第14講雙曲線

目錄

第14講雙曲線................................................................................1

一、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.........................................................................2

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................2

考點(diǎn)1雙曲線定義.........................................................................3

考點(diǎn)2曲線方程與雙曲線...................................................................3

考點(diǎn)3求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程................................................................4

考點(diǎn)4求雙曲線的軌跡方程................................................................4

二、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).....................................................................6

基礎(chǔ)知識(shí)...................................................................................6

考點(diǎn)5由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程......................................................7

考點(diǎn)6雙曲線的漸近線方程................................................................7

考點(diǎn)7雙曲線的離心率.....................................................................8

考點(diǎn)8雙曲線中的最值.....................................................................9

考點(diǎn)9雙曲線的實(shí)際應(yīng)用...................................................................9

三、課后作業(yè)..................................................................................11

單選題....................................................................................11

多選題....................................................................................12

填空題....................................................................................12

解答題....................................................................................13

、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

基礎(chǔ)知識(shí)

1.雙曲線的定義

雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)同，尸2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于EBI)的點(diǎn)的軌跡叫

作雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系:

雙曲線在坐標(biāo)7

系中的位置"kt

［八,r'v

可ZIA

%—￡=l(a>O,b〉O)

標(biāo)準(zhǔn)方程=l(a>0,&>

a2b2

焦點(diǎn)坐標(biāo)Fl(-c,0),F2(c,0)Fl(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的關(guān)系c2=a2+b2

3.雙曲線方程的求解

(1)用定義法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

根據(jù)雙曲線的定義，確定合力2的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫(xiě)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

(2)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，先確定焦點(diǎn)在x軸還是y軸上，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定

22

/T一^2=%(2W0)

a2,b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點(diǎn)的位置不好確定，可將雙曲線的方程設(shè)為m〃

或用/一〃必=1(〃"7>0),再根據(jù)條件求解.

考點(diǎn)1雙曲線定義

22

【例l-i]OF"」訪:喀”力木）設(shè)雙曲線M-2=1的焦點(diǎn)為a,尸2，點(diǎn)P為C上一點(diǎn)，IP&I=6,

1664

則|PF2l為（）

A.22B.14C.10D.2

22

【例1.2】（23-24高一上陜共咸陽(yáng)?階段練習(xí)）雙曲線C：京—金=1S>0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是&與F2,焦

距為8,M是雙曲線上的一點(diǎn)，且1MF/=5,則|M&I等于（）

A.9B.9或1C.1D.6

22

【變式1.1]（23-24高二上?江蘇揚(yáng)州?階段練習(xí)）已知雙曲線篙—?=1,&,尸2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，P是雙曲線右支上一點(diǎn)，COSNF1PF2=—|,則|P0|=（）

A.V10B.V15C.2VsD.V33

22

「；式【F?。喝绻p曲線號(hào)—S=1上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么點(diǎn)P到

412

它的左焦點(diǎn)的距離是（）

A.4B.12C.4或12D.不確定

考點(diǎn)2曲線方程與雙曲線

【例2.1]（23-24高三上.廣東佛山.階段練習(xí)）對(duì)于常數(shù)a,6,“ab<0”是“方程a/+如2=1對(duì)應(yīng)的曲線

是雙曲線”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

：一十段方程總:+上=l（8eR）所表示的曲線是（）

2sin0+4sind—3

A.焦點(diǎn)在x軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓

C.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線D.焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

22

【變式2.1]（2023高二上?江蘇?專題練習(xí)）已知方程A-亂二1對(duì)應(yīng)的圖形是雙曲線,那么k的取值范

k-5\k\-2

圍是（）

A.k>5B.k>5或一2<k<2

C.k>2或k<-2D.-2</c<2

22

【變式2.21（23-24高三上?天津?yàn)I海新?階段練習(xí)）“m<1”是“方程J+冬=1表示雙曲線”的（）

m+2m-1

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

考點(diǎn)3求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【例3.1]（23-24高二上.安徽滁州.期中）已知雙曲線C:5—《=l（a>0/>0）的左，右焦點(diǎn)分別是

