專題03分式

內(nèi)容導(dǎo)航

的考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+高考考點(diǎn)，有的放矢

1重點(diǎn)速記：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺

難點(diǎn)強(qiáng)化：難點(diǎn)內(nèi)容標(biāo)注與講解，能力提升

「復(fù)習(xí)提升：真題感知+提升專練，全面突破

???考點(diǎn)聚焦<<<

*核心考點(diǎn)聚焦

1、分式有意義的條件

2、分式化簡(jiǎn)求值

3、解分式方程

4、分式的求值

5、根據(jù)分式方程解的情況求值

6、分式方程的應(yīng)用

>中考考點(diǎn)聚焦

常考考點(diǎn)真題舉例

分式有意義的條件2024?安徽?中考真題

分式化簡(jiǎn)求值2024?寧夏?中考真題

分式方程的其它實(shí)際問題2024?寧夏?中考真題

解分式方程2024?江蘇徐州?中考真題

分式方程的經(jīng)濟(jì)問題2024?江蘇宿遷?中考真題

分式的求值2024?四川雅安?中考真題

根據(jù)分式方程解的情況求值2024?黑龍江牡丹江?中考真題

???重點(diǎn)速記<<<

IJ

-.解分式方程的步驟

解分式方程基本步驟：①去分母；②解整式方程；③驗(yàn)根

分式方程的增根：使分式方程分母=0的未知數(shù)的值；

分式方程會(huì)無解的幾種情況

①解出的X的值是增根，須舍去，無解

②解出的x的表達(dá)式中含參數(shù)，而表達(dá)式無意義，無解

③同時(shí)滿足①和②，無解

求有增根分式方程中參數(shù)字母的值的一般步驟：

①讓最簡(jiǎn)公分母為0確定增根；

②去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

③將增根帶入（當(dāng)有多個(gè)增根時(shí)，注意分類，不要漏解）；

④解含參數(shù)字母的方程的解。

二,與分式方程的解有關(guān)的問題

1.由分式方程的解的情況求字母系數(shù)的取值范圍，一般解法是：

①根據(jù)未知數(shù)的范圍求出字母的范圍；

②把使分母為0的未知數(shù)的值代入到去分母后的整式方程中，求出對(duì)應(yīng)的字母系數(shù)的值;

③綜合①②，求出字母系數(shù)的范圍.

2.依據(jù)分式方程的增根確定字母參數(shù)的值的一般步驟：

1）先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；

2）由題意求出增根；

3）將增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母參數(shù)的值.

三.分式方程的應(yīng)用

用分式方程解決實(shí)際問題的步驟：

審：理解并找出實(shí)際問題中的等量關(guān)系；

設(shè)：用代數(shù)式表示實(shí)際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)；

列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程；

解：求解方程；

驗(yàn)：考慮求出的解是否具有實(shí)際意義;+

1）檢驗(yàn)所求的解是否是所列分式方程的解.

2）檢驗(yàn)所求的解是否符合實(shí)際意義.

答：實(shí)際問題的答案.

/X

???難點(diǎn)強(qiáng)化<<<

J」

【題型1解分式方程】

1.(2025八年級(jí)下?全國?專題練習(xí))解方程：

(1)—=+1；(2)—=--2.

''x-2X2-4''x-33-x

【答案】⑴無解

(2)%=1

【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解分式方程的方法步驟(去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1,檢驗(yàn)，)求解,

即可解題;

(2)解題方法與(1)類似.

【詳解】(1)解：吃=3+1

X-2%2-4

化為整式方程得，%(%+2)=8+/—生

去括號(hào)得，%2+2%=%2+4,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，2x=4,

系數(shù)化為1得，％=2,

檢驗(yàn)：把％=2代入久2—4=4—4=0,

以=2是原方程的增根，原方程無解；

(2)解：-=--2

x-33-x

化為整式方程得，4—x=—1—2(x—3),

去括號(hào)得，4—x=-1—2x+6,

移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得，X=1,

檢驗(yàn)：把％=1代入久—3=1—3=—2W0,

0%=1是原方程的解.

2.(2025八年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí))解方程.

(1)-=—;--------=1.

xx-1X2-42-x

【答案】⑴久口一2

(2)x=-3

【分析】本題考查了分式方程的計(jì)算，熟知運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

(1)先去分母，再計(jì)算一元一次方程即可；

(2)先去分母，再計(jì)算一元一次方程即可.

