第十一章立體幾何初步

11.3空間中的平行關系

11.3.2直線與平面平行

知識梳理

1.直線與平面的平行

位置關系直線〃在平面a內直線a與平面a相交直線。與平面a平行

公共點有無數個公共點有且只有一個公共點沒有公共點

符號表示aUa6zAot=Aa//a

--------a

圖形表示Z-/

2.直線與平面平行的判定定理及性質定理

定理條件結論圖形語言符號語言

平面外的一條直線與

la,

這條直線與這個__1

判定定理平面內的一條直線平mu。，=>l//a

平面平行

行a"1//m,

一條直線與一個平面

/〃a,

平行，且經過這條直這條直線與兩平

性質定理luB,；=/〃m

線的平面與這個平面面的交線平行1m7

相交

常見考點

考點一判斷線面平行

典例1.下列說法中，與"直線"II平面屋等價的是（）

A.直線。上有無數個點不在平面a內

B.直線a與平面a內的所有直線平行

C.直線a與平面a內無數條直線不相交

D.直線a與平面a內的任意一條直線都不相交

【答案】D

【解析】

【分析】

A.由無數個點不代表所有的點來判斷，B.由線面平行的性質來判斷，C.由無數條不代表所有的來

判斷，D.由直線與平面平行的定義來判斷

【詳解】

A.無數個點不是所有點，所以不正確;

B.可以平行可以異面，所以不正確；

C.無數條直線不是所有的直線，所以不正確;

D.由直線與平面平行的定義，正確.

故選：D.

變式11.在五棱臺A8CDE-A4/GDE/中，F,G分別是A4/和8歷上的點，且討=可，則/G

r/ijVJDX

與平面ABCDE的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.ABCDED.無法判斷

【答案】A

【解析】

【分析】

由線面平行的判定定理得結論.

【詳解】

A/BG

五棱臺中，ABIIA/B/,.?.四邊形是梯形，.-.FG\\AB.MABCDE,ABu

Cr/J,

平面A8COESGII平面ABCDE.

故選：A.

變式12.如圖所示，在空間四邊形ABC。中，E,尸分別為邊AB,上的點，＞AE：EB=AF：FD

1：4,又“，G分別為8C,CD的中點，則（）

A

A.BD〃平面EFGH,且四邊形EFG”是矩形

B.EF〃平面BCD,且四邊形EFG”是梯形

C."G〃平面ABD,且四邊形EEGH是菱形

D.E"〃平面AOC,且四邊形EFG"是平行四邊形

【答案】B

【解析】

【分析】

先判斷四邊形EFGH的形狀，再去判斷線面是否平行即可解決.

【詳解】

△A3。中，AE：EB=AF：FD=1：4,則EF〃BD,=

△BCD中，BH=CH,DG=CG,HG//BD,=

則EF//HG,HG>EF,則四邊形EFGH是梯形.故選B.

下面看四個平行的判斷是否正確.

BD//EF,EFI平面跖GV.BDN平面EFGH,則比>〃平面ERG”.判斷正確；

BD//EF,8。1平面BCD,EF<Z平面BCD,則所〃平面BCD判斷正確；

HG//EF,EFI平面/平面ABD,則"G〃平面判斷正確；

梯形EFG"中，EF//HG,HG>EF,HE與G尸的延長線會交于一點，則直線EH與平面AOC的位

置關系為相交.

故選：B

變式13.如圖，在下列四個正方體中，A3為正方體的兩個頂點，M、N、。為所在棱的中點，則

在這四個正方體中，直線A3與平面MNQ平行的有（）個

④.

