第9講直角三角形的性質(zhì)與判定

考點一直角三角形的性質(zhì)

【知識點睛】

?直角三角形的性質(zhì)：

兩銳角互余；

斜邊上的中線一斜邊長

30°角所對的直角邊=%斜邊長

直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用常結(jié)合相關(guān)性質(zhì)有：

直角三角形

垂直的意義；

平行線的性質(zhì)；

等腰三角形等邊對等角；

角平分線的性質(zhì)；

三角形內(nèi)角和與外角和定理；

全等三角形的對應(yīng)角相等；

?Rt△中求角度時，有時是直角三角形性質(zhì)的單獨應(yīng)用，有時也是三角形有關(guān)角度性質(zhì)的

綜合考察；NA

?注意事項：如右圖，當(dāng)Rt△斜邊上的中線的條件出現(xiàn)時，常見考察方向有：R

①CD=%AB（或AB=2CD）；②AD=CD=BD,即^ACD、Z\BCD均為等腰三角形；X

【類題訓(xùn)練】

1.已知，在直角△ABC中，NC為直角，是/A的2倍，則NA的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.70°D.90°

2.如圖，已知RtZ\ABC和RtZXQEF,ZBAC=ZEDF=90°，點、F、A、D、C共線，AB.

E尸相交于點且EfUBC,則圖中與/￡相等的角有（）個.

3.如圖，在中，ZACB=90°,CDLAB,垂足為D.下列結(jié)論中，不一定成立

的是（）

B

D

A.NA與/I互余B.與/2互余C.ZA=Z2D.Z1=Z2

4.一個直角三角形斜邊上的中線為5,斜邊上的高為4,則此三角形的面積為（）

A.40B.30C.20D.10

5.如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,平分/CAB,且/B=30°,49=4,點E是AB

上一動點，則。，E之間的最小距離為（）

C.2D.1

6.如圖，木桿A2斜靠在墻壁上，尸是的中點，當(dāng)木桿的上端A沿墻壁NO豎直下滑時,

木桿的底端B也隨之沿著射線方向滑動,則下滑過程中OP的長度變化情況是（）

B.不斷變小

C.不變D.先變大再變小

7.如圖，在△ABC中，AE_L8C于點E,BO_LAC于點。，點尸是4B的中點，連接。F、

EF,設(shè)/DFE=a,則NC的度數(shù)可表示為（）

C

A.aB.2aC.90°-aD.90°-Aa

2

8.如圖，在等邊AABC中，AB=10,P為8C上任意一點（不與端點8,C重合），過點P

分別作POLAB于點D,PELAC于點E.若PE=2^，則PD的長為（)

A

A.3B.C.5V3-6D.373

9.在△ABC中，NA=90°,ZB-ZC=14",則NB=0,NC=0.

10.如圖，在直角三角形ABC和直角三角形A3。中，ZACB=ZADB=90°,AB=10,M

是A8的中點，連接MC,MD,CD,若CD=6,則三角形MCD的面積為.

11.在Rt^ABC中，ZC=90°,其中一個銳角為60°,AB=10.若點°在直線AB上(不

與點A、8重合)，當(dāng)/QCB=30°時，C。的長為.

12.將一副三角板拼成如圖所示的圖形，過點C作C/〃交于點足

(1)求證：CF平分/DCE；

(2)求/。FC的度數(shù).

13.已知：如圖，△ABC中，/54C與NACB的平分線交于點。，過點D的AC的平行線

分別交A8于E,交BC于F.

(1)求證：EF^AE+CF；

(2)若NACB=90°，N2AC=30°,BC=3,求△BEF的周長.

14.如圖，在△ABC中，/C=90°,點尸在AC上運動，點。在AB上，PD始終保持與

E4相等，DELPD交BC于點、E.

(1)求證：點E在8。的垂直平分線上；

(2)若/DEB=cc,

①求NCPD的度數(shù)；(用含a的式子表示)

②當(dāng)a=UO°時，求乙4的度數(shù).

15.如圖，BN,CM分別是AABC的兩條高，點。，E分別是BC,的中點.

(1)求證：DE1MN；

(2)若8C=26,MN=\O,求OE的長.