【詳解】(1)解”三三,

Xx-1

方程兩邊同乘%(%-1),得2(x-1)=3%,

解得：x=-2,

檢驗(yàn)：K=—2時(shí)，x(x-1)0,

0x=-2是該分式方程的解；

(2)解：丁--------=1

X2-42-x

方程兩邊同乘(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,

解得：x=-3,

檢驗(yàn)：x=—3時(shí)，(x+2)(%-2)0,

回x=-3是該分式方程的解.

3.(2025八年級(jí)下?全國?專題練習(xí))解方程：

V—QQ124

(1)------F1=；(2)------------=——.

''x-22-x'fx-lx+1x2-l

【答案】(l)x=1

(2)無解

【分析】本題考查了解分式方程，熟知分式方程需檢驗(yàn)是解題的關(guān)鍵.

(1)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解;

(2)先將分式方程化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后檢驗(yàn)即可求解.

【詳解】⑴解：芍+1=2，

x-22-x

團(tuán)式一3+%—2=-3,

解得：％=1,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=1時(shí)，％-2。0,

0%=1是原分式方程的解.

(2)解：------=4,

x-lx+1x2-l

團(tuán)工+1—2(%—1)=4,

解得：X=-1,

經(jīng)檢驗(yàn)，X=—1時(shí)—1=1—1=0,

團(tuán)原方程無解.

【題型2分式化簡(jiǎn)求值】

1.(2025?山東濟(jì)寧?二模)若關(guān)于x的方程二。+4=1的解為正數(shù)，則m的值可以為()

x-22-x

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解題的關(guān)鍵.

先用含m的代數(shù)式表示x,再根據(jù)解為正數(shù)，列出關(guān)于m的不等式，求解即可.

【詳解】解：由三+E=i,

去分母得:2x—m=x—2,

解得：x=m—2且％W2,

團(tuán)關(guān)于X的方程二+—=1的解是正數(shù)，

x-22-x

0m—2>0且m—2W2,解得：m>2且mH4,

回m的值可以為3,

故選：C.

2.(2025?重慶?一模)先化簡(jiǎn)再求值：(1+=)++言,其中乂是從一1,0,2中選取的一個(gè)合適

\x-lJxz-2x+lx2-l

的數(shù).

【答案】等；0

【分析】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利

用同分母分式的加法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，再選取合適的值代入計(jì)

算即可求出值.

【詳解】解：原式=x不-lx然(x+l)+(ax+l丁)(x-l4)

_2(x-l)2

x+1x+1

_2%—4

=,

x+1

xW0且久W—1,

當(dāng)％=2時(shí)，原式=~~~=0，

3.(2025?江西贛州?二模)先化簡(jiǎn)，再求值：(1—丟三，其中a=2.

\a+2/a2+4a+4

【答案】*，4

a-1

【分析】本題主要考杳分式的化簡(jiǎn)求值，根據(jù)分式的減法法則，除法法則把原式化簡(jiǎn)，再把a(bǔ)=2代入

計(jì)算即可.

|詳解】解:(1一總)

'a2+4a+4

a+2-1(a+2>

a+2(a+l)(ci-1)

a+2

把a(bǔ)=2代入得：原式==4

2—1

4.(2025?廣東深圳?二模)先化簡(jiǎn)，再求值：(全+專)+高言，再從一2,0，L2中，選個(gè)合適的值作

為x代入求值.

【答案】圭；1

【分析】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵.先通分括號(hào)內(nèi)的式子，同

時(shí)將括號(hào)外的除法轉(zhuǎn)化為乘法，再約分，然后從-2,0,1,2中，選一個(gè)使得原分式有意義的值代入

化簡(jiǎn)后的式子計(jì)算即可.

【詳解】解：原式=（圭+專）?金

(%-2)

x—2/2x(%—2)

(%-2)

(%+2)(%—2)2x(%—2)

一,

x+2

回％+2%—2。0,

0-2,0,1,2中，只有％=1符合題意，

當(dāng)％=1時(shí)，原式=

5.（2025?廣東深圳?二模）下面是小甜化簡(jiǎn)分式」7+三+當(dāng)?shù)倪^程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

x+1x+1x2-l

1?(%+1)(%—1)

_LX~~

（1）化簡(jiǎn)過程中，從第（填序號(hào)）步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤.錯(cuò)誤的原因是.

