第27課時(shí)與圓有關(guān)的位置關(guān)系

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.（2024.上海）在AABC中AC=3,3C=45A5=5,點(diǎn)P在△ABC內(nèi),分別以A,5,P為圓心畫圓，圓A半

徑為1,圓3半徑為2,圓尸半徑為3,圓A與圓尸內(nèi)切，圓P與圓3的關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.相交C.外切D.相離

2.（2024.邯鄲模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,過格點(diǎn)A,B,C作一圓弧，點(diǎn)B與下列格點(diǎn)的連線中,

能夠與該圓弧相切的是（）

A.點(diǎn)(0,3)B.點(diǎn)(1,3)C.點(diǎn)(6,0)D.點(diǎn)(6,1)

3.（2024.福建）如圖,已知點(diǎn)A,B在。。上,NAO3=72。,直線MN與OO相切,切點(diǎn)為C,且C為端的

中點(diǎn)，則NACM等于（）

A.180B.30°C.360D.720

4.（2024.石家莊橋西區(qū)二模）如圖，在△ABC中,A5=8AC=6,。"ABC的內(nèi)心，若△A3。的面積為

20,則△AC。的面積為（）

5.（2024?瀘州）如圖,是O。的切線，切點(diǎn)為AQ,點(diǎn)民C在O。上，若/34石+/3。。=236。,則N

E=

A.560B.60°C.680D.70°

6.(2024.張家口一模)如圖是AABC的角平分線BO,CO的交點(diǎn)，請(qǐng)用NA表示NQ

某同學(xué)的做法如下：

?.?。是AABC的角平分線BO,CO的交點(diǎn)，

11

Z1=|ZABC,Z2=|ZACB,

111

：.Z1+Z2=-ZABC+-ZACB=-(ZABC+ZACB).

222、/

又：ZABC+ZACB=18Q°-ZA,

11

/.Zl+Z2=i(180°-ZA)=90o-jZA,

...在中,/0=180°-(/1+/2)=180°-(90。彳24)=90°+3/4.

下列說法正確的是()

A.該同學(xué)的做法只用了一次“三角形內(nèi)角和定理”

B.該結(jié)論只適用于銳角三角形

C.若把是AABC的角平分線BO,CO的交點(diǎn)”替換為“。是AABC的外心”，該結(jié)論不變

D.若把是AABC的角平分線BO,CO的交點(diǎn)”替換為“。是△ABC的內(nèi)心”，該結(jié)論不變

7.(2024.唐山一模)如圖,A3是半圓。的直徑，點(diǎn)C,D將弧A3分成相等的三段弧，點(diǎn)〃在A3的延

長(zhǎng)線上，連接MD三個(gè)人給出以下說法：

AoBM

甲:若MD為半圓。的切線，則能得出NOAffi>=30。;

乙:若連接AC,CD^JNACD=13O。；

丙:若連接AC,皿則AC=BD.

三位同學(xué)給出的結(jié)論正確的是()

A.甲和乙B.乙和丙

C.甲和丙D.只有甲

8.如圖5AB是O。的直徑,AC與。。相切5A為切點(diǎn)，連接3C已知NAC3=50。,貝UN3的度數(shù)

為

9.(2024.涼山州)如圖,OM的圓心為“(4,0)泮徑為2,P是直線產(chǎn)x+4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作。M

的切線，切點(diǎn)為。，則PQ的最小值為.

10.如圖,A3是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)R過A點(diǎn)作O。的切線打在m上取一點(diǎn)P,使PA=PD.

直線DP與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q,QD=3gQA=3.

⑴求證:直線QD是O。的切線.

(2)求。。的半徑和DC的長(zhǎng).

能力提升

<_________________________________________J

1.(2024.廣州)如圖,0。中，弦A3的長(zhǎng)為46,點(diǎn)C在。。上,OC，A3,NABC=30。.。。所在的平面

內(nèi)有一點(diǎn)P,若0P=5,則點(diǎn)尸與。。的位置關(guān)系是)

A.點(diǎn)尸在O。上B.點(diǎn)P在O。內(nèi)

C.點(diǎn)P在O。外D.無法確定

2.數(shù)學(xué)文化劉徽（今山東濱州人）是魏晉時(shí)期我國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家，他在注釋《九章算術(shù)》時(shí)十分重視

一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo),他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形

式.如圖,RtZXABC中,/。=90。4民3。,。4的長(zhǎng)分別為則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC

的內(nèi)切圓直徑d,下列表達(dá)式錯(cuò)誤的是（）

A.d=a+b-c

a+b+c

C.d=j2(c-a)(c-b)

D.d=\(a-b)(c-b)\

3.如圖，在AABC中,4。=2,3。=1,/4匿=90。,點(diǎn)D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A,B不重合），過點(diǎn)

D作DELAC,連接CD.

（l）ACDE外接圓的直徑的最小值是.

（2）ACDE內(nèi)切圓的半徑的最大值是.

【詳解答案】

基礎(chǔ)夯實(shí)

1.B解析:?..圓A的半徑為1,圓P半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切,

圓A在圓P內(nèi)，即24=3-1=2,

...尸在以A為圓心、2為半徑的圓與AABC相交形成的弧上運(yùn)動(dòng)，如圖所示:

...當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到P位置時(shí)，圓P與圓8圓心距離PB最大,

為W+42=V17,

：舊＜3+2=5,圓P與圓2圓心距最小為3,...圓P與圓2相交，故選B.

2.B解析:如圖，：過格點(diǎn)AB,C作一圓弧,

...三點(diǎn)組成的圓的圓心為:012,0),

只有ZO'BD+/即尸=90。時(shí),8尸與圓相切，

:.叢BO'D迫叢FBE,

：.EF=BD=2,

.,.點(diǎn)F的坐標(biāo)為(5,1),直線BF過點(diǎn)(1,3),

...點(diǎn)B與格點(diǎn)(1,3)的連線能夠與該圓弧相切.故選B.

