第05講橢圓及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................2

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................2

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題.................................3

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題...............................................3

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題.............................................4

題型六：離心率的值及取值范圍...................................................4

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題.................................................5

題型八：利用第一定義求解軌跡...................................................6

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用.........................................................7

02重難創(chuàng)新練..................................................................8

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................10

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知片（0,-1）,鳥（0,1）是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F?且垂直于y軸的直線交c于A,B兩點(diǎn)，且|4?|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

2.已知橢圓E：2r=1（。>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P,。兩點(diǎn),

且尸入，B。，且戶閶+優(yōu)。|=8,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

3.已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)（3,-1

,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

題型二：橢圓方程的充要條件

22

4.若方程上+^^=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<加<4且機(jī)w2

2

5.若曲線C:（"4）V+工=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是（）

6-k

A.（4,6）B.（4,5）C.（5,6）D.（4,5）（5,6）

22

6.若方程式+工=1表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，貝"的取值范圍是（）

4一1t-1

7.（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）若方程（m+1）爐+。-間/=1一"表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則（）

A.-l<m<lB.0<m<1

C.-l<m<0D.-l<m<O^cO<m<l

22

8.設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，若方程^+工=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（）

2-mm-\

33

A.—<m<2B.m>—

22

3

C.l<m<2D.l<m<—

2

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問題

22

9.已知耳，￡是橢圓C:\+多=1（°＞。＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上的一點(diǎn)，且尸耳，尸與，若尸耳工的

ab

面積為9,則，的值為.

22

10.設(shè)橢圓宗+4=1的左右焦點(diǎn)為片,月，橢圓上點(diǎn)P滿足I尸耳|：|尸用=2:3,貝I因工的面積為.

22_

11.已知kF?分別是橢圓C：2+2=1（“＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為'1,尸是C在

第一象限上的一點(diǎn).若PFt±PF2,則cosZPF.F,=.

22

12.已知橢圓匕+'=1的焦點(diǎn)為居、F],尸為該橢圓上任意一點(diǎn)（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）,貝IP耳耳的周長(zhǎng)為

2516

（）

A.10B.13C.14D.16

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

22

13.（2024.寧夏銀川.二模）已知橢圓C：?+1_=1的左焦點(diǎn)為憶"為橢圓C上任意一點(diǎn)，則|岬|的

最小值為.

14.已知AB=4,點(diǎn)尸在點(diǎn)A,3所在的一個(gè)平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)且PA+P3=6,則24的最大值是,最小值

是.

15.過橢圓C：3+與=1（“＞＞＞0）的右焦點(diǎn)尸且與長(zhǎng)軸垂直的弦的長(zhǎng)為3應(yīng)，過點(diǎn)尸（2』）且斜率為-1的直

線與C相交于AB兩點(diǎn)，若尸恰好是A2的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)河到廠的距離的最大值為.

16.已知橢圓C:4+/=1（。＞1）的離心率為變，尸為橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)4-2,0）,則|后|的最

a2

大值為________

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

22___________________________________________

17.設(shè)實(shí)數(shù)寫4滿足1+5=1,{/+9一2丁+1+-[2+/一2尤+1的最小值為（）

A.275-72B.1+75C.6D.前三個(gè)答案都不對(duì)

22

18.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：5+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為可，入，A是C上一點(diǎn),

3（2,1）,則|知+|故|的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

22

19.已知點(diǎn)尸為橢圓]+5=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)河、N分別為（無(wú)一1）2+/=1和（尤+1）?2=1上的點(diǎn)，則

|PM|+|PN|的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

20.已知小工分別為橢圓C:[+y2=i的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則戶耳卜|不|的最大值為（）

A.2B.273C.4D.473

題型六：離心率的值及取值范圍

22

21.已知橢圓，+與=1（。＞6＞0）的左右焦點(diǎn)為月，F(xiàn)2,以陽(yáng)局為直徑的圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，則橢圓離

ctb

心率的范圍為（）.

?v2

22.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C:1+與=1（。＞。＞0）的右焦點(diǎn)為產(chǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與橢圓

ab

C交于A,3兩點(diǎn).在△AEB中，ZAFB=120°,且滿足5”例=&。，則橢圓C的離心率為.