⑵請(qǐng)寫出正確的化簡(jiǎn)過程，并求出當(dāng)久=-2時(shí)，該代數(shù)式的值.

【答案】（1）①；未遵循分式混合運(yùn)算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級(jí)規(guī)則

2—；0

''x+1

【分析】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式混合運(yùn)算的

法則.

（1）按照混合運(yùn)算的運(yùn)算順序進(jìn)行判斷即可；

（2）先進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，然后再進(jìn)行分式的加減，最后代數(shù)求值即可.

【詳解】（1）解：從第①步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，

未遵循分式混合運(yùn)算中應(yīng)先算乘除、再算加減的優(yōu)先級(jí)規(guī)則；

(%-1)(%+1)

當(dāng)％=-2時(shí)，原式=0.

【題型3根據(jù)分式解的情況求值】

1.（24-25八年級(jí)下?河南周口?階段練習(xí)）己知關(guān)于x的分式方程三-4=4.

x-l1-X

（1）若方程的解為％=—1,求小的值.

(2)若方程的解為非負(fù)數(shù)，求機(jī)的取值范圍.

【答案】(1)6=—7

(2)m>—4且m力—1

【分析】本題主要考查解分式方程和一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是注意分式方程隱含的分母不為零.

(1)把方程的解代入方程求解即可；

(2)根據(jù)分式方程的求解方法，注意分母不為零，且解為非負(fù)數(shù)的條件.

【詳解】(1)解：當(dāng)久=—1時(shí)，二一4=三，

-1-11+1

解得7H=-7.

(2)解：—---4=――,

x-l1-X

去分母得%-4(%—1)=—m,

解得第=等，

??,分式方程有解且解為非負(fù)數(shù)，且久W1,

???—>0且比W1,

33

解得m>一4且mH—1.

2.(24-25八年級(jí)上?廣西防城港?階段練習(xí))關(guān)于久的分式方程：卷=守.

x-33-x

(1)當(dāng)血=2時(shí)，求此時(shí)方程的解.

⑵若這個(gè)方程占="絲的解為正數(shù)，求小的取值范圍.

x—33—x

【答案】(1比=—4

(2)m>6且m*9

【分析】此題主要考查了解分式方程及不等式的解法，注意解分式方程要進(jìn)行檢驗(yàn)是解題關(guān)鍵.

(1)直接利用解分式方程的方法求解即可；

(2)先解分式方程，然后依據(jù)題意求解不等式即可.

【詳解】(1)解：當(dāng)a=2時(shí)，分式方程為之=4，

x-33-x

方程兩邊同乘(％-3),

解得汽=-4,

檢驗(yàn)：當(dāng)％=-4時(shí)，

所以當(dāng)m=2時(shí)，

分式方程的解為久=-4；

(2)—,

x—33-x

方程兩邊同乘。-3),

解得久=771—6,

這個(gè)方程三=了的解為正數(shù),

m-6>0且m—6力3,

解得zn>6且m豐9.

【題型4分式方程的應(yīng)用】

1.(2025?山東濟(jì)南?二模)人工智能被稱為世界三大尖端技術(shù)之一，近年來得到了迅猛發(fā)展，取得了豐碩成

果.2024年12月26日，中國人工智能公司發(fā)布DeepSeek-U3模型，引發(fā)了科技行業(yè)高度關(guān)注.某

校積極響應(yīng)國家"科教興國”戰(zhàn)略，開設(shè)智能機(jī)器人編程的校本課程，學(xué)校購買了A,8兩種型號(hào)的機(jī)器

人模型,A型機(jī)器人模型單價(jià)比B型機(jī)器人模型單價(jià)多200元，用4000元購買A型機(jī)器人模型和用2400

元購買B型機(jī)器人模型的數(shù)量相同.

⑴求A型，8型機(jī)器人模型的單價(jià)分別是多少元？

(2)學(xué)校準(zhǔn)備再次購買A型和B型機(jī)器人模型共40臺(tái)，購買2型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號(hào)機(jī)器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和2型機(jī)器人模型各多少臺(tái)時(shí)花

費(fèi)最少？最少花費(fèi)是多少元？

【答案】(1)4型機(jī)器人模型單價(jià)為500元，8型機(jī)器人模型單價(jià)為300元

(2)購買A型機(jī)器人10臺(tái)、2型機(jī)器人30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元

【分析】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確的列出方程，

不等式和一次函數(shù)，是解題的關(guān)鍵：

(1)設(shè)8型機(jī)器人模型單價(jià)為x元，根據(jù)用4000元購買A型機(jī)器人模型和用2400元購買2型機(jī)器人

模型的數(shù)量相同，列出分式方程進(jìn)行求解即可；

(2)設(shè)購買A型機(jī)器人m臺(tái)，根據(jù)購買2型機(jī)器人模型不超過A型機(jī)器人模型的3倍，列出不等式求

出小的取值范圍，設(shè)共花費(fèi)w元，列出一次函數(shù)解析式，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，求最值即可.

