通項(xiàng)Tk＋1＝

，它表示展開(kāi)式的第

?項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)

（k＝0，1，…，n）

k＋1

提醒

（1）項(xiàng)數(shù)為n＋1；（2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，

即a與b的指數(shù)的和為n；（3）字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)

由n逐項(xiàng)減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增

1直到n.2.

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

1.

若二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r＋1＝g（r）·xh（r）（r＝0，1，2，…，n），g（r）≠0，則：（1）h（r）＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)；（2）h（r）是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)；（3）h（r）是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)；（4）h（r）是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng).

1.

判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）

（2）二項(xiàng)展開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為中間一項(xiàng)或中間兩項(xiàng).

（

×

）（3）（a＋b）n的展開(kāi)式中某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無(wú)關(guān).

（

√

）××√

A.45B.20C.

－30D.

－90

√3.

（人A選三P38復(fù)習(xí)參考題3（5）題改編）若（2x－1）4＝a4x4＋a3x3＋

a2x2＋a1x＋a0，則a0＋a2＋a4＝（

）A.40B.41C.

－40D.

－41

√

201PART02考點(diǎn)·分類(lèi)突破精選考點(diǎn)|課堂演練

二項(xiàng)式中的特定項(xiàng)及系數(shù)問(wèn)題（基礎(chǔ)自學(xué)過(guò)關(guān)）

A.1B.2C.

±1D.

±2

√

A.27B.24C.26D.25

√

A.6B.7C.8D.9

√

1練后悟通求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的步驟二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)與各項(xiàng)系數(shù)的和（定向精析突破）考向1

二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)和問(wèn)題

在二項(xiàng)式（2x－3y）9的展開(kāi)式中，求：（1）二項(xiàng)式系數(shù)之和；

解：設(shè)（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.（2）各項(xiàng)系數(shù)之和；解：各項(xiàng)系數(shù)之和為a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝1，y＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.（3）所有奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和；

（4）系數(shù)絕對(duì)值之和.解：｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝a0－a1＋a2－…－a9，由

（3）知｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a9｜＝59.解題技法賦值法的應(yīng)用（1）對(duì)形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，

n∈N*）的式子求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可；（2）對(duì)（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)

之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；

考向2

二項(xiàng)式系數(shù)的最值問(wèn)題

A.

－126B.

－70C.

－56D.

－28√

A.

常數(shù)項(xiàng)為160B.

第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大C.

第3項(xiàng)的系數(shù)最大D.

所有項(xiàng)的系數(shù)和為64√√

2.

設(shè)m為正整數(shù)，（x＋y）2m展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，（x＋

y）2m＋1展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a＝7b，則m＝

?.

6多項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題（定向精析突破）考向1

幾個(gè)多項(xiàng)式和展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題

在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋

（1＋x）6的展開(kāi)式中，含x3項(xiàng)的系數(shù)是（

）A.25B.30C.35D.40√

解題技法

對(duì)于幾個(gè)二項(xiàng)式和的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題，只需依據(jù)二項(xiàng)

展開(kāi)式的通項(xiàng)，從每一個(gè)二項(xiàng)式中分別得到特定的項(xiàng)，再求和即可.也可

以先對(duì)二項(xiàng)式求和，化簡(jiǎn)后再依據(jù)通項(xiàng)公式確定特定項(xiàng)（系數(shù)）.考向2

幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題

（1）（2024·蚌埠第三次質(zhì)量檢測(cè)）（1－x＋x2）2·（1＋x）3的展

開(kāi)式中，x4的系數(shù)為（

B

）A.1B.2C.4D.5解析：

依題意，（1－x＋x2）2＝1＋x2＋x4－2x＋2x2－2x3＝1－2x

＋3x2－2x3＋x4，（1＋x）3＝1＋3x＋3x2＋x3，所以（1－x＋x2）2·（1

＋x）3的展開(kāi)式中，x4的系數(shù)為－2×1＋3×3－2×3＋1×1＝2.故選B.

B

±2

解題技法

對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開(kāi)式中的特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題，一般都可以根

據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類(lèi)方法，

以免重復(fù)或遺漏.考向3

三項(xiàng)式展開(kāi)式中特定項(xiàng)（系數(shù)）問(wèn)題

A.

