重難點(diǎn)突破01奔馳定理與四心問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一：奔馳定理...............................................................3

題型二：重心定理...............................................................5

題型三：內(nèi)心定理...............................................................6

題型四：外心定理...............................................................6

題型五：垂心定理...............................................................7

03過關(guān)測試.....................................................................8

亡法牯自與.柒年

//\\

技巧一.四心的概念介紹：

（1）重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2：1.

（2）內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心），角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

（3）外心：中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心），外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等.

（4）垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直.

技巧二.奔馳定理…解決面積比例問題

重心定理：三角形三條中線的交點(diǎn).

已知AABC的頂點(diǎn)4不，%）,B（X2,%），C（W，為），貝IAABC的重心坐標(biāo)為

,3，3

注意：（1）在中，若O為重心，貝I］西+麗+05=6.

（2）三角形的重心分中線兩段線段長度比為2：1,且分的三個三角形面積相等.

重心的向量表示：AG=-AB+-AC.

33

奔馳定理：SAOA-\-SBOB-\-SCOC=Q,則△AO3、△AOC、秘。。的面積之比等于

%：4：4

奔馳定理證明：如圖，令4礪=兩，4礪=砥，^oc=oc[,即滿足西i+礪1+南=o

S/MOB_]_]S^BOC_]+A-o.c.c

一'，，l-LK.U△4cn?u△4—?*3A/Lo?Zin?/b|?

技巧三.三角形四心與推論：

(1)。是△ABC的重心：S.BOC:S.COA:S,A0B=1:1:1^OA+OB+OC=Q.

(2)O是/\ABC的內(nèi)心：S^BOC:S^COA:S^AOB=a：b:coaOA+bOB+cOC=6.

(3)O是△/$(7的外心：

Sgoc-^/\COA:S摻OB-sin2A:sin2B:sin2Cosin2AOA+sin2BOB+sin2COC=6.

（4）O是△ABC的垂心:

Sgoc:SACOA:SAAOB=tanA:tanB:tanCotanAOA+tanBOB+tanCOC=0.

技巧四.常見結(jié)論

（1）內(nèi)心：三角形的內(nèi)心在向量黑+昌所在的直線上.

網(wǎng)M

|^B|-PC+|BC|-PC+|G4|-PB=（）O尸為人針。的內(nèi)心.

（2）外心：|兩口而1=1定|o尸為△ABC的外心.

（3）垂心：麗?麗=麗?無=無?巨IoP為ZSABC的垂心.

（4）重心：西+麗+元=。oP為△ABC的重心.

題型一：奔馳定理

【典例1-1】已知。為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足次+/DS+（/-l）宓=6,若的面積與A。4c的面積的比值

為：，則力的值為（）

4

,1?2__?

【典例1-21點(diǎn)。在AABC的內(nèi)部，且滿足：AO=-AB+-AC,則AABC的面積與的面積之比是

（）

【變式1-1】設(shè)/是“BC內(nèi)一點(diǎn)，且福?衣=2"ZR4C=30。，定義=,其中松〃,。分

別是△MBCAMCAAAMB的面積，若/（M）=（g,14,一

,則一+一的取小值是（

A.9(73+1)B.18C.16

【變式1-2］設(shè)而=；（而+正），過G作直線/分別交AB,AC（不與端點(diǎn)重合）于RQ,若Q=X麗,

uuutuuur__.?

AQ=〃AC,若AR4G與AQ4G的面積之比為;，則〃=

A-1B-1c-1D-i

【變式1-3］（多選題）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)

論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知M是

AABC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,^AMC,IMS的面積分別為%,SB,Sc,且

SAMA+SBMB+SCMC=O.以下命題正確的有（）

A.若SjSB:Sc=1:1:1,則M為AAMC的重心

B.若M為AABC的內(nèi)心，則BC-瘋+AC?標(biāo)+A2.衍=0

C.若4c=45。，ZABC=60°,M為MSC的外心，則&：邑：S0=6：2:1

D.若M為AABC的垂心，3MA+4MB+5MC=O>貝Ucos/AMB=-"

6

【變式1-4］（多選題）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”

轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，*OC,AAOC,

△AO3的面積分別為梟應(yīng)名，則有邑?西+SB?屈+S°?反=。.設(shè)。是銳角“BC內(nèi)的一點(diǎn)，ZBAC,

ZABC,/ACB分別是AABC的三個內(nèi)角，以下命題正確的有（）

A.若函+麗+元=0，則。為AABC的重心

B.^OA+2OB+3OC=Q,則SA：,:SC=1：2:3

UULUUU5兀9

C.若|Q4|=|O3|=2,ZAOB=—,20A+30B+40C=0,則邑.=彳

o2

D.若。為AABC的垂心，貝iJtan/54。礪+tanNA8C?麗+tanNAC8-Od=0

題型二：重心定理

【典例2-1】已知。是AABC所在平面內(nèi)一定點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足

__AD41

OP=OA+^尸廠一+口7一,Ae［O,+a＞）,則動點(diǎn)尸的軌跡一定過的.（選填：外心、內(nèi)

ABsinBACsinC

心、垂心、重心）

【典例2-2】（2024?高三?陜西渭南?期末）如圖所示，AASC中G為重心，PQ過G點(diǎn)，AP=mAB，

—.—.,11

AQ-nAC,則—F—=.

mn

【變式2-1］（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）在平行四邊形A3C￡）中，G為△BCD的重心，AG=xAB+yAD,

則3x+y=_.

【變式2-2］（2024?高三?上海普陀?期中）在AASC中，過重心G的直線交邊AB于點(diǎn)P,交邊AC于點(diǎn)。

（尸、。為不同兩點(diǎn)），且涔=2罰，而=〃/，則幾+〃的取值范圍為一.

【變式2-3］在AABC中，角ABC所對的邊分別為a,b,c,已知a=1,A=60。，設(shè)。G分別是

△ABC的外心和重心，則才行的最大值是（）

【變式2-4］（2024?全國?二模）點(diǎn)。，尸是AABC所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足加=函+礪+無，則直

線OP經(jīng)過AABC的（）

A.重心B.夕卜心C.內(nèi)心D.垂心

題型三：內(nèi)心定理

【典例3-1】已知。為AABC的內(nèi)心，cos/ABC=；,且滿足舒=工麗+＞而，則％+＞的最大值為.

【典例3-2】在AABC中，cosZBAC=；,若。為內(nèi)心，且滿足血=了麗+＞/，則x+y的最大值為.

【變式3-1】已知點(diǎn)0是邊長為卡的等邊A4BC的內(nèi)心，則（反+函）?（兩+網(wǎng)=_.

【變式3-2］（2024.高三?山東聊城?期中）已知。是“WC的內(nèi)心，AB=9,BC=14,C4=13,則

AOAB=.

【變式3-3】已知RIAABC中，AB=3,AC=4,BC=5,/是AABC的內(nèi)心，尸是A/BC內(nèi)部（不含邊界）

的動點(diǎn).若右＞=4a+（4,〃GR）,則丸+4的取值范圍是.

題型四：外心定理

【典例4-1】已知點(diǎn)。在AABC所在平面內(nèi)，滿足|次|=|礪|=|唱，則點(diǎn)。是AASC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.垂心D.重心

【典例4-2］。為疑。所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（祝+而）?放=（礪+反）?麗=（芯+麗）?正，則。是

△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心

【變式4-1］（2024?天津北辰.三模）在AABC中，|周=2后，。為AABC外心，且=貝U

—ABC的最大值為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【變式4-2】在“IBC中，AC=2幣,。是AABC的外心，M為3C的中點(diǎn)，ABAO=8,N是直線QW

.一一…，一,,UUULUUU1

上異于M、。的任思一點(diǎn)，則AN-3C=（）

A.3B.6C.7D.9

IUIDII

【變式4-3】已知。為朗8。的外心，4,則血.通=()

A.8B.10C.12D.1

【變式4-4］在AABC中，AB=y/2,ZACB=45°,。是AABC的外心，則衣.祝+反^的最大值為

【變式4-5］己知AABC內(nèi)一點(diǎn)。是其外心，sinA=￥［o<A<］｝S.AO=mAB+nAC，則加+”的最

大值為?

【變式4-6】在44BC中，ZA=60°,BC=6，。為"IBC的外心，D,E,尸分別為AB,BC,C4的

中點(diǎn)，^.ob~+OE+OF"=^~,貝!］函.礪+礪.玄+反.函=—.

題型五：垂心定理

_,_.-,1—.1—.

【典例5-1】已知AABC的垂心為點(diǎn)。，面積為15,且NABC=45。，貝!J8D-5C=__;^BD=-BA+-BC,

則郎=—.