A.1B.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

利用線面平行的判定方法逐個分析判斷即可

【詳解】

對于①，如圖取底面中心。，連接0Q,由于。為棱的中點，所以由三角形中位線定理可得OQII

因為OQ與平面相交，所以A3與平面相交,

對于②，如圖連接4瓦，因為分別為AG，耳￡的中點，所以因為A3||A4,所以

WAB,因為AB<Z平面MNQ,MQI平面MNQ,所以AB||平面"AQ,

對于③，如圖，連接4瓦，則4例|4蜴，因為M，。分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可

得所以因為ABU平面腦V。，MQI平面肱VQ,所以A3||平面MNQ,

對于④，如圖，連接A耳，則A3IIA4，因為N,0分別為棱的中點，所以由三角形中位線定理可

得NQ||A再，所以NQIIAB,因為ABcz平面MVQ,NQu平面MNQ,所以A3||平面MNQ,

所以直線A3與平面MNQ平行的有3個,

故選：C

考點二證明線面平行（中位線法則）

典例2.如圖，幾何體的底面A3CD為平行四邊形，點M為PC中點，證明：〃平面

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接AC交8。于點。，連接。"，證明0M〃而，即可證明E4〃平面

【詳解】

證明：連接AC交8。于點0,因為底面A5CO為平行四邊形，所以。為AC中點,

在中，又“為PC中點，所以0M〃B4,

又出，平面8DW,OMu平面

所以B4〃平面BDM.

變式21.如圖所示，在三棱柱ABC-A#G中，。為AC的中點，求證：A4〃平面BCQ

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

連接與C交BG于。，連接。。，則由平行四邊形的性質和三角形中位線定理可得。D//4瓦，然后利

用線面平行的判定定理可證得結論

【詳解】

證明：如圖，連接4c交2G于。，連接

?.?四邊形BCCK是平行四邊形.二點。為與C的中點.

：D為AC的中點，.??0D為VABC的中位線，./陰.

???0Du平面BCQ,AB}<z平面BC.D,ABJ/平面BQD.

變式22.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCZM/Ba。/中，E,尸分別為DDi,的中點.求證:

E/〃平面ABC/。/.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

由E為DD的中點，/為8。的中點，得EE為△8。。/的中位線，所以EF//BD1,從而可證明線

面平行.

【詳解】

如圖，連接8D/,在△8OD中，

因為E為。。/的中點，歹為8。的中點，

所以Eb為的中位線，所以EF//BD,

又BO/u平面AB。。/,EFC平面ABQD,

所以EF//平面ABC/D.

變式23.在三棱柱ABC—4B］的中，ABLAC,平面ABC,E,P分別是AC,的中點.求

證：EV〃平面MG.

【答案】證明見解析.

【解析】

通過三角形的中位線證得EF//A瓦，由此證得打〃平面AB&.

【詳解】

因為瓦尸分別是AC,3c的中點，

所以所是三角形神。的中位線，

所以EH/A%

又成《平面AB?,Agu平面ABC,

所以跳7/平面MG.

考點三證明線面平行（平行四邊形法則）

典例3.如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，M，N分別是AC和網的中點,求證：肱V〃平面物。.

【答案】證明見解析

【解析】

取AC的中點。，由中位線定理和平行線的傳遞性可證四邊形DMNB、為平行四邊形，可得MN〃BtD,

再根據線面平行的判定定理即可證明結果.

【詳解】

證明：取AC的中點D,連接MD,BtD.

-：M,D分別為AC,的中點，.?.MD//A4且兒億＞

又N為比8的中點，.?.耳N//A4,且即V=：A4,,

MDgN且MD=4N,.?.四邊形DMNB、為平行四邊形，

???AW平面A^C,4Du平面AS。，

.?.AW〃平面44c.

【點睛】

本題主要考查了平行線的傳遞性和線面平行的判定定理，屬于基礎題.

變式31.如圖，四棱錐P-ABCD中，24,底面ABC。，ADHBC,BAD=90,AD=2BC,M為

尸。的中點.

證明：CM//平面R4B；

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取的中點N,連接BN,MN,易知四邊形3CMV為平行四邊形，則有CM//&V,利用線面平行

的判定可證結論.

【詳解】

證明：取上4的中點N,連接BN,MN,

???M，N分別為P2PA的中點，則肱V//AD且MN=gAO,又3C〃AD且=，

:.BC/IMN且BC=MN,故四邊形BCWN為平行四邊形，即。W//3N,

???CM<ZI]PAB,BNu面上48,

.?.CM〃平面PLB.