【詳解】(1)解：設(shè)2型機(jī)器人模型單價(jià)為尤元，則A型機(jī)器人模型單價(jià)為(X+200)元.

解得x=300,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=300是所列分式方程的解,

300+200=500(元).

答：A型機(jī)器人模型單價(jià)為500元，2型機(jī)器人模型單價(jià)為300元.

(2)設(shè)購買A型機(jī)器人機(jī)臺(tái)，則購買8型機(jī)器人(40-m)臺(tái).

根據(jù)題意，得40-mW3m,

解得m>10.

設(shè)共花費(fèi)w元，則w=0.8X500m+0.8x300(40—m)=160m+9600,

0fc=160>0,

回卬隨機(jī)的減小而減小,

0m>10,

回當(dāng)m=10時(shí)，w值最小.

w最小=160x10+9600=11200,

40-10=30（臺(tái)）.

答：購買A型機(jī)器人10臺(tái)、3型機(jī)器人30臺(tái)時(shí)花費(fèi)最少，最少花費(fèi)是11200元.

2.（2025?遼寧盤錦?一模）據(jù)燈塔專業(yè)版數(shù)據(jù)，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童鬧?！房偲狈窟_(dá)123.2

億元，登頂全球動(dòng)畫電影票房榜，是亞洲首部票房過百億的影片，并創(chuàng)造了全球單一電影市場(chǎng)最高票

房紀(jì)錄.該片來源于哪吒鬧海的傳統(tǒng)故事，但又重塑了全新的"魔童"哪吒形象：表面吊兒郎當(dāng)，實(shí)則勇

敢堅(jiān)毅，強(qiáng)烈反差引發(fā)情感共鳴；"我命由我不由天”的不屈精神，讓觀眾淚目.為滿足兒童對(duì)哪吒的喜

愛，某玩具店決定各用300元購進(jìn)了4、B兩種哪吒玩偶.已知一個(gè)B種哪吒玩偶是一個(gè)4種玩偶價(jià)格的

2倍，且購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè).

AR

（1）求購進(jìn)力、B兩種哪吒玩偶的單價(jià)各是多少元？

⑵因銷售效果不錯(cuò)，該玩具店決定再次購進(jìn)力、B兩種哪吒玩偶共80個(gè)，且4種哪吒玩偶的數(shù)量不多于

8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，問此次購進(jìn)最少要花多少錢？

【答案】（1）A種哪吒玩偶單價(jià)是30元，B種哪吒玩偶單價(jià)是60元

（2）3000元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式.

（1）設(shè)購進(jìn)A種哪吒玩偶的單價(jià)是x元，則購進(jìn)8種哪吒玩偶的單價(jià)是次元，利用數(shù)量=總價(jià)+單價(jià),

結(jié)合購進(jìn)兩種玩偶的數(shù)量共15個(gè)，可列出關(guān)于尤的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后，可得出x的值（即購進(jìn)

A種哪吒玩偶的單價(jià)），再將其代入2x中，即可求出購進(jìn)8種哪吒玩偶的單價(jià)；

（2）設(shè)購進(jìn)A種哪吒玩偶a個(gè)，則購進(jìn)8種哪吒玩偶（80-a）個(gè)，根據(jù)購進(jìn)A種哪吒玩偶的數(shù)量不多

于8種哪吒玩偶數(shù)量的3倍，可列出關(guān)于。的一元一次不等式，解之可得出。的取值范圍，設(shè)該玩具

店再次購進(jìn)A、2兩種哪吒玩偶共花費(fèi)w元，利用總價(jià)=單價(jià)x數(shù)量，可找出w關(guān)于。的函數(shù)關(guān)系式，再

利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題.

【詳解】（1）解：設(shè)A種哪吒玩偶的單價(jià)為x元，則2種哪吒玩偶的單價(jià)為2x元.

