浙江省寧波市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.已知集合U=口,2,3,4,5},A={L2,4},B={1,5},則（Q4）CB=（）

A.0B.{1}C.{5}D.[1,5}

2.已知復(fù)數(shù)z=1+23貝己的虛部為（）

Z

A.|B.|iC—~i

5lD.

3.已知角a的終邊過(guò)點(diǎn)（一4,3）,則sm2鬻sa=（)

A.B.C.ID-1

4

4.已知五，石均為單位向量,則五_L5是|五一2同=12五+可的

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.對(duì)于直線m,n和平面a,0,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.若m〃a,n//a,m,n共面，則m//zi

B.若mua,n//a,m,n共面，則m〃n,

C.若m10,旦a"B,則m1a

D.若m1a,且則a1/?

6.若In久一Iny>y?一無(wú)2,貝^（）

A./士>1B./丑<1C.ln|x-y|>0D.ln|x-y|<0

7.袋子中有〃個(gè)大小質(zhì)地完全相同的球，其中4個(gè)為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機(jī)摸出2

個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球的概率為［則兩次摸到的球顏色不相同的概率為（）

O

A5p4「5n13

A-18B-9C-9D-18

8.頤和園的十七孔橋，初建于清乾隆年間；永定河上的盧溝橋，始建于宋代；四川達(dá)州的大風(fēng)高拱橋，修

建于清同治7年，這些橋梁屹立百年而不倒，觀察它們的橋梁結(jié)構(gòu)，有一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是拱形結(jié)構(gòu)，

這是懸鏈線在建筑領(lǐng)域的應(yīng)用。懸鏈線出現(xiàn)在建筑領(lǐng)域，最早是由十七世紀(jì)英國(guó)杰出的科學(xué)家羅伯特?胡克提

出的，他認(rèn)為當(dāng)懸鏈線自然下垂時(shí)，處于最穩(wěn)定的狀態(tài)，反之如果把懸鏈線反方向放置，它也是一種穩(wěn)定的

狀態(tài)，后來(lái)由此演變出了懸鏈線拱門(mén)，其中雙曲余弦函數(shù)就是一種特殊的懸鏈線函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為

cos/i（x）=竺寫(xiě)/，相應(yīng)的雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sin/i（X）=e^~e若關(guān)于X的不等式4mcos/i2（x）-

4sin/i（2x）—1>0對(duì)任意的X>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）

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11

A.(2,+oo)B.[2,+oo)C.Q,+8)D.,,+8)

二'選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.

全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分.

9.已知平面向量2=(1,2),石=(—2,久)，則()

A.當(dāng)x=2時(shí)，a+b=(-1,4)

B.若五||b>則%=—1

C.若31%,則久=1

D.若2與另的夾角為鈍角,We(-oo,-4)U(-4,l)

10.已知函數(shù)/(%)=哆三1是奇函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是()

A.m=1B./(%)=—1無(wú)解

C./(%)是減函數(shù)D./(2024)+/(-2023)>0

11.如圖，點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD-的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，布=彳a瓦，而=3硒*,

||平面AEF,則下列說(shuō)法正確的是()

A.三棱錐4-PEF的體積是定值

B.存在一點(diǎn)P,使得CiPl&C

C.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為5金+2VTU

D.五面體EF-4BD的外接球半徑為四^

三'填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

log3x,0<x<1

12.設(shè)/(x)=1>1，貝葉(/(2))=.

13.已知正實(shí)數(shù)次,y滿足％2+4y2一2%y=1,則孫的最大值為.

14.在AABC中，a,b,c分別是A,B,C所對(duì)的邊，ft2-a2=1c2,當(dāng)tanA+3取得最小值時(shí)，角C

3tanB

的大小為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知單位向量瓦，石滿足瓦.石=；.

(1)求|2方+3皆|；

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(2)求瓦-3萬(wàn)在瓦上的投影向量(用；1表示).

16.函數(shù)/(%)=Asin(s+0)(4>0,3>0,\(p\<的部分圖象如圖,P(|,0)和Q得，一⑹均在函數(shù)

久支)的圖象上，且Q是圖象上的最低點(diǎn).

(1)求函數(shù)/(久)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若/(和)=X。e像,即，求cos色券的值.