變式32.如圖,在長方體ABCD-A^C^中,E為A3的中點,F為CG的中點.證明：E尸〃平面ACtD.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

取CQ的中點G,連接GRAG,證明四邊形AEFG為平行四邊形，進而有AG〃斯，然后根據線

面平行的判斷定理即可證明.

【詳解】

證明：取的中點G,連接GRAG,

因為G為G。的中點，/為CG的中點，所以G尸〃且。=2G凡

又E為的中點，AB=CD,AB//CD,所以AE〃GF且AE=GR

所以四邊形AE/G為平行四邊形，所以AG〃所，

因為AGu平面AG。，EW平面

所以所〃平面AG。.

變式33.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。為平行四邊形，E,P分別為AD,PB的中點,

求證：EFII平面PCD

【答案】證明見解析.

【解析】

【分析】

取PC中點G,連接FG,GD,則由三角形的中位線定理可得尸G〃BC,且FG=g8C,而由已知可

得ED//BC,DE=^BC,從而有￡D〃尸G,且ED=FG,得到四邊形跖GZ）為平行四邊形，進而有

EF//GD,再線面平行的判定定理可證得結論.

【詳解】

如圖，取尸C中點G,連接/G,G￡).

???尸，G分別為PB和PC的中點，

FGHBC,JLFG=|BC.

???四邊形A3CD為平行四邊形，且E為AD的中點，

.-.ED//BC,DE=-BC,

2

.-.ED//FG,且即=R7,

四邊形EFGD為平行四邊形，

,-.EF//GD.

又EFU平面尸CD,GQu平面尸CD,

???E尸II平面PCD

【點睛】

此題考查了線面平行的判定，考查了三角形的中位線定理，考查推理能力，屬于基礎題.

考點四線面平行的性質

典例4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，且平面ABCD,設平面PAD與平面P3C的

交線為/,證明：IHBC.

p

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

證明出BC//平面APD,利用線面平行的性質可證得結論成立.

【詳解】

證明：因為四邊形ASC。為正方形，

???8CZ平面BID,ADu平面PAD,3C7/平面PAD,

?.?BCu平面P3C,平面PBCA平面上4。=/,因此，1//BC.

變式41.如圖，A8是圓0的直徑，點C是圓。上異于48的點，P為平面A8C外一點，E,F

分別是PA,PC的中點.記平面3E尸與平面ABC的交線為I,試判斷直線/與平面PAC的位置關系，

【答案】/〃平面朋C,證明見解析

【解析】

【分析】

先證明跖〃AC,即可證明所〃平面ABC,利用線面平行的性質定理可說明所憶根據線面平行

的而判定定理即可證明/〃平面R1C

【詳解】

直線/〃平面PAC.

證明如下：

因為E,E分別是B4,PC的中點，

所以EF〃AC.

又EF0平面ABC,且ACu平面ABC,

所以所〃平面ABC

而EFu平面BEE且平面BMC平面ABC=l,

所以EF〃/.

因為平面抬C,￡Fu平面B4C,

所以/〃平面PAC.

變式42.如圖E、H分別是空間四邊形ABC。的邊AB,AD的中點，平面C過E"分別交BC、CD

于不G,求證：EH//FG.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

先證明E"〃平面BCD,再由線面平行的性質可得.

【詳解】

因為E、”分別是AB,AD的中點，所以EH//BD,

因為E"cZ平面BCD,fiDu平面BCD,所以E"〃平面BCD,

因為EHucr,平面々口平面3co=FG,所以EH〃FG.

變式43.如圖，三棱錐A-BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH,求證：CD〃平面EFGH.

【答案】證明見解析

【解析】

【分析】

根據線面平行的判定定理、性質定理即可得證

【詳解】

因為四邊形EFGH為平行四邊形，

所以EF//GH,

因為G"u平面8c。，EFa平面BCD,

所以歷//平面BCD,

又因為防u平面AC。，且平面AC￡>n平面BCD=CE>,

所以斯//CD,

又因為CD平面EFGH,EFu平面EFGH,

所以CD〃平面EFGH

考點五根據線面平行確定點所在位置

典例5.如圖，已知平面ABC,EC,平面ABC,AB=AC=AD=^BC,設尸是直線鴕上的

點，當點尸在何位置時，直線。尸〃平面ABC?請說明理由

【答案】點P是班的中點，理由見解析.