根據(jù)題意，得：—+—=

x2x15

解得：%=30

經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原分式方程的解

?,'B種：2X30=60兀

答：A種哪吒玩偶單價(jià)是30元，B種哪吒玩偶單價(jià)是60元.

(2)解：設(shè)購進(jìn)A種哪吒玩偶a個(gè)，則購進(jìn)2種哪吒玩偶(80-a)個(gè)

根據(jù)題意，得：0<aW3(80—a)

解得：0<aW60

花費(fèi)y=30a+60(80-a)

整理，得：y=-30a+4800

0-30<0,當(dāng)0<久W60時(shí)，y隨x的增大而減小

回當(dāng)a=60時(shí)，ymin=3000元

答：此次購進(jìn)最少要花3000元.

3.(2025?山東煙臺(tái)?一模)"低碳生活，綠色出行”的理念已逐漸深入人心，某自行車專賣店有A,B兩種規(guī)

格的自行車，4型車的售價(jià)為。元/輛，B型車的售價(jià)為萬元/輛，該專賣店十月份前兩周銷售情況如下：

A型車銷售(輛)2型車銷售量(輛)總銷售額(元)

第一周101236600

第二周121545000

(1)求a,b的值；

(2)已知一輛A型車比一輛2型車進(jìn)價(jià)少花300元，老板在第三個(gè)周進(jìn)貨時(shí)，用48000元購進(jìn)A型自行

車數(shù)量與用60000元購進(jìn)B型自行車數(shù)量相等，求A、2兩種的自行車進(jìn)貨單價(jià)分別是多少元？

⑶若計(jì)劃第四周售出A、B兩種型號(hào)自行車共25輛，其中8型車的銷售量大于A型車的銷售量，且不

超過A型車銷售量的2倍，該專賣店售出A型、B型車各多少輛才能使第四周總銷售額最大，最大總

銷售額是多少元？

【答案】(嚙二疏

(2)A型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1200元，B型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1500元

⑶該專賣店第三周售出A型車9輛，8型車16輛，銷售總額為最大，為42300元

【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，分式方程的實(shí)際應(yīng)用，

一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意列出方程，不等式和函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)第一周和第二周的銷售額建立方程組求解即可；

(2)設(shè)8型車進(jìn)價(jià)每輛x元，則A型車進(jìn)價(jià)每輛(X-300)元，根據(jù)用48000元購進(jìn)A型自行車數(shù)量與

用60000元購進(jìn)B型自行車數(shù)量相等建立方程求解即可；

(3)設(shè)該專賣店第三周售出A型車m輛，8型車(25-m)輛，銷售總額為w元，分別求出售出A型車

和8型車的銷售額，二者求和可得w關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，再列不等式求出他的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)

一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】⑴解：由題意得｛第常湍,

解得.(a=150°

tb=1800

(2)解：設(shè)8型車進(jìn)價(jià)每輛x元，則A型車進(jìn)價(jià)每輛(x-300)元,

根據(jù)題意得4800060000

X-300X

解得：%=1500

經(jīng)檢驗(yàn)x=1500是原分式方程的解.

x-300=1200(元)

答：A型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1200元，B型號(hào)一輛進(jìn)價(jià)為1500元.

(3)解：設(shè)該專賣店第三周售出A型車ni輛，2型車(25-zn)輛，銷售總額為w元,

由題意得：w=1500m+1800(25—m)=-300m+45000,

由m<25—m<2m,解得g<m<y,

m取整數(shù)，m=9,10,11,12,

回w隨著m的增大而減小,

回當(dāng)?n=9時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=42300(元).

答：該專賣店第三周售出A型車9輛，B型車16輛，銷售總額為最大，為42300元.

4.(2025?廣東深圳?二模)綜合實(shí)踐

背隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機(jī)越來越多應(yīng)用于實(shí)際生活，為人們的生

景活帶來了便利.

某農(nóng)業(yè)公司預(yù)購進(jìn)A,3兩種型號(hào)的植保無人機(jī)用來噴灑

素農(nóng)藥，A型機(jī)比8型機(jī)平均每小時(shí)少噴灑2公頃農(nóng)田，4

材型機(jī)噴灑40公頃農(nóng)田所用時(shí)間與B型機(jī)噴灑50公頃農(nóng)田

1所用時(shí)間相等.

素若農(nóng)業(yè)公司共購進(jìn)20架無人機(jī)，A型無人機(jī)5萬元/架，8型無人機(jī)6萬元/架.