22

23.（2024?高三.河北保定?開學(xué)考試）如圖，設(shè)橢圓C:鼻+當(dāng)=1（。＞6＞0）的左焦點(diǎn)為尸，上頂點(diǎn)為A,

ab

右頂點(diǎn)為8,且所.43=0,則C的離心率為.

22

24.（2024?高三?福建.開學(xué)考試）已知橢圓上+當(dāng)=1的右焦點(diǎn)廠與拋物線V=2/（p>0）焦點(diǎn)重合，〃是

4m

橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，同=6-3&,則橢圓的離心率為.

22

25.（2024?高三河北滄州?期中）已知耳，工為橢圓C:當(dāng)+1=1（。>b>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一點(diǎn)，

ab

且,PK8的周長(zhǎng)為6,面積的最大值為名，則橢圓C的離心率為.

26.已知用且為橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn),若必退的三邊|幽|,|耳閭尸引成等差數(shù)列，則C的

離心率為.

22

27.如圖所示，已知橢圓C:=+==l（a>08>0）的左右焦點(diǎn)分別為片，8，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)B在V軸上，

ab

題型七：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)問題

22_

28.（多選題）連接橢圓C:=+工=1（°>石）的三個(gè)頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2道，記橢圓C的右焦點(diǎn)

a3

為尸，則（）

A.。=4B.橢圓C的離心率為二

2

2023

C.橢圓C的焦距為2?D.橢圓C上存在點(diǎn)P,使|PB|=2嬴

22

29.（多選題）（2024?福建廈門?一模）設(shè)橢圓C：3+2=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為小瑞，過原的

ab

直線與c交于A,B兩點(diǎn)，若閨叫=2,且AAB月的周長(zhǎng)為8,則（）

A.a=2B.C的離心率為:

C.|AB|可以為兀D.28A區(qū)可以為直角

22

30.（多選題）若矩形ABCD的所有頂點(diǎn)都在橢圓E:j+匕=1（°>0）上，且|A卸=2及，|AC|=2百，點(diǎn)產(chǎn)

a2

是E上與A,B,C,￡>不重合的動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4B.存在點(diǎn)尸，使得P4PC=

C.直線PAPB的斜率之積恒為D.直線尸APC的斜率之積恒為

22

22

31.（多選題）（2024?湖北.模擬預(yù)測(cè)）已知月,且是橢圓E:匕+工=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)尸在橢圓E上，則

43

A.點(diǎn)4,8在x軸上B.橢圓E的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4

C.橢圓E的離心率為!

D.使得與尸鳥為直角三角形的點(diǎn)尸恰有6個(gè)

2

22

32.（多選題）（2024?高三?河南?期中）已知凡分別是橢圓二+與=1（qb>0）的左、右焦點(diǎn)，且肺，耳居,

ab

直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為8,且46=3鳥瓦則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的布倍B.線段A耳的長(zhǎng)度為

C.橢圓的離心率為也D.△3耳鳥的周長(zhǎng)為更8。

33

22

33.（多選題）（2024.全國(guó).二模）已知圓。：Y+y2=3經(jīng)過橢圓c：2-+^-=1的兩個(gè)焦點(diǎn)

ab

K，F(xiàn)2,且尸為圓。與橢圓c在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且一月的面積為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2B.橢圓C的短軸長(zhǎng)為2

C.橢圓C的離心率為:D.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為方-，三一

題型八：利用第一定義求解軌跡

34.（2024?安徽?二模）已知定點(diǎn)4（0,2）,B（0,-2）,C（3,2）,以C為一個(gè)焦點(diǎn)作過A,3兩點(diǎn)的橢圓,則

橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)F的軌跡方程是.

35.已知河（-2,0）,p是圓心/一4了+丁2-32=0上一動(dòng)點(diǎn)，線段M尸的垂直平分線交NP于點(diǎn)。，則動(dòng)點(diǎn)

Q的軌跡方程為.

36.（2024?高三.廣東揭陽(yáng)?期中）設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-5,0）,（5,0）,直線AM、相交于點(diǎn)

且它們的斜率之積是T,則點(diǎn)M的軌跡方程是.

37.若VABC的兩個(gè)頂點(diǎn)3（0,-3）,C（0,3）,周長(zhǎng)為16,則第三個(gè)頂點(diǎn)A的軌跡方程是.

38.圓。1：（彳+2）2+必=1與。2乂*-2）2+/=49的位置關(guān)系為；與圓G，G都內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡

方程為.