17.如圖，在三棱錐P-4BC中，ZABC=ZPBC=45。，PA=也,AB=BC=PB=2,AD1BC,點(diǎn)。在

(1)求證：平面2401平面PBC；

(2)求BE與平面PBC所成角的正弦值.

18.為紀(jì)念五四青年運(yùn)動(dòng)105周年，進(jìn)一步激勵(lì)廣大團(tuán)員青年繼承和發(fā)揚(yáng)五四精神，寧波市教育局組織中小

學(xué)開(kāi)展形式多樣、內(nèi)容豐富、彰顯青年時(shí)代風(fēng)貌的系列主題活動(dòng).某中學(xué)開(kāi)展“讀好紅色經(jīng)典，爭(zhēng)做強(qiáng)國(guó)少

年”經(jīng)典知識(shí)競(jìng)賽答題活動(dòng)，現(xiàn)從該校參加競(jìng)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)選取100份學(xué)生的答卷作為樣本，所有得

分都分布在［0,140］,將得分?jǐn)?shù)據(jù)按照［0,20),［20,40),…，［120,140］分成7組,得到如圖所示的頻率分布直

(1)估計(jì)該中學(xué)參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均分(注：同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(2)估計(jì)該中學(xué)參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)(結(jié)果精確到0.1)；

(3)若競(jìng)賽得分100分及以上的學(xué)生視為“強(qiáng)國(guó)少年”.根據(jù)選取的100份答卷數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)；競(jìng)賽得分在

［100,120)內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為110和9,競(jìng)賽得分在［120,140］內(nèi)學(xué)生的平均分和方差分別為128和

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6,請(qǐng)估計(jì)該中學(xué)“強(qiáng)國(guó)少年”得分的方差.

19.已知函數(shù)/（%）=x3—4ux+3u2.

（i）當(dāng)a=1時(shí)，求/號(hào)），并判斷函數(shù)八%）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

t,

（2）當(dāng)lie（3,1）時(shí)，/（X）有三個(gè)零點(diǎn)％1，x2,久3（久1<尢2<%3），記弓—各=ii=1，2,3.證明:

①2<+2%2+3%3<5；

②tl13+V尋?

x32XX

參考公式：（%—%!）（%—X2）（—%3）=X—（%1+%2+X3）%+（%!%2+23+—XrX2X3.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：由題意可知Q4={3,5},則(CMCB={5}.

故答案為：C.

【分析】由集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算即可得解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：z=l+2i,則、==(1+=］一］"

故工的虛部為-1.

z5

故答案為：D.

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)L即可得解.

Z

3.【答案】B

【解析】【解答】解：因?yàn)榻莂的終邊過(guò)點(diǎn)(-4,3),

33-4

所以sina===F,cosa=

(-4)2+32(-4)2+32

斫l、jsina+cosa_耳一耳_1

所以sina一丁一—守

5

故答案為：B.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,cosa,代入計(jì)算即可.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：易知同=|&|=1,

\a-2b\=\2a+b\＞兩邊平方可得1—工+4=4+1+4入則心石=0,

故石是忻一2山=|2d+山的充要條件.

故答案為：C.

【分析】易知同=忖=1,恒-2瓦=2N+山兩邊平方，利用向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)判斷即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：A、由正方體可知：若m〃a,n//a,m,n共面，則直線m,n可能相交，故A錯(cuò)誤;

B、若mua,n//a,則直線m,n沒(méi)有公共點(diǎn)，當(dāng)m,n共面，則故B正確；

C、若m1°,且a〃S，由面面平行的性質(zhì)可得租1a,故C正確；

D、由正方體可知：若m_La,且m〃夕時(shí)，則打1口，故D正確.

故答案為：A.

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【分析】利用正方體，結(jié)合空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和直線與平面之間的位置關(guān)系及其性質(zhì)判斷即

可.

6.【答案】A

【解析】【解答】解：由In久一Iny>y2—久2,可得/+也久>產(chǎn)+gy,且％,y>0,

令/'(久)=x2+Inx,%>0,

因?yàn)閥=x2,y=In%在(0,+8)上遞增，所以y=/'(%)在(0,+8)上遞增，

由/+Inx>y2+Iny,即/(尤)>/(y),可得了>y>0.

AB、因?yàn)榫?gt;y>0,所以久—y>0,了=短在/?內(nèi)遞增，所以>e0=1,故A正確，B錯(cuò)誤；

CD、舉反例，x=2,y=1,滿足x>y>0,但ln|x-y|=Ini=0,故CD錯(cuò)誤.