【典例5-2］若“是"BC的垂心，且2回+2麗+3配=0，貝UtanC的值為—.

【變式5-1］在AABC中，三個內(nèi)角分別為A,B,C,AB=4,AC=3,BC=2,H為AABC的垂心.若

AH=xAB+yAC,貝！］』=—.

X

___.1,2—>

【變式5?2】已知H為AABC的垂心(三角形的三條高線的交點(diǎn))，^AH=-AB+-AC9則

sinABAC=__.

【變式5-3】已知在AASC中，AB=AC,BC=6,點(diǎn)”為AABC的垂心，則麗.配=.

1.已知。是AABC內(nèi)部的一點(diǎn)，OA+O5+3OC=0,則A04B的面積與URC的面積之比是（）

A.-B.-C.-D.-

2353

2.（2024.四川南充.三模）已知點(diǎn)尸在44BC所在平面內(nèi)，若麗麗?（'--）=（）,

|AC|\AB\\BC\\BA\

則點(diǎn)尸是44BC的（）

A.外心B.垂心C,重心D.內(nèi)心

3.已知G,O,H在AABC所在平面內(nèi)，滿足/+分+玄=6,|礪|=|麗|=|詼

AHBH=BHOl=aiAH>則點(diǎn)G,O,H依次為AABC的（）

A.重心，外心，內(nèi)心B.重心、內(nèi)心，外心

C.重心，外心，垂心D.外心，重心，垂心

4.。是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是該平面上不共線的3個點(diǎn)，一動點(diǎn)尸滿足：OP=OA+2（AB+AC）,

2>0,則直線AP一定通過AASC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

5.已知點(diǎn)A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，點(diǎn)。為AABC的外心，動點(diǎn)尸滿足條件：

OP=1[(1-^)Q4+(1-A)OB+(1+2Z)OC](AeR,A^O),則點(diǎn)P的軌跡一定通過“15。的().

A.內(nèi)心B.垂心C.重心D.邊的中點(diǎn)

6.（2024?全國.模擬預(yù)測）已知點(diǎn)。是44BC的重心，過點(diǎn)。的直線與邊A8,AC分別交于M,N兩點(diǎn)，。為

ULU11LILIL1UUUl

邊BC的中點(diǎn).若AD=xAM+yA7V(x,yeR),貝1|》+>=(

A-IB-tC.2D-I

7.已知。，A,B,C是平面上的4個定點(diǎn)，A,B,C不共線,若點(diǎn)尸滿足而=西+〃通+記，其

中2wR,則點(diǎn)尸的軌跡一定經(jīng)過AASC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

8.已知AABC的重心為。，則向量麗=（）

2uuniuum

A.1AB+-ACB.——AB+-AC

3333

C.D.1AB--AC

3333

9.已知AABC的重心為。，若向量的=無血+丁/，貝ijx+y=（）

10.已知在AABC中，H為AABC的垂心，。是44SC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，^.OA+OB=CH,則以下正確的

是（）

A.點(diǎn)。為AABC的內(nèi)心B.點(diǎn)0為AABC的外心

C.NACB=90°D.AABC為等邊三角形

11.已知。是平面上一定點(diǎn)，A，B,C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)尸滿足麗=次+〃南+記，

2e（0,+oo）,則P的軌跡一定通過“1SC的（）

A.重心B.外心C.內(nèi)心D.垂心

12.在AASC中，動點(diǎn)P滿足a=國2—2荏?麗，則尸點(diǎn)軌跡一定通過AABC的（）

A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心

13.（多選題）（2024?高三?江西新余?期末）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中

一個非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)

容是：己知"是"RC內(nèi)一點(diǎn)，ABMC,AAMC,AAMB的面積分別為鼠，SB，SC,且

SA-MA+SB-MB+SC-MC=0.以下命題正確的有（）

A.若L：SB：SC=1：1:1,則M為AABC的重心

B.若M為44BC的內(nèi)心，貝U8C.而+AC.礪+A"碇=。

C.若M為AABC的垂心，3M4+4MB+5MC=0，則tanZBAC:tanZABC:tan/3C4=3:4:5

D.若/54C=45。，ZABC=60°,M為AASC的外心，則叢：邑：S°=6：2:1

14.（多選題）（2024?江蘇南京?二模）已知AASC內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,。為“1SC的

重心，cosA=,AO=2,貝！］（）

—.1―.1—.