材

2

問題解決

任A,2兩種型號(hào)無人機(jī)平均每小時(shí)分別噴灑多少公頃地?

務(wù)

1

任若公司要求這批無人機(jī)每小時(shí)至少噴灑180公頃農(nóng)田，那么該公司如何購買A型和

務(wù)B型無人機(jī)，才能使總成本最低？并求出最低成本.

2

【答案】任務(wù)1：A型無人機(jī)每小時(shí)噴灑8公頃，8型無人機(jī)每小時(shí)噴灑10公頃；任務(wù)2：采購A型無

人機(jī)10臺(tái)，B型機(jī)10臺(tái)時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為110萬元

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出分式方程和一次函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1,設(shè)A型無人機(jī)每小時(shí)送噴灑x公頃，則3型每小時(shí)噴灑(x+2)公頃，列分式方程求解即可；

任務(wù)2,設(shè)A型無人機(jī)。臺(tái)，則3型無人機(jī)(20-a)臺(tái)，總費(fèi)用為w萬元，根據(jù)題意得

8a+10(20—a)>180,求出a<10；w=5a+6(20—a)=—a+120,當(dāng)a=10,w最小=—10+

120=110(萬元)，此時(shí)B型無人機(jī)=20-10(臺(tái)).

【詳解】解：任務(wù)1，設(shè)A型無人機(jī)每小時(shí)送噴灑x公頃，則2型每小時(shí)噴灑(x+2)公頃

由題意可得：”=鳥

xx+2

解得：%=8

經(jīng)檢驗(yàn)：久=8是原分式方程的根，

答：A型無人機(jī)每小時(shí)噴灑8公頃，B型無人機(jī)每小時(shí)噴灑10公頃.

任務(wù)2,設(shè)A型無人機(jī)。臺(tái)，則2型無人機(jī)(20-a)臺(tái)，總費(fèi)用為卬萬元，

由題意可知：8a+10(20—a)2180

解得：aW10

w=5a+6(20—a)=-a+120

0-1<0,

Elw隨a的增大而減小，

回當(dāng)a=10,w最小=-10+120=110(萬元)

此時(shí)8型無人機(jī)=20-10(臺(tái)).

答：采購A型無人機(jī)10臺(tái)，B型機(jī)10臺(tái)時(shí)總費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為"0萬元.

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?真題感知

1.(2024?四川雅安?中考真題)已知冬+工=l(a+bK0).則*=()

aba+b

A.-B.1C.2D.3

2

【答案】c

【分析】本題考查的是條件分式的求值，由條件可得2b+a=ab,再整體代入求值即可;

【詳解】解：屋+《=i(a+6A0),

ab

團(tuán)2b+a=ab,

^a+ab

回---

a+b

a+a+2b

a+b

2（a+b）

a+b

=2；

故選C

2.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）已知關(guān)于x的分式方程旦-2=三無解，則上的值為（）

x-33-x

A.fc=2或k=-1B.k=-2C.k=2或k=1D.k=-1

【答案】A

【分析】本題考查了解分式方程無解的情況，理解分式方程無解的意義是解題的關(guān)鍵.先將分式方程去

分母，化為整式方程，再分兩種情況分別求解即可.

【詳解】解：去分母得，kx-2（x-3）=-3,

整理得，（攵―2）%=-9,

當(dāng)k=2時(shí)，方程無解，

當(dāng)kH2時(shí)，令％=3,

解得k=-1,

所以關(guān)于X的分式方程二一2=合-無解時(shí)，卜=2或々=一1.

x-33-x

故選：A.

3.（2024?安徽?中考真題）若分式七有意義，則實(shí)數(shù)X的取值范圍是

x-4

【答案】XH4

【分析】本題主要考查分式有意義的條件.根據(jù)分式有意義的條件:分式的分母不能為0,得到比-4A0,

據(jù)此求解即可.

【詳解】解：回分式上有意義，

x-4

回％—4W0,即久W4.