【解析】

【分析】

先確定點尸是BE的中點，取BC的中點。，連接40、OP、PD,證明四邊形A0PQ是平行四邊形,

可得DP//A0,即可得證.

【詳解】

解：當點尸是班的中點時，DP//nABC.

理由如下：如下圖，取BC的中點。，連接47、OP、PD,則OP//EC且OP=；EC,

因為AD,平面ABC,EC,平面ABC,所以AD//EC.

又AO=gEC,所以QP//A。且O尸=AD,

所以四邊形AOPO是平行四邊形，所以。P//A0,

因為AOu平面ABC,DPO平面ABC,所以。P//平面ABC.

所以當點P是BE的中點時，￡＞尸//平面ABC.

變式51.如圖1,在直角梯形ABCD中，AB//DC,ZR4D=90。，AB=4,AD=2,DC=3,點E在

CD±,且DE=2,將AADE沿AE折起，使得平面ADEL平面AfiCE（如圖2）.G為AE中點

問題：在線段上是否存在點尸，使得CP〃平面必?？若存在，求言的值；若不存在，請說明

BD

理由.

【答案】存在；器RP=;3.

【解析】

【分析】

BP3

當項;=：時，過點c作CP//AE交AB于點P,過點F作EP//AD交D3于點P,連接PC,由線面平

BD4

行的判定定理可得CP〃平面ADE,EP〃平面ADE,再由面面平行的判定定理可得，平面CFP〃平

面ADE,從而可得CP〃平面ADE,

【詳解】

解：存在點P,使得CP〃平面ADE,

BP3

且防="

過點C作CF//AE交A3于點F,

則AF:FB=1:3,

過點F作FP//AD交DB于點P,連接PC,

則DP:PB=1:3,

又因為CT//AE,AEu平面ADE,CF仁平面ADE,

所以C尸〃平面ADE,

同理FP〃平面ADE,

又因為CFcPF=尸，bu平面CFP,尸產u平面CFP,

所以平面CFPH平面ADE.

因為CPu平面CFP,

所以CP〃平面ADE.

所以在上存在點尸，

使得CP〃平面ADE,且需=1?

變式52.如圖，在直三棱柱ABC-A用G中，點M,N分別為線段AB,AQ的中點.

BDC

(1)求證：MW/平面8與GC；

CD

(2)若。在邊3c上，DN〃面AB4A，求一的值.

DB

【答案】(1)證明見解析；(2)1.

【解析】

【分析】

(1)利用三角形中位線定理得到MNIIBC,進而利用線面平行的判定定理證明；

(2)利用線面平行的性質定理可得DV||A,'進而得到四邊形肱VD3為平行四邊形，從而得到所

求.

【詳解】

解：(1)???點分別為線段AB,AG的中點3.MN||2C,

又：MNS平面BBCC,BCu平面BBgC,

??.MZV〃平面84GC；

(2)rONII面AB4A，DNu平面4BC,平面。平面A^C=$8,.-.DNW^B)

又「MN||BC,.?.四邊形MM陽為平行四邊形，

BD=MN,又；MN為A、BC的中位線，二BC=2MN,BC=2BD,:.CD=DB,

CD,

?*.-1.

DB

【點睛】

本題考查線面平行的判定與性質，屬基礎題.

變式53.如圖，四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD為梯形，AB//CD,AB=4,CD=2,點/在棱尸。

(1)求證：C￡>〃平面FAB；

PM

(2)若P3〃平面MAC,求示的值.

MD

【答案】(1)證明見解析；(2)2.

【解析】

(1)由已知AB//CD結合線面平行的判定定理可得出結論；

(2)連接8。交AC于0,連接OM,由線面平行的性質定理可得出BB//OM,禾！J用ACOD?AAC?計

算出黑的值，進而可求得粵的值.