故答案為：A.

【分析】令f(x)=x2+In%,%>0,根據(jù)題意結(jié)合單調(diào)性分析可得x>y>0.結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分析判斷

AB；舉反例可判斷CD.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：記A="依次隨機(jī)摸出2個(gè)球，已知摸出的2個(gè)球都是紅球"，p(A)=［=］即水方=

Cn6

、，解得n=9,

O

rLrLr

記B="兩次摸到的球顏色不相同"，P(B)=警=今

C9

故答案為：C.

【分析】利用超幾何分布求解即可.

8.【答案】B

2

【解析】【解答】解：4mcos/i(x)-4sin/i(2x)-l>0,即4皿咨二)2_4x貯竽上—1>0,化簡(jiǎn)得

2e2x-2e-2x+l_2e4x-2+e2x

m>e2x+e-2x+2—e4x+2e2x+l

4mcos/i2(x)—4sin/i(2x)—1>0對(duì)任意的久>0恒成立，

2e4x-2+e2x

所以TH>對(duì)任意的久>0恒成立,

e4x+2e2x+l

令t=e2x,(t>1),則有血>孥二生=紀(jì)士號(hào)對(duì)任意的t>1恒成立，

r+2t+l(t+1)2

2

令/c=t+L則k>2,有m>2k=2-,一三對(duì)任意的」>2恒成立,

令'=F貝"°<sJ有僧>2-3s-s2對(duì)任意的0<s<加成立,

令g(s)=2-3s-s2,g(s)在(0皮)上遞減，則zn±g(0)=2,即實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為［2,+8).

故答案為：B.

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2e4x-2+e2x

【分析】結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m>對(duì)任意的x>0恒成

e4x+2e2x+l

立，換元得加>2-3s-s2對(duì)任意的0<s<3恒成立，構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性即可得解.

9.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：對(duì)于A,當(dāng)久=2時(shí)，3=(—2,2)，

所以1+另=(一1,4)，故A正確；

對(duì)于B,若五||3，

則％-2*(-2)=0,解得久=一4,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,若五1至，

則1x(—2)+2x=0,解得久=1,故C正確;

對(duì)于D,若五與方的夾角為鈍角，

則五-b=—2+2x<0且五與3不共線，

解得x<1且xH—4,

則久G(—00,—4)U(—4,1),故D正確.

故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)向量加法坐標(biāo)表示，從而計(jì)算可判斷出選項(xiàng)A；根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示，從而計(jì)算判斷出選

項(xiàng)B；根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示，從而計(jì)算判斷出選項(xiàng)C；根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而計(jì)算判斷出選項(xiàng)

D,進(jìn)而找出正確的選項(xiàng).

10.【答案】A,B,D

【解析】【解答】解：A、/(%)的定義域?yàn)镽,且/(x)為奇函數(shù)，所以/(0)=耍=0,解得巾=1;經(jīng)檢驗(yàn)

血=1滿足題意，故A正確；

B、由/■0：)=一1可得1^=一1，即2*=0,無(wú)解，故B正確；

C、"%)=W=2法2=1—&，因?yàn)閥=2'+l遞增，所以“嗎為增函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

D、由/(%)為奇函數(shù)可得/(2023)+f(―2023)=0,結(jié)合C選項(xiàng)可得f(2024)>/(2023),

所以/(2024)+/(-2023)>"2023)+f(—2023)=0,故D正確.

故答案為：ABD.

【分析】由"久)的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)得f(0)=0可求出m可判斷A；解方程可判斷B；利用復(fù)合函數(shù)單

調(diào)性可判斷C；結(jié)合單調(diào)性和奇偶性可判斷D.

11.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：易知AE=AF-Vl2+32=V10,EF-Vl2+I2=V2，

在4B邊上取點(diǎn)G,使得ZG=2GB,在4。邊上取點(diǎn)=2HO,如圖所示：

第7頁(yè)

在平面中，因?yàn)镋Bi=4G,EBi||ZG,所以四邊形EB】GA為平行四邊形，貝||/G,

又因?yàn)榱u平面AEF,BiGC平面AEF,所以B]G||平面AEF；

同理EF||Bi%,FEu平面ZEF,BlD1C平面4EF,所以Bi。1||平面2EF

因?yàn)槊?nB1G=Bi，BWi，BiGu平面D/iGH,所以平面。/道月||平面AEF

點(diǎn)P是正方體ABC。-4/1Q4的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，BiP||平面AEF,