6（—13,0）,尸2（13,0）,點(diǎn)P在雙曲線C上，且1PF/—IPF2I=10,則雙曲線C的方程是（）

【例3.2】（23-24高匕全國(guó)?課后作業(yè)）已知雙曲線的下、上焦點(diǎn)分別為0（0,-3）,F2（0,3）,P是雙曲線

上一點(diǎn)且IPFJ—IPF2I=4,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

【變式3.1]（23-24高二上?寧夏吳忠?期末）已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為4,焦點(diǎn)為（一4,0）,（4,0）,則該雙曲線的

標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

；習(xí)）以橢圓盤(pán)+《=l（a>6>0）的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓

的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程是（）

a2-b2b2

考點(diǎn)4求雙曲線的軌跡方程

【例4.1】（23-24高三.四川?對(duì)口高考）已知y軸上兩點(diǎn)居（0,-5）,F2（0,5）,則平面內(nèi)到這兩點(diǎn)距離之差的

絕對(duì)值為8的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（）

【例4.2】（23-24高二上?廣芳期中）設(shè)6、尸2是兩定點(diǎn)，1尸/2|=6,動(dòng)點(diǎn)P滿足|PfJ—|P&I=4,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）

A.雙曲線B.雙曲線的一支C.一條射線D.軌跡不存在

價(jià)段：J）已知圓G：（久+2）2+V=彳，c2：（久一2）2+丫2=%動(dòng)

圓P與圓G，C2都外切，則動(dòng)圓圓心P的軌跡方程為（）

A.X2—y=l（x>0）B.x2———l（x<0）

22

C.X2-^-=1（%>0）D.X2-^-=l（x<0）

:習(xí)）已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)4,2的坐標(biāo)分別是（—2,0）、（2,0）,

且AC,BC所在直線的斜率之積等于2,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是（）

A.-———=1（xK+2）B.x2--=1

48-2

C.-1D.E—y2=1（X力+2）

482/一

二、雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

基礎(chǔ)知識(shí)

1.雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)

雙曲線的一些幾何性質(zhì)：

圖形*W.

%一方=1(。>0,6>0)%一3=l(Q>0,b>。)

標(biāo)準(zhǔn)方程

范圍x>a或x<-a,y￡Ry>a或y<-a,xeR

對(duì)稱性關(guān)于X軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

頂點(diǎn)Al(-a,0),A2(a,0)Al(0,-a),A2(0,a)

半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)為a,虛半軸長(zhǎng)為b

離心率e=((e>1)

y=土匕1a

漸近線方程a

2.雙曲線的離心率

C

(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比“，叫作雙曲線的離心率.

⑵雙曲線離心率的范圍：e>l.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開(kāi)口大小.

—JcJ=-y/e2—1—

因?yàn)椤?Y°，所以e越大，°越大，則雙曲線的開(kāi)口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=“”.

3.雙曲線中的最值問(wèn)題

求解此類(lèi)問(wèn)題一般有以下兩種思路：

（1）幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決，這就是幾何

法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問(wèn)題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.

（2）代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一

個(gè)（或多個(gè)）變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三

角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對(duì)最值的影響.

考點(diǎn)5由雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【例L1U、:;、臨沂卞，已知雙曲線C：4—的一條漸近線斜率為—2,實(shí)軸長(zhǎng)為

a2b2

4,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

2

A2%2《ny2y2dy2X2

A.y2-----=1B.----------=1C.------x2=1D.----------=14

z44164164

【例1.2]（23-24高三上.廣東東莞.階段練習(xí)）已知雙曲線中心在原點(diǎn)，一頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0,4）,且漸近線方程

為x=±2y,則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

22

以橢圓5+9=1的長(zhǎng)軸端點(diǎn)為焦點(diǎn)、以橢圓焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙

84

曲線方程為（）

2-.2/A,2曠22

A.上v一匕=1B.上一匕=1C.--y2=1D.v--y2=1

44844z8，

【變式1.2]（2（）24高一,全國(guó).號(hào)題練習(xí)）雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)與虛軸長(zhǎng)之和等于其焦距的四倍，且一個(gè)頂點(diǎn)的

坐標(biāo)為（0,2）,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

A.亡-JB.