3.A解析:為崩的中點(diǎn),NAOB=72。，

ZAOC=ZBOC=36°,

\'OA=OC,

：.ZAC0=Z0AC=12°,

:直線MN與。。相切,切點(diǎn)為C,

：.ZOCM=90°,

：./ACM=/OCM-NACO=90°-72°=18°.故選A.

4.B解析:「。為△ABC的內(nèi)心，

二點(diǎn)O到ABAC的距離相等，

：.S^AOB-S^AOC=AB：AC=8:6=4：3.

VAABO的面積為20,

：./\ACO的面積為15.故選B.

5.C解析:如圖，連接AD,

,/四邊形ABCD是。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZBAD+ZBCD=18Q°,

ZBAE+ZBCD=2.36°,

.?.ZEAD+ZBA￡)+ZBCZ)=ZEAZ)+180o=236o,

ZEAD=56°,

,：EA,ED是。。的切線，切點(diǎn)為A,D,

：.EA=ED,

：.ZEDA=ZEAD=56°,

：./E=180°-/EZM-/EAZ)=180°-56°-56°=68°.故選C.

6.D解析:A.該同學(xué)的做法中,兩次利用三角形內(nèi)角和定理，因此選項(xiàng)A不符合題意；

B.該結(jié)論適用于所有三角形，因此選項(xiàng)B不符合題意；

C.若把“O是△ABC的角平分線BO,CO的交點(diǎn)”替換為“O是aABC的外心”，其結(jié)論變?yōu)?。=2NA,因此選項(xiàng)C

不符合題意；

□.△ABC的內(nèi)心就是三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，與原題相同，因此其結(jié)論不變，所以選項(xiàng)D符合題意.故選D.

7.C解析:如圖，甲:連接O2OC,

A.dBM

:點(diǎn)C,D將弧AB分成相等的三段弧,

：.AC=CD=BD,

：.ZAOC^ZC0D=ZDOB=60°,

■:MD為半圓0的切線是半徑，

Z0DM=9Q°,

；./OMO=30。,故甲正確;

乙:連接AC,CD,

??OD,OC是半徑,/AOC=/COO=60。，

AAOC,A￡>OC都是等邊三角形，

ZACO=ZZ)CO=60°,

/ACD=120°,故乙錯(cuò)誤；

丙:連接AC、BD,

\'AC=BD,

...AC=B￡),故丙正確，

結(jié)論正確的是甲和丙.故選C.

8.40°解析:TAB是。。的直徑/1C與。。相切人為切點(diǎn),

：.BA±AC,

：.NA4c=90。，

ZACB=50°,

：.ZB=90°-50°=40°.

9.2V7解析:如圖，連接MP,MQ,

是。M的切線，

：.MQ±PQ,

：.PQ=JPM2-MQ2=7PM2-4,

...當(dāng)PM最小時(shí),PQ最小，

當(dāng)MPLAB時(shí),A/尸最小，

易知直線y=x+4與無軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為G4,0),與y軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),

，OA=O8=4,

ZBAO=45°,AM=8,

當(dāng)MPLAB時(shí)，

MP=AM-smZBAO=Sx^=4-^2,

2

：.PQ的最小值為:J(4/產(chǎn)4=V28=2V7.

10.解:⑴證明:如圖，連接OP,OD,

:直線機(jī)與。。相切，

：.OA±AP,

：.ZOAP=90°,

VA=OD

在△。4尸和△OOP中,10P=OP,

=PD

：.AOAP^AODPCSSS),

???ZODP=ZOAP=90°,

：.ODLQD,

???O0是。。的半徑，

???直線。。是。。的切線.

(2)設(shè)。。的半徑為八

ZODQ=90°,

：.002=。02+。。2

???(3+廠)2=/+(3同2,

.*.r=3,

?：tanZDOQ=^=苧=百，

Z￡>02=60°,

：.DF=0DsinZD0Q=3xsm60。=尊,

"：CDLAB,

：.DC=2DF=2x^-=3y/3.

能力提升

1.C解析:如圖，設(shè)AB與。C交于點(diǎn)2

C

:弦AB的長(zhǎng)為4V3,OC±AB,

：.AD=BD=

|AB=2V3,

ZABC=30°,

：.ZAOD=2ZABC=60°,

：.ZA=90°-60°=30°,

???OA=2OD,

設(shè)羽貝U0A=2x,

在RtAAOD中,OZ)2+AO2=OA2,即/+(2百)2=(2%)2,

解得產(chǎn)口(負(fù)值舍去)，

OA=2x=4,

'：0P=5,

：.OP>OA,

...點(diǎn)尸在圓。外.故選c.

2.D解析:如圖，過點(diǎn)0作0ELAC于點(diǎn)E,0DLBC于點(diǎn)D,0F±AB于點(diǎn)F.

易證四邊形0ECD是正方形，設(shè)0E=0D=0F=r,

則EC=CD=r,

AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,

'：AF+BF=AB,

b-r+a-r=c,

,a+b-c

??L丁，

故選項(xiàng)A正確.

.S5=S%"+S1C+S3°B

1,11,1

?-ab=-ar+-br+-cr,

2222

.ab=r(a+b+c),

片高，即聲言士.故選項(xiàng)B正確?

\?由前面可知d=a+b-c,

d2=(a+b-c)1=(a+b)1-2c(a+b)+c1=a2-^2ab+b1-2ac-2bc+c1,

???居+廬二代

?二上述式子=2c2+2ab-2