則點(diǎn)P的軌跡為四邊形D1B1GH（不包含點(diǎn)當(dāng)）

A、三棱錐4-PEF的體積等于三棱錐P-4EF的體積，

在△人即中，S^AEF=1XXJ10—R孚,點(diǎn)P的軌跡為四邊形。/iGH,

且平面0/1GH||平面AEF,則點(diǎn)P到平面4EF的距離為=|x732+32=V2

VP-AEF=|xS^AEFx/i=1x^xV2=^，則三棱錐A—PEF的體積是定值，故A正確；

B、點(diǎn)P的軌跡為四邊形DiBiGH（不包含點(diǎn)為）,

在正方體中，&。18。,公。18。1，3。,8的是平面8。6內(nèi)兩條相交直線，所以4C1與平面BQ。，在平面

BCi。任意一條直線都已&C垂直，所以從點(diǎn)的出發(fā)的直線在平面BGD內(nèi)才能使aC1C1P成立，點(diǎn)P的軌跡

為四邊形OiBiGH（不包含點(diǎn)名）,則可知不存在點(diǎn)P,使得&C1C1P,故B錯(cuò)誤；

C、點(diǎn)P的軌跡為四邊形DiBiGH,利用勾股定理計(jì)算動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為：%Bi+DiG+HG+BiH=3&+

V10+2V5+V10=5V2+2V10,故C正確；

D、五面體EF—4B0是四棱錐4—EFOB,四邊形EFDB是等腰梯形，BD=V32+32=3<2,EF=y[2,BE=

DF=V22+32=V13，AE=AF=V10,AB=4。=3,

設(shè)AABD所在圓的圓心為N,M是為。1的中點(diǎn)，四棱錐A—EFDB的外接球球心為。，連接MN,如圖所示：

第8頁(yè)

根據(jù)題意△ZB。是直角三角形，N是BD的中點(diǎn)，。在線段MN上,

設(shè)。N=a,因?yàn)?。E=。。=R,MN=3,可得J(3—4+(算+(豕=涼+(攀)1解得”

D

所以四棱錐4-EFDB的外接球半徑為R==電旦，故正確.

一6

故答案為：ACD.

【分析】由題意，利用等體積變換即可判斷AD；利用題意分析出點(diǎn)P的軌跡即可判斷BC；

12.【答案】-1

log3x,0<%<1

【解析】【解答】解：f(%)=1，財(cái)八f(2))=/4)=log3g=—1.

T+^)x-1

故答案為：-1.

【分析】先計(jì)算出“2)的值，然后計(jì)算/(/(2))即可.

13.【答案】1

【解析】【解答】解：由％2+4y2-2xy=1,得1+2xy=%2+4y2>4xy,解得

當(dāng)且僅當(dāng)％=2y,即％=Ly=*時(shí)取等號(hào)，所以%y的最大值為發(fā)

故答案為：

【分析】利用已知條件結(jié)合基本不等式即可得解.

14.【答案】J

【解析】【解答】解：由余弦定理得，b2+c2—a2=2bccosAf

因?yàn)閎?—a?=翌2,所以稱02+02=2bccos4BP^c2=2bccosA,化簡(jiǎn)得2c=3bcosA,由正弦定理可得,

2sinC=3sinBcoSi4,

即2sin(4+B)=3sinBcos?l,2sia4cosB+2cos力sinB=3sinBcos力，化簡(jiǎn)得2sia4cosB=sinBcosA

,1sinX.cosB,sinAcosB_/sinAcosB

tanZA+--5=---H-：-o

tanBcosTAsmB'7cosylsinB-J2sinAcosB

當(dāng)且僅當(dāng)黑=皤時(shí)，等號(hào)成立,^Btcos/lcosB-sinAsinB=0,cosAcosB=sinAsinB,cos(A+5)=0,

即cosC=0,

第9頁(yè)

因?yàn)閏e(o,7r),所以c=*

故答案為：￡

【分析】先由余弦定理化簡(jiǎn)得2c=3bcosA,再由正弦定理把邊化角得2sinC=3sinBcos4得到2sin力cosB=

sinBcosA,最后根據(jù)基本不等式即可得解.