A.AO=-AB+-ACB.AB-AC<3

C.“IfiC的面積的最大值為3折D.。的最小值為26

15.（多選題）（2024.遼寧.二模）AABC的重心為點(diǎn)G,點(diǎn)。，尸是“1BC所在平面內(nèi)兩個不同的點(diǎn)，滿足

OP=OA+OB+OC，貝1J（）

A.O,P,G三點(diǎn)共線B.OP=2OG

C.2OP^AP+BP+CPD.點(diǎn)P在"LBC的內(nèi)部

16.（多選題）己知點(diǎn)。是AABC所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，下列說法中正確的是（）

A.^OA+OB+OC=Q,則。為AABC的重心

B.若網(wǎng)=|詞=函,則。為AABC的內(nèi)心

C.若。為AABC的重心，AD是BC邊上的中線，貝心血=歷

D.OA+OB=CO<則S^AOB=§

17.（多選題）點(diǎn)。為AASC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，貝U（）

A.^OA+OB+OC=0,則點(diǎn)。為AABC的重心

B._=OB-pzSi_-pq-=0,貝!J點(diǎn)0為AABC的內(nèi)心

UACI\AB\）〔四HJ

C.^（OA+OB）AB=（OB+OCyBC=0,則點(diǎn)O為44BC的垂心

D.在"IBC中，T^AC-AB='2AdBC>那么動點(diǎn)。的軌跡必通過AABC的外心

18.（多選題）已知V,N在AABC所在的平面內(nèi)，且滿足說.兩=麗.由=兩.痂'，

CA=NB+2NA，則下列結(jié)論正確的是（）

A.M為AABC的外心

B.M為“WC的垂心

C.N為AABC的內(nèi)心

D.N為AABC的重心

JT

19.（多選題）在AASC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,a=3,A=§,。為AASC的外心，貝U（）

A.若AABC有兩個解，貝”3<C<26

B.函.宓的取值范圍為[-3石,36]

C.麗.配的最大值為9

D.若民C為平面上的定點(diǎn)，則A點(diǎn)的軌跡長度為I?

——?1—-1—.

20.設(shè)M為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且+則AMBC與“BC的面積之比為.

21.“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳車的標(biāo)志而來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，奔馳定理與三

角形的四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著美麗的邂逅.它的具體內(nèi)容是：如圖，若尸是AABC內(nèi)一點(diǎn)，

△BPC,AAPC,AAPB的面積分別為?,品，%，則有冬?西+?麗+兒?元:=。?已知。為AABC的內(nèi)心，且

cosABAC=1,^AO=mAB+nAC，則根+〃的最大值為.

A

22.我校高一同學(xué)發(fā)現(xiàn)：若。是AABC內(nèi)的一點(diǎn)，ABOC、AAOC、AAOB的面積分別為％、SB>Sc,則

存在結(jié)論梟?礪+SB?礪+Sc-0e=。，這位同學(xué)利用這個結(jié)論開始研究：若。為AABC內(nèi)的一點(diǎn)且為內(nèi)心,

AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且COSB=2，若前=云麗+y患，則x+y的最大值

6

為.

23.已知點(diǎn)尸為AABC內(nèi)一點(diǎn)，2國+3麗+5定=0，貝心依民AAPC,ABPC的面積之比為_.

24.已知點(diǎn)尸在"1BC所在的平面內(nèi)，則下列各結(jié)論正確的個數(shù)是—.

①若尸為AABC的垂心，ABAC=2.則而.旃=2

②若AABC為邊長為2的正三角形，貝IJ可?（而+正）的最小值為-1

—?11—?11—?

③若AP=+-AB+自——+7AC，則動點(diǎn)P的軌跡經(jīng)AASC的外心

JABcosB2^|AC|cosC2J

④若P為AABC的重心，過點(diǎn)P的直線/分別與A3、AC交于￡、尸兩點(diǎn)，^AE=AAB,AF=/JAC,

則I/

25.點(diǎn)。是平面a上一定點(diǎn)，A,B,C是平面a上AABC的三個頂點(diǎn)，ZB,NC分別是邊AC,AB的對

角.有以下四個命題：

①動點(diǎn)P^^OP=OA+PB+PC，則AABC的外心一定在滿足條件的P點(diǎn)集合中;

②動點(diǎn)尸滿足而=麗+彳+