ODMD

【詳解】

(1)因為CD//AB,C0C平面RIB,ABi平面叢瓦所以C￡>〃平面9B；

(2)連接3D交AC于0,連接OM,

因為PBH平面MAC，且PBu平面PBD,平面PBDPl平面MAC=M0,所以PB//MO,NDOM?ADBP,

PMOB

MD-OD

CDHAB,易得ACOD~AAOB,則，?？?=2，

PM_

因此,

【點睛】

本題考查線面平行的判定，同時也考查了線段長度比值的計算，涉及線面平行性質定理的應用,

考查推理能力與計算能力，屬于基礎題.

鞏固練習

練習一判斷線面平行

1.設6是一條直線，a是一個平面，則由下列條件不能得出的是（）

A.b與。內一條直線平行

B.6與。內所有直線都沒有公共點

C.6與。無公共點

D.匕不在a內，且與a內的一條直線平行

【答案】A

【解析】

【分析】

根據線面平行的定義和判定定理依次判斷選項即可得到結論.

【詳解】

對于A,若bua,也滿足與a內一條直線平行，但無法得出b//a；

對于B,6與a內所有直線都沒有公共點，即6與面。無公共點，可以得出6〃a；

對于C,2與。無公共點，滿足線面平行定義，可以得出力/a；

對于D,根據線面平行判定定理可知可以得到

故選：A.

2.如圖，一塊矩形木板A8CD的一邊在平面a內，把這塊矩形木板繞A8轉動，在轉動的過

程中，AB的對邊CD與平面a的位置關系是（）

A.平行B.相交

C.在平面a內D.平行或在平面a內

【答案】D

【解析】

【分析】

根據線面平行判定定理的條件可得.

【詳解】

在旋轉過程中，CD\\AB,易得CD||a或CDua.

故選：D.

3.在正方體ABCO-48/。。/中，與平面ACQ4平行的棱共有（）

A.2條B.3條C.4條D.6條

【答案】A

【解析】

【分析】

根據正方體的結構可得選項.

【詳解】

如圖所示，正方體中，與平面ACC/A/平行的棱是38/和。。/,共有2條.

4.如圖所示，四邊形EbG”為四面體A8CD的一個截面，若有==;="，則與平面EWG”平

CEFCGD

行的直線有（）

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【解析】

【分析】

由光=黑可得EF//AA,由箓=黑可得FGIICO,再由線面平行的判定定理可得結果

C/SrCrCCr/J

【詳解】

AE_BF

---,..EF//AB.

XEFGH,A8,平面ERG”,

??.AB//平面EFGH.

日詆,BFBG

同理'由耘=而'

可證CD〃平面EFGH.

???與平面EEG”平行的直線有2條.

故選：C

練習二證明線面平行（中位線法則）

5.已知：如圖，P是平行四邊形ABCO所在平面外一點，E是PD中點,

求證：P8II平面EAC

【答案】見解析

【解析】

【分析】

連接BD,交AC于0,連接E。，可證E0II8P,從而得證.

【詳解】

如圖，連接8D,交AC于0,連接E。，

有已知可得E0為三角形D3P的中位線，即有EO\\BP,

又因為尸3（Z平面E4C,E0u平面E4c

所以PBII平面EAC.

【點睛】

本題考查了線面平行的判定，構造平行線是證明的關鍵.

6.如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，ABA.AC,PALnABCD,且=

點E是的中點.求證：PB//平面AEC.

【答案】證明見解析

【解析】

根據圖像，連接3D,與AC相交與。，連接EO,ABC。是平行四邊形，。是3。的中點，根據中位

線的性質即可得證.

【詳解】

如圖，

連接3D,與AC相交與。，連接E。，

???ABC。是平行四邊形，

二。是的中點，

又E是PZ）的中點，

.-.EO//PB,

又依仁平面AEC,EOu平面AEC,

.?.P3〃平面AEC.