J-}-,hTtTTTtN2——、2

15.【答案】（1）解：2e1+3e2=2er+3e2=小4或+12e1-e2+9e2=V4+9+6=V19；

-一（e1-3e2\e1--

（2）解：ei—3e2在瓦上的投影向量為——'—?e1=—或e].

-ei"

【解析】【分析】(1)利用向量模長(zhǎng)計(jì)算公式，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律計(jì)算即可;

(2)根據(jù)投影向量的概念和公式求解瓦-3夙在瓦上的投影向量即可.

TTT-2

（1）2e1+3e2=2e1+3e2=74+9+6=V19-

N

ex-3e2

（）_1-

2ei_3與在瓦上的投影向量為—廠-ei=_2ei-

一el

16.【答案】（1）解：易知4=V3,frT-3,則T=4,3=5；

4乙

因?yàn)?,所以*X#+0=竽+2/CTT,kEZ,所以R=—與+2/CTT,kEZf

又因?yàn)閨釗<￡,所以g=一半貝!]/(%)=gsin砥％—分

令一1+2/CTT<+2/CTT,解得一4+4/c<%<^+4k,keZ,

則函數(shù)/(%)單調(diào)遞增區(qū)間為[―,+4篇+44keZ；

(2)解：若/(%o)=則sin蔚％0_勺='

因?yàn)?oW序圖,所以(￡%o-gW(%")，所以cosd%o—芻=一1

mil(n\r/7rn\,TT]fnn\1(nn\V33+4乃

則cos(2&J=cos[(2沏-R+引=cos(2出一不卜2一sm(2&一引?2=--IO--

【解析】【分析】(I)易知a=B，IT,求出3,將點(diǎn)Q(孝，一四)代入，結(jié)合1初<￡,求出0,即可得函數(shù)

的解析式，再整體求函數(shù)/(久)單調(diào)遞增區(qū)間即可；

(2)〃通廠等，貝Lin(%T)=3結(jié)合%oe[|圖，得出(扛0T)e(J/)，用同角三角函數(shù)關(guān)系

式，得出cos翁與—勺=—|,cos&o)=cos[(畀0-勺+部用和角關(guān)系式展開(kāi)求值即可.

第10頁(yè)

(1)由題得4=百，,7=3,故7=4,to=y.

44

由/(當(dāng))二—百，得￡X芋+R=竽+2/CTT,kEZ,故R=—號(hào)+2/CTT,kEZ,\(p\<故0=一生故

/(%)=V3sin6%-勺.

7/']ITT'II15

一=-百+汽<弓+

—5乙+2/CTT乙<5'。q乙+2/CTTD4/c<D4k,/ceZ,

即/⑺單調(diào)遞增區(qū)間為昌+軌|+44kez.

_

(2)由/(K0)=#f,HPsin(^x0f)=

e

Xx0則(今久o-亨)e噲兀)，故cos(梟°T)=i|,

(71\\(7t7l\7F1(717l\1(717l\V33+473

cos(2%=cos心久。一R+3卜cos(2與一司.2_sin(2久。一司.T=—-io-

17.【答案】(1)證明：因?yàn)閆B=BC=PB,/.PBC=^ABC=45°,BD=BD,所以APB。三△ABO,

又因?yàn)?DJ_BC,所以PD1BC,因?yàn)锳D,PDu平面PAD,ADCPD=D,所以BC_L平面PAD,

又因?yàn)锽Cu平面PBC,所以平面24。1平面PBC；

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作PD的垂線交PC于M,過(guò)點(diǎn)E作AM的平行線交PD于點(diǎn)N,連接BN,如圖所示：

因?yàn)槠矫鍼BCC平面24。=PO,AMAM1PD,

所以力Ml平面PBC,又因?yàn)镋N||AM,所以ENI平面PBC,則zEBN就是BE與平面PBC所成的角，

因?yàn)镹ABD=乙PBD=45°,所以AD=PD=&,

因?yàn)镻A=V^,所以△4PD為等邊三角形，所以A”=乎，

因?yàn)镋為4P的中點(diǎn)，所以EN=JAM=半，

L4

在APAB中，易知65=半，貝UsinzEBN=器=卓=穹，

2&匕2V7

故BE與平面PBC所成角的正弦值為穹.