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用

39.（2024.重慶.三模）如圖所示，“嫦娥一號(hào)”探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P變軌

進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道I繞月飛行,之后衛(wèi)星在尸點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以尸為一個(gè)焦點(diǎn)的

橢圓軌道n繞月飛行，最終衛(wèi)星在尸點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以R為圓心的圓形軌道ni繞月飛行，若用2q和2c2

分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2卬和2%分別表示橢圓軌道I和n的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則（）

A.—G<4—GB.G+q<%+Q

C.三D.土

40.2022年神舟接力騰飛，中國(guó)空間站全面建成，我們的“太空之家”遨游蒼穹.太空中飛船與空間站的對(duì)

接，需要經(jīng)過多次變軌.某飛船升空后的初始運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其遠(yuǎn)地點(diǎn)（長(zhǎng)

軸端點(diǎn)中離地面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）到地面的距離為H,近地點(diǎn)（長(zhǎng)軸端點(diǎn)中離地面最近的點(diǎn)）到地面的距離為邑，

地球的半徑為R,則該橢圓的短軸長(zhǎng)為（用耳，S2,R表示）.

41.如圖所示，為完成一項(xiàng)探月工程，某月球探測(cè)器飛行到月球附近時(shí)，首先在以月球球心尸為圓心的圓

形軌道I上繞月球飛行，然后在尸點(diǎn)處變軌進(jìn)入以廠為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月球飛行，最后在。點(diǎn)處

變軌進(jìn)入以尸為圓心的圓形軌道III繞月球飛行，設(shè)圓形軌道I的半徑為R,圓形軌道m(xù)的半徑為r,則橢圓

軌道II的離心率為.（用Rr表示）

II

22

1.（2024?廣東?一模）已知點(diǎn)RA分別是橢圓2=1（"10）的左焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)，8（0力）滿足EB.A3=0,

ab

則橢圓的離心率等于（）

AA^+1R^/5—106-1n^5+1

A.---D.-----------C.-----------U.----------

2222

22

2.（2024.遼寧?模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C:3+方=l（"0）的短軸長(zhǎng)為2,則其離心率為（）

A.3B.也C.-D.-

2224

22

3.（2024.河南周口?模擬預(yù)測(cè)）己知橢圓c：'+匕=1的一個(gè)焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)P,。是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩

2516

點(diǎn).則忸尸『+6坦尸|的取值范圍為（）

A.[2,26]B.[51,52]C.[51,76]D.[52,76]

22

4.（2024.湖北武漢.模擬預(yù)測(cè)）設(shè)橢圓E:]+%=l（a>b>0）的左右焦點(diǎn)為用工，右頂點(diǎn)為A,已知點(diǎn)尸

在橢圓E上，若/與尸工=90,/尸4工=45,則橢圓E的離心率為（）

A.|B.，C.2一后D.73-1

22

5.（2024?浙江?模擬預(yù)測(cè)）已知耳，尸2分別為橢圓C：彳+4=1伍>匕>0）的左右焦點(diǎn)，過F2的一條直線

ab

與C交于A,8兩點(diǎn)，且AMLAB,怛閭=1,則橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的最小值是（）

A.472B.3+20C.6D.4+2應(yīng)

22

6.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)％F?分別是橢圓￡言+方=1（。＞匕＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F2的直線交

橢圓于A,B兩點(diǎn)，且A耳?隹=0,AF2=2F2B,則橢圓E的離心率為（）.

A當(dāng)B-T3

.D.

CI5

7.（2024.江西新余.模擬預(yù)測(cè)）已知焦點(diǎn)在1軸上的橢圓。的左右焦點(diǎn)分別為耳、B，經(jīng)過招的直線/與。交

于43兩點(diǎn)，若4A.丹3=16,AFrAB=9,B%BA=0,則。的方程為：（）.