4444

考點(diǎn)6雙曲線的漸近線方程

2__

卜—港—：J）已知雙曲線C:/一去=1（匕＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)為（一西0）,

則雙曲線C的一條漸近線方程為（）

A.2%+y=0B.%+2y=0C.2%+y—1=0D.%+2y-1=0

【例2.2]<23-24"一萬(wàn)南周「必刃）已知雙曲線1-g=l（a>O,fo>0）的實(shí)軸長(zhǎng)為2傳其左焦點(diǎn)

到雙曲線的一條漸近線的距離為b，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±V3xB.y=土']

C.y—±V2xD.y=±零％

【變式2.11（23-24高二上?安徽合肥?期末）已知平行于%軸的直線/與雙曲線C:馬一盤(pán)=l（a>0b>0）的

a2b2t

兩條漸近線分別交于P,Q兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若為等邊三角形，則雙曲線。的漸近線方程為（）

A.y=±-y%B.y=±V3xC.y=±-yxD.y=±x

22

【變式2.2]（23-24高三匕陜西?階段練習(xí)）已知雙曲線。今一白=1（￡1>0,6>0）的離心率為6,一條漸

近線的斜率為瓦若e2+l=3,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.x+y=0B.x±y/2y=0C.x±V3y=0D.x+2y=0

考點(diǎn)7雙曲線的離心率

【例3.1]（23-24高―上M龍江哈彳;淡?期中）已知雙曲線C:/一力=1（/,>0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（h4）,

則C的離心率為（）

A.—B.-C.V5D.3

22

22

；L1雙曲線（7橐一色=l（a>0,6>0）的左，右焦點(diǎn)分別為乙尸2，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)鼻作C的一條漸近線的垂線，垂足為。，且IDF2I=b1。。1，則C的離心率為（）

A.V2B.2C.V5D.3

【變式3.1]（23-24高二上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）雙曲線C：9―9=1（a>0）的左，右焦點(diǎn)分別為F2,

過(guò)F2的直線/與雙曲線的右支相交于A,8兩點(diǎn)，△40尸2的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)為1，則雙曲線C的離心率

為（）

A.V2B.V3C.2D.3

22

習(xí)）已知雙曲線靠一力=1（。>0/>0）的焦距為2的過(guò)右焦

點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于4,B兩點(diǎn).設(shè)48到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為必和d2,且

\dr-d2\<c,則雙曲線的離心率的取值范圍為（）

A.(1,(C.(1,V2]D.[VX+8)

考點(diǎn)8雙曲線中的最值

22

已知F1，尸2為雙曲線C：9一-=1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是c的右支

42

上的一點(diǎn)，則甯的最小值為（）

A.16B.18C.8+4&D.9+—

2

」2已知4（0,4）,雙曲線。-q=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，尸2，點(diǎn)「是

45

雙曲線左支上一點(diǎn)，則仍用+IP&I的最小值為（）

A.5B.7C.9D.11

【變式4.1］（23-24高：J；II」?！半A段紀(jì)習(xí)）已知雙曲線C:1《=1的下焦點(diǎn)為F,4（3,7）,P是雙曲

45

線C上支上的動(dòng)點(diǎn)，則||PF|-|P川|的最大值是（）

A.不存在B.8C.7D.6

2

I式4.2］（23-：'4Y卜折；上華?階段：'J）已知圓C:/+（y-4）2=1上有一動(dòng)點(diǎn)P,雙曲線v—

?=1的左焦點(diǎn)為F,且雙曲線的右支上有一動(dòng)點(diǎn)Q,則|PQ|+|QF|的最小值為（）

A.4V2-1B.4V2-5C.+7D.4魚(yú)+5

考點(diǎn)9雙曲線的實(shí)際應(yīng)用

【例5.1］（23-24高二下.浙江.階段練習(xí)）江南水鄉(xiāng)多石拱橋，現(xiàn)有等軸雙曲線形的石拱橋（如圖），拱頂

離水面10米，水面寬4B=206米，若水面上升5米，則水面寬為（）

A.10魚(yú)米B.15魚(yú)米C.12百米D.30米

某中心接到其正東、正西、正北方向三個(gè)觀測(cè)點(diǎn)的報(bào)告：正西、正北兩

個(gè)觀測(cè)點(diǎn)同時(shí)聽(tīng)到了一聲巨響，正東觀測(cè)點(diǎn)聽(tīng)到的時(shí)間比其它兩觀測(cè)點(diǎn)晚4s.已知各觀測(cè)點(diǎn)到該中心的距離