7.在直三棱柱ABC-AgG中，ZR4C=90°,且A41=A2=AC,。是2C中點，求證：〃平面世。

【答案】見解析

【解析】

連接A8交于點M,根據中位線定理可知MO〃AC,然后利用線面平行的判定定理，可得結

果.

【詳解】

連接4乃交4用于點M,連接MO,如圖

在中，M,。分別是A/和8c的中點,

所以MO〃AC,

因為MOU平面做O,ACa平面AB0,

所以ac〃平面做O.

【點睛】

本題考查線面平行的判定定理，識記定理的表達以及書寫，屬基礎題.

8.如圖，在正方體ABCD-AqCQ中，M為。，的中點，AB=2.求證：2n〃平面ACM；

【答案】證明見解析

【解析】

連接B。交ZC于0,根據中位線定理可知BD〃/。M,然后根據線面平行的判定定理，可得結果.

【詳解】

連接80交4C于0,連接。M,

???0M為△或必的中位線，

.-.BDi/fOM,

由BDU平面ZCM,OMu平面ACM

則BD〃/平面ACM.

【點睛】

本題考查線面平行的判定定理，識記定理的表達以及書寫，屬基礎題.

練習三證明線面平行（平行四邊形法則）

9.如圖所示，尸為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M,N分別為AB,PC的中點.求證：MNH

平面PAD.

【答案】證明見解析

【解析】

取尸D的中點E,連接E4，EN,根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立.

【詳解】

證明：取的中點E,如圖所示，連接E4,EN.

■■E,N分別為PD,PC的中點，.?.EN〃CD,且￡W=gc￡）.

???四邊形ABCD為平行四邊形，〃為的中點，

.,?AM7/CD且AM=；，.?.AM,EN平行且相等，

.??四邊形AWE為平行四邊形，.?.MN//AE.

又AEu平面B4D,肱V.平面B4D,

.?.MV〃平面PAD.

【點睛】

本題主要考查證明線面平行，熟記線面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.

10.如圖，A3CO和AB印都是正方形，M&AC,NwFB,且4W=KV.證明：肱V〃平面3CE.

【答案】見詳解

【解析】

【分析】

由線面平行的判定定理即可證明結論.

【詳解】

作MG//AB交2C于G,作NHHEF交BE千H.

連結G"，則CM:C4=MG:AB,BN:BF=NH:EF,

又AM=FN,AC^BF

故CM=BN,

于是MG=NH,且MG//NH.

四邊形MNHG為平行四邊形，

故MNHGH.

Gau平面BCE,W平面3CE,

MN//平面BCE

11.如圖，已知四棱錐A—3CDE,其中鉆=3C=AC=8E=1,CD=2,CD_L平面ABC,BE!/CD,

尸為AD的中點.

求證：EF〃平面A3c.

D

B

【答案】證明見解析

【解析】

取AC中點G,連接尸G,BG,根據線面平行的判定定理，結合題意，即可得出結論成立.

【詳解】

證明：如圖，取AC中點G,連接FG,BG.

D

B

■-F,G分別是AD,AC的中點，

FG//CD,^FG=-DC=\.

2

BE//CD,BE=1,:.FG//BE且FG=BE,

???四邊形EFGB是平行四邊形，

：.EFHBG.

???砂0平面ABC,BGu平面ABC,

.?.EP〃平面ABC.

【點睛】

本題主要考查證明線面平行，熟記線面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.

12.如圖，在正方體ABCO-ABCQ中，E,尸分別是棱BC,G2的中點，求證：EF〃平面

【答案】證明見解析

【解析】

取24的中點。，連接OF,OB,根據線面平行的判定定理，即可證明結論成立.

【詳解】

證明：如圖，取。聲的中點。，連接OF,OB,

易得O"BC且o公/c.

又BE//BG且BE=：BG,OF//BE且OF=BE,

???四邊形OFEB是平行四邊形，EF//OB.

■■EFU平面BDRBi,BOu平面BDD國,

；.EF〃平面BDD同.

【點睛】

本題主要考查證明線面平行，熟記線面平行的判定定理即可，屬于?？碱}型.