A.—+^=1B.—+^=1C.—+^-=1D.—+y2=l

9432983

22

8.（2024內(nèi)蒙古包頭.三模）設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，F(xiàn)?為橢圓C：、■+（=：!的左，右兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)R在

C上，點(diǎn)E是線段班上靠近點(diǎn)K的三等分點(diǎn)，若ORLOE,則|OR|=（）

513

A.-B.^5C.A/6D.—

22

9.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓r*+1=1（/＞0萬(wàn)＞0,〃.）過點(diǎn)（u）,其右頂點(diǎn)人，上頂點(diǎn)B.那

么以下說法正確的是（）

A.設(shè)。是半焦距。到：T的其中一個(gè)焦點(diǎn)的距離，那么必然有

B.。到直線48的距離分?不是定值

3

C.「和V+V+個(gè)=］沒有交點(diǎn)

D.三角形。鉆面積的取值范圍是［1,”）

22

10.（多選題）（2024?四川?一模）已知橢圓E：Z+匕=1的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為斗鳥，過點(diǎn)鳥

43

的直線與橢圓相交于尸，。兩點(diǎn)，則（）

A.閨閶=1

B.|pe|＜4

C.當(dāng)鳥,P,。不共線時(shí)，△耳尸。的周長(zhǎng)為8

D.設(shè)點(diǎn)尸到直線尤=T的距離為d,則d=2|P周

22

11.（多選題）（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：T+斗=1（空方＞。）的上頂點(diǎn)為3（。，四），右頂點(diǎn)為A，

左、右焦點(diǎn)分別為6耳，cosZf；BK=0.若尸為C上與點(diǎn)42不重合的動(dòng)點(diǎn)，直線B4與y軸交于點(diǎn)M,

直線P8與x軸交于點(diǎn)N,則（）

22

A.C的方程為土+乙=1B.P6居面積的最大值為2

32

C.坐標(biāo)原點(diǎn)。到直線AB的距離為孚D.|ANHBM|=4夜

12.（多選題）（2024.江西.模擬預(yù)測(cè)）已知A（-2,0）,B（2,0）,C（l,0）,動(dòng)點(diǎn)M滿足M4與MB的斜率之

3

積為-二，動(dòng)點(diǎn)"的軌跡記為：T,過點(diǎn)。的直線交「于尸，。兩點(diǎn)，且尸，。的中點(diǎn)為貝!J（）

4

22

A.M的軌跡方程為二+匕=1

43

B.|MC|的最小值為1

C.若。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OP。面積的最大值為,

D.若線段P。的垂直平分線交x軸于點(diǎn)。，則R點(diǎn)的橫坐標(biāo)是。點(diǎn)的橫坐標(biāo)的4倍

13.（2024?廣東佛山?模擬預(yù)測(cè)）定義離心率e=@的橢圓為“西瓜橢圓”.已知橢圓C:工+工=1（機(jī)＞16）是

3m16

22

“西瓜橢圓”，則機(jī)=____.若“西瓜橢圓”石：3+與=1（〃＞“0）的右焦點(diǎn)為尸，直線＞=區(qū)與橢圓E交于

ab

A5兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)/，則左=.

22

14.（2024?山東濟(jì)南?三模）已知月、區(qū)是橢圓f+2=l（a＞匕＞0）的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，0

ab

為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸。耳為正三角形，則該橢圓的離心率為.

22

15.（2024.山東.二模）已知橢圓土+上=1的焦點(diǎn)分別是乙，B，點(diǎn)M在橢圓上，如果耳=那

26

么點(diǎn)〃到x軸的距離是.

22

16.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）橢圓C：二+1=1的左、右焦點(diǎn)分別為乙，F(xiàn)2,過片且斜

ab

率為-3s■的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn)（A在8左側(cè)），若（44+耳月）?Ag=0,則C的離心率為.

-V2v21

1.（2。22年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的禺心率"AM分別為C的左、

右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若B4,?%=T，則C的方程為（）

x2222

A\y1RX24y2]Xyx2

A.-----1=iD.1---------=1C.1--------=1D.-----Fy=1

181698322

2

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)真題）橢圓C:f*+2v=l（a>b>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸，。均在。上，且關(guān)

ab

于y軸對(duì)稱.若直線的斜率之積為;，則C的離心率為（）

A.也B.也C.-D.-

2223

22

3.（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)8是橢圓C：A+斗=l（a>b>0）的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)尸都

ab

滿足|總區(qū)26,則C的離心率的取值范圍是（）

A?惇/B.目C.10,圖D,（0,1

22

4.（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）己知月，F(xiàn)?是橢圓C：上+匕=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)加在C上，則

一94

四耳卜阿閶的最大值為（）

A.13B.12C.9D.6

22

5.（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓c：*+多=l（a>b>0）,C的上頂點(diǎn)為A,兩個(gè)焦點(diǎn)為身，

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