14

【解析】【分析】(1)要根據(jù)線面垂直的判定定理先證明BC，平面PAD,再證明PD1BC即可證平面PAD1平

面PBC；

(2)過(guò)點(diǎn)力作PD的垂線交PD于M,過(guò)點(diǎn)E作4M的平行線交PD于點(diǎn)N,連接BN,通過(guò)證明得到EN1平面PBC,

推出NEBN就是BE與平面PBC所成的角，再計(jì)算出EN和BE求解即可.

第11頁(yè)

(1)'：AB=BC=PB,/.PBC=^ABC=45°,BD=BD,：.APBD^AABD.

,：AD1BC,：.PD1BC.'：AD,PDu平面PAD,ADnPD=D,1平面PAD.

u平面PBC,二平面24。1平面PBC.

(2)過(guò)點(diǎn)/作PD的垂線交PD于M,過(guò)點(diǎn)E作/M的平行線交PD于點(diǎn)N,連接BN.

\?平面PBCC平面PZD=PD,4Mu平面PA。，AM1PD,

...力Ml平面PBC.YEN||AM,，EN_L平面PBC,."EBN就是BE與平面PBC所成的角.

;乙ABD=LPBD=45°,:.AD=PD=&-

..74=魚(yú)，.?.△4P。為等邊三角形，=

為4P的中點(diǎn)，:.EN—AM=單在APZB中易知BE=里，

242

.."NEN門(mén)同

因此，BE與平面PBC所成角的正弦值為四.

14

18.【答案】（1）解：由頻率分布直方圖可知參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均分為：（0.0025x10+0.0050x30+

0.0100X50+0.0175X70+0.0075X90+0.0050X110+0.0025X130）X20

=69；

(2)解：前4組頻率和為(0.0025+0.0050+0.0100+0.0175)x20=0.7，第5組頻率為0.0075X20=

0.15,則第75百分位數(shù)在［80,100）內(nèi)，即第75百分位數(shù)為80+吟薩X20,867

（3）解:競(jìng)賽得分在［100,120）內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為0.0050x20x100=10；分?jǐn)?shù)記為孫孫如…，小，其平

均數(shù)記為霜方差記為彳；競(jìng)賽得分在［120,140）內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為0.0025x20x100=5；分?jǐn)?shù)記為

%，當(dāng)，…，兀，其平均數(shù)記為小方差記為可；

把“強(qiáng)國(guó)少年”得分的平均數(shù)記為2,方差記為s2.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為：

2_1=兼{10限+(x-z)2]+5[s^+(y-z)2]}.(*)

S=15

由元=110,y=128,根據(jù)按比例分配分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平

均+々數(shù)粉為%：2-=110°+5%-+105+5_y=-1-0-x-1-101+5-5-x-1-2-8^116公，

把已知的平均數(shù)和方差的取值代入(*)可得：s2=2{10[9+(110—116)2]+5[6+(128—116)2]}=80,

第工2頁(yè)

據(jù)此估計(jì)該學(xué)校“強(qiáng)國(guó)少年”得分的方差約為80.

【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算平均數(shù)即可；

(2)先估計(jì)第75百分位數(shù)在[80,100)內(nèi)，后按求百分位數(shù)的方法求解第75百分位數(shù)即可；

(3)算出競(jìng)賽得分在[100,120)內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為10；分?jǐn)?shù)記為的,久2,久3,…，久10,其平均數(shù)記為禮方差記為

祗;算出競(jìng)賽得分在[120,140)內(nèi)學(xué)生的答卷數(shù)為5；分?jǐn)?shù)記為、1，為，…，兀，其平均數(shù)記為歹，方差記為耳；把

“強(qiáng)國(guó)少年”得分的平均數(shù)記為落方差記為s2.用分層隨機(jī)抽樣總樣本平均數(shù)、方差與各層樣本平均數(shù)、方差

的關(guān)系式求解即可.

(1)(0.0025X10+0.0050X30+0.0100X50+0.0175X70+0.0075X90+0.0050X110+0.0025X

130)X20=69(分)，

據(jù)此估計(jì)該校參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的平均分約為69分.

(2)前4組頻率和為(0.0025+0.0050+0.0100+0.0175)X20=0.7,第5組頻率為0.0075X20=0.15,

故第75百分位數(shù)在[80,100)內(nèi)，即第75百分位數(shù)為80+綜薩X20*86.7(分).

據(jù)此估計(jì)該校參加競(jìng)賽學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)約為86.7分.

(3)競(jìng)賽得分在[100