是1020m.則該巨響發(fā)生在接報(bào)中心的（）處.（假定當(dāng)時(shí)聲音傳播的速度為340m/s3,相關(guān)各點(diǎn)均在同一

平面上）

A.西偏北45。方向，距離680VTUmB.東偏南45。方向，距離680VTUm

C.西偏北45。方向，距離680而mD.東偏南45。方向，距離6804m

【變式5.1］（2023?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)在實(shí)際生活中有著廣泛的應(yīng)用.我國(guó)首先研制成

功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)射出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反

射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線都經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).如圖，已知雙曲線C弓-1=l（a>0,b>0）

a2b2

的左、右焦點(diǎn)分別為6,尸2,當(dāng)入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時(shí)（其中尸為入射點(diǎn)）,COSZ&F2P=?,

期中）3D打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，

運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過(guò)逐層打印的方式來(lái)構(gòu)造物體的技術(shù)，如圖所示的塔筒為3D打印

的雙曲線型塔筒，該塔筒是由離心率為VTU的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔

筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）的上底直徑為6&cm,下底直徑為9&cm,喉部（中間最細(xì)處）

的直徑為8cm,則該塔筒的高為（）

A.5cmB.18cmC.—cmD.18或cm

三、課后作業(yè)

單選題

22

件24高二上?山東煙臺(tái)?期末）已知雙曲線的方程為上上1,則該雙曲線的焦距為（）

A.2B.4C.2V5D.6

2.（23-24高二上.四川成都.期末）相距1400m的A,8兩個(gè)哨所，聽(tīng)到炮彈爆炸聲的時(shí)間相差3s,已知聲

速是340m/s,炮彈爆炸點(diǎn)一定在曲線（）的方程上.

*2y2x2y2

A.(%<-510)B.=1(%>510)

260100229900260100229900

C.y=0(%<一700或第>700)

260100229900

3.（23.24高二上?廣東茂名?期末）如圖,這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱

22

為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線C:京-a=l（a>0,b>0）的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.

若該花瓶橫截面圓的最小直徑為40cm,最大直徑為60cm,雙曲線的離心率為傷，則該花瓶的高為（）

C.110cmD.120cm

4.（23-24高二上.全國(guó).單兀測(cè)試）己知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)為焦距

為4,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（2,1）,P為雙曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，則|P6|-|P川的最大值為（）

A.2V2B.V17C.2&+1D.2V2+V5

5.（23-24高二上?湖北恩施?階段練習(xí)）已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的焦距為2百，實(shí)半軸為1,則雙曲線的

方程為（）

A.-——y2=1B.x2――=1

2J2

22

C.y2--=1D.匕一/=1

/22

22__

6.（23-24高—上」海.期末）方程三+3=1表示焦距為2遍的雙曲線，則實(shí)數(shù)力的值為（）

X—43—A

A.1B.-4或1C.-2或一4D.-2或1

若雙曲線C〈—y2=1的實(shí)軸長(zhǎng)為%則正數(shù)n=（）

mz+l7

A.V3B.2C.-D.-

42

22

S-）己知雙曲線臺(tái)—琶=1（a＞0,b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為0,

F2,M為雙曲線右支上的一點(diǎn)，若〃在以I&F2I為直徑的圓上，且4”尸20€&工），則該雙曲線離心率的

取值范圍為（）

A.（1,V2）B.（V2,+00）C.（1,V3+1）D.（V2.V3+1）

多選題

22

9.（23-24高二上.安徽合肥?階段練習(xí)）已知曲線。上一+上一=