練習四線面平行的性質

13.如圖，在四棱錐P-ABCD中,E是棱PC上一點，底面ABCD是正方形，平面A3E與棱尸￡＞交于點F,

平面尸CD與平面R4B交于直線/.求證

【答案】證明見解析

【解析】

根據兩個平面相交,一個平面內的直線平行另一個平面，即平行于兩個平面交線，即可求得答案.

【詳解】

底面A3CD是正方形，

AB\\CD,

又ABU平面PCD,CDu平面PCD,

AB||平面尸CD.

又A,B,E,尸四點共面，且平面鉆石尸0平面PCD=EF,

AB\\EF.

又：平面與平面PCD交于直線/,

■-l\\EF.

【點睛】

本題考查了證明空間兩條直線平行問題，解題關鍵是掌握線面平行判定定理,考查了分析能力和空

間想象能力,屬于基礎題.

14.如圖所示，在多面體aqq-OCBA中，四邊形ADDA,ABC。均為正方形，E為g

的中點，過A，D，E的平面交卬于尸.

證明：EFHBXC.

【答案】見解析

【解析】

通過四邊形4綽少為平行四邊形，可得4C//4。，利用線面平行的判定定理即得結論;

【詳解】

證明：■.-B,C=AiD^AlBl=CD,

二四邊形為平行四邊形，

/.B[CIIAD,

又,??30仁平面4砂。，4。匚平面4跖。

B}c//平面A.EFD,

又因為平面AEFDC平面BtCDt=EF,B'u平面Bg,

EF//B.C；

【點睛】

本題考查線面平行的判定及性質定理的應用，屬于基礎題.

15.如圖所示，三棱柱ABC-ABC中，點V，N分別是線段AG，45的中點，設平面MN片與平

面BCC內的交線為/,求證：MN//1.

【答案】證明見解析

【解析】

先連接G'由題意，根據線面平行的判定定理，得到〃平面BCC由，再由線面平行的性質,

即可得到

【詳解】

證明：如圖所示，連接G8,在VABG中，點"，N分別為AG,43的中點,

所以MN〃qB.

又加N<z平面BCGA,BC]U平面BCGB],所以肱V〃平面BCC[B].

又MNu平面⑼鶴，平面MNB]c平面Bec4=/,所以ACV/〃.

【點睛】

本題主要考查證明線線平行，熟記線面平行的判定定理與性質定理即可，屬于?？碱}型.

16.如圖所示，ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一

點G,過G和AP作平面交平面BDM于GH,求證：AP//GH.

【答案】見解析

【解析】

【分析】

連接AC交BD與0,可證PA〃平面BDM,再利用線面平行的性質定理即可證得GH〃AP.

【詳解】

證明：如圖，連接AC交BD于點0,連接M0.

M

■■在AAPC中，MO是AAPC的中位線，

MOHPA

又：PAN平面MBD,MOu平面MBD,

PA〃平面MBD

又?.?平面GAPCl平面BDM=GH,PAu平面GAP

PA//GH

練習五根據線面平行確定點所在位置

17.在如圖所示的多面體中，四邊形45穌4,和ACC/都為矩形.設E分別是線段BC,CG的中

點，在線段上是否存在一點加，使直線。初/平面&WC?請證明你的結論.

【答案】存在，證明見解析

【解析】

根據題意，先得到當M是的中點時，直線上〃平面4〃C；再連接MC,4G，4。，設。為4。，

AG的交點，連接MD,OE,MO,由線面平行的判定定理，即可證明結論成立.

【詳解】

存在.當河是的中點時，直線DE//平面4MC.證明如下：

如圖所示，連接MC,AG，AC,設。為AC,AG的交點.

B

由已知得。為AG的中點.

連接MD,0E,則八0，0E分別為AABC,4476的中位線，

所以且MO=gAC,OE//AC^.OE=AC,

因止匕MD//OE且MD=OE.

連接MO,則四邊形為平行四邊形，所以DE//MO.

因為直線平面AMC,MOu平面A"C,

所以直線OE〃平面4