－840B.

－420C.420D.840√

解題技法（a＋b＋c）n展開(kāi)式中特定項(xiàng)的求解方法

－402.

（x－3y＋2）5的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為

，所有不含字母x的項(xiàng)的

系數(shù)之和為

?.解析：由多項(xiàng)式知常數(shù)項(xiàng)為25＝32.令x＝0，y＝1，即得所有不含字母x

的項(xiàng)的系數(shù)之和，所以所求系數(shù)之和為（0－3×1＋2）5＝（－1）5＝－1.3.

已知多項(xiàng)式（x－1）3＋（x＋1）4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，則a1

＝

；a2＋a3＋a4＝

?.

32－15

10PART03課時(shí)·跟蹤檢測(cè)關(guān)鍵能力|課后練習(xí)

1.

（2025·安徽六校第二次素養(yǎng)測(cè)試）（1－ax）6的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為

160，則a＝（

）A.2B.

－2C.4D.

－4

12345678910111213141516171819202022232425√2.

（2024·武漢四調(diào)）（2x－3）（x－1）5的展開(kāi)式中x3的系數(shù)為

（

）A.

－50B.

－10C.10D.50

√

A.180B.90C.45D.360

√4.

（1＋ax＋by）n（a，b為常數(shù)，a，b，n∈N*，n≥2）的展開(kāi)式中

不含x的項(xiàng)的系數(shù)和為243，則n的值為（

）A.3B.4C.5D.6解析：

展開(kāi)式中不含x的項(xiàng)是（1＋by）n，展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為（1

＋b）n＝243＝35，因?yàn)閎∈N*，所以n＝5，故選C.

√5.

（2024·武漢五調(diào)）若（1＋2x）10＝a0＋a1（1＋x）＋a2（1＋x）2

＋…＋a10（1＋x）10，則a2＝（

）A.180B.

－180C.

－90D.90

√

A.

二項(xiàng)式系數(shù)之和為32B.

第3項(xiàng)的系數(shù)最大C.

所有項(xiàng)系數(shù)之和為－1D.

不含常數(shù)項(xiàng)√√√

7.

設(shè)（1＋2x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a3＝2a2，則n＝

?.

5

－129.

已知（2x－1）5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，則｜a0｜＋｜

a1｜＋…＋｜a5｜＝

?.解析：令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，①.令x＝－1，得－a5＋

a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243，②.①＋②，得2（a4＋a2＋a0）＝－242，

即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2（a5＋a3＋a1）＝244，即a5＋a3＋a1

＝122.所以｜a0｜＋｜a1｜＋…＋｜a5｜＝122＋121＝243.243

10.

（x＋y－2z）5的展開(kāi)式中，xy2z2的系數(shù)是（

）A.120B.

－120C.60D.30

√11.

若（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9（x＋1）

9，且（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1＋a3＋…＋a9）2＝39，則實(shí)數(shù)m的值可

以為（

）A.1或－3B.

－1C.

－1或3D.

－3√解析：

在（x＋2＋m）9＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a9

（x＋1）9中，令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，即

（a0＋a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）＝m9；令x＝0，可得a0＋a2

＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9＝（2＋m）9.∵（a0＋a2＋…＋a8）2－（a1

＋a3＋…＋a9）2＝39，∴（a0＋a2＋…＋a8＋a1＋a3＋…＋a9）·[（a0＋

a2＋…＋a8）－（a1＋a3＋…＋a9）]＝39，∴（2＋m）9·m9＝（2m＋

m2）9＝39，整理得2m＋m2＝3，解得m＝1或m＝－3，故選A.

12.

（2025·常德模擬）已知（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2

＋…＋a8（x－1）8＋a9（x－1）9，則a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝

（

）A.9B.10C.18D.19√解析：

由（2x－3）9＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a8（x－

1）8＋a9（x－1）9得，（x－1）·（2x－3）9＝a0（x－1）＋a1（x－1）

2＋a2（x－1）3＋…＋a8（x－1）9＋a9（x－1）10，分別對(duì)兩邊進(jìn)行求導(dǎo)

得（2x－3）9＋18（x－1）（2x－3）