考點二直角三角形的判定

【知識點睛】

?直角三角形判定的方法：

①有一個角為直角的△是直角三角形；

②有兩個內(nèi)角互余的△是直角三角形

③一邊上的中線=這邊長度的一半的△是直角三角形；

④30°角所對的邊長=30。角臨邊的一半的△是直角三角形

⑤勾股定理逆定理也可用于判定直角三角形

?注意事項：

①上面直角三角形判定方法中，在綜合問題中，第③條需要利用等邊對等角與內(nèi)角和

證明之后才能用，選擇填空可以直接應(yīng)用；

②常見利用角度證明直角三角形的類型有：ZA+ZB=90°；ZA+ZB=ZC；NA也/

B=1A/C；ZA：ZB：ZC=a：b：c且a+b=c；

【類題訓(xùn)練】

1.在△ABC中，滿足下列條件：

①/A=60。；

?ZA=ZC-ZB；

③/A：ZB：NC=1：1：2；

④/A=90°-NC.

其中，判定AABC是直角三角形的有（)

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.如圖，在△ABC中，點P在邊BC上(不與點8,點C重合)，()

A.若N3AC=90°,ZBAP=ZB,貝l|AC=PC

B.若/BAC=90°,ZBAP=ZC,貝UAP_LBC

C.若AP_LBC,PB=PC,則/ft4c=90°

D.若PB=PC,ZBAP=ZCAP,則N8AC=90°

3.如圖，在由25個邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以AB為邊畫RCABC,使點C在格

點上，滿足這樣條件的點C共()個.

4.如圖，已知點P是射線ON上一動點(即P可在射線ON上運動)，ZAON=40°,

(1)當(dāng)NA=時，△AO尸為直角三角形；

(2)當(dāng)NA滿足時，ZVIOP為鈍角三角形.

5.如圖，已知。是線段BC的延長線上一點，ZACD=ZACB,ZCOD=ZB,求證：△

AOE是直角三角形.

6.如圖，在△ABC中，NA=30°,/B=60°,CE平分NACB.

(1)求NACE的度數(shù).

(2)若COL42于點。，NCDF=15°,求證：△CfD是直角三角形.

c

7.如果三角形中任意兩個內(nèi)角Na與N0滿足2/a+/|3=90°,那么我們稱這樣的三角形

為“準(zhǔn)直角三角形”.

（1）在AABC中，若NA=100°,ZB=70°,試判斷△ABC是否是“準(zhǔn)直角三角形”,

并說明理由；

（2）如果△ABC是“準(zhǔn)直角三角形"，那么△ABC是—；（從下列四個選項中選擇，

填寫符合條件的序號）（①銳角三角形；②直角三角形；③鈍角三角形；④都有可能）

（3）如圖，在△ABC中，NA=25°,/C=75°,2。平分NABC交AC于點D

①若DE〃BC交AB于點E,在①△ADE,②ABDE,③ABDC,④△A3。中“準(zhǔn)直角

三角形”是—（填寫序號），并說明理由；

②在直線AB上取一點尸，當(dāng)△8FD是“準(zhǔn)直角三角形”時，求出NQEB的度數(shù).

【綜合練習(xí)】

1.如圖，公路AC,8c互相垂直，公路的中點M與點C被湖隔開，若測得48的長為

2.8km,則M,C兩點間的距離為（

A.1.5kmB.2.8kmC.1AkmD.1.9km

2.如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,點。為A8的中點，點E在AC上，S.AE=BE,

連接C。交BE于點孔若/A=25°,則NQEE的度數(shù)（)

A.65°B.70°C.75°D.80°

3.如圖，在RtZkABC中，D,E為斜邊A3上的兩個點，且BD=BC,AE^AC,則/。CE

的度數(shù)為（）

A.30°B.36°C.45°D.48°

4.如圖，小明在計算機(jī)上用“幾何畫板”畫了一個RtAABC,ZC=90°,并畫出了兩銳

角的角平分線A。，BE及其交點凡小明發(fā)現(xiàn)，無論怎樣變動RtaABC的形狀和大小，

ZAFB的度數(shù)是定值.這個定值為一.

5.如圖，在△ABC中，AB=AC=10,ZABC=15°,則△ABC的面積為

6.由12個有公共頂點O的直角三角形拼成的圖形如圖所示，ZAOB=ZBOC^-=ZLOM

=30°.若OA=16,則OK的長為

D

7.如圖，在RtZxABC中，AB=CB,ZAB