故答案為：

4X—1.y

—至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

{2（%+1）>—%+a

餐=2-2的解為非負(fù)整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和為.

y-11-y

【答案】16

【分析】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組.先解不等式組，根據(jù)關(guān)于％的一元一次

不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解,確定a的取值范圍a<8,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,解得y=等,

由分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，確定a的取值范圍a22且aK4,進(jìn)而得到2WaW8且a力4,根據(jù)范圍確

定出a的取值，相加即可得到答案.

r型八鏟甘。+1①

【詳角?！拷桥＃篔3,

2(%+1)>—x+a②

解①得：x<4,

解②得:久2詈，

,??關(guān)于萬的一元一次不等式組至少有兩個(gè)整數(shù)解,

二.等W2,

解得Q<8,

解方程W=2-2，得丫=?，

y-11-yJ2

???關(guān)于y的分式方程的解為非負(fù)整數(shù)，

等2。且等片1,a—2是偶數(shù)，

解得aN2且a74,a是偶數(shù)，

???2<a<8且aW4,。是偶數(shù)，

則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是2+6+8=16,

故答案為：16.

5.(2024?黑龍江大慶?中考真題)先化簡(jiǎn)，再求值：(1+旦)+一三，其中％=—2.

\X-37x2-6x+9

【答案】2，-2

x+3

【分析】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值.原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)

利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，把尤的值代入計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：(1+W)十金

/x-33\(x+3)(%—3)

\x—3x—3/(x—3)2

xx—3

x—3%+3

__X

-%+3，

當(dāng)％=—2時(shí)，原式=——=—2.

—2+3

6.(2024?山東日照?中考真題)【問題背景】2024年4月23日是第18個(gè)"世界讀書日"，為給師生提供更加

良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍.

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有4B兩種書架可供選擇，A種書架的單價(jià)比8種書架單價(jià)高20%；

素材二：用18000元購買A種書架的數(shù)量比用9000元購買2種書架的數(shù)量多6個(gè);

素材三：A種書架數(shù)量不少于8種書架數(shù)量的泉

【問題解決】

(1)問題一：求出4B兩種書架的單價(jià)；

(2)問題二：設(shè)購買a個(gè)A種書架，購買總費(fèi)用為w元，求w與。的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的

購買方案；

⑶問題三：實(shí)際購買時(shí)，商家調(diào)整了書架價(jià)格，A種書架每個(gè)降價(jià)機(jī)元，8種書架每個(gè)漲價(jià)1小元，按

問題二的購買方案需花費(fèi)21120元，求機(jī)的值.

【答案】①1200元；1000元

(2)w=200a+20000(a>8)；購買A種書架8個(gè)，3種書架12個(gè)

(3)120

【分析】本題考查運(yùn)用分式方程，一次函數(shù)，一元一次方程解決實(shí)際問題.

(1)設(shè)8種書架的單價(jià)為x元，則A種書架的單價(jià)為(1+20%)無元，用18000元購買A種書架石愣立

個(gè)，用9000元購買8種書架理個(gè)，根據(jù)素材一即可列出方程，求解并檢驗(yàn)即可解答；

X

(2)根據(jù)總費(fèi)用=A種書架的總費(fèi)用+8種書架的總費(fèi)用即可列出函數(shù)，根據(jù)資料三求出自變量”的

取值范圍，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性即可求出總費(fèi)用的最小值;

(3)根據(jù)總費(fèi)用=A種書架的總費(fèi)用+8種書架的總費(fèi)用列出一元一次方程，求解即可解答.

【詳解】(1)解：設(shè)8種書架的單價(jià)為x元，則A種書架的單價(jià)為(1+20%)久元.

180009000,

由題意得=6,

(1+20%)%x

解得x=1000,

經(jīng)檢驗(yàn)，％=1000是分式方程的解，且符合題意,

???(1+20%)x=1200.

答：4B兩種書架的單價(jià)分別為1200元，1000元.

(2)解：購買a個(gè)A種書架時(shí)，購買總費(fèi)用w=1200a+1000(20—a),

即w=200a+20000,

由題意得，。應(yīng)滿足：a2|(20—a),解得a28.

200>0,

Ew隨著a的增大而增大，

當(dāng)a=8時(shí)，w的值最小，最小值為200x8+20000=21600,

.,?費(fèi)用最少時(shí)購買A種書架8個(gè)，8種書架12個(gè).

(3)解：由題意得

(1200-m)x8+(1000+(m)x12=21120,

解得m=120.

7.(2024?四川雅安?中考真題)某市為治理污水，保護(hù)環(huán)境，需鋪設(shè)一段全長為3000米的污水排放管道，

為了減少施工對(duì)城市交通所造成的影響，實(shí)際施工時(shí)每天的工效比原計(jì)劃增加25%,結(jié)果提前15天完

成鋪設(shè)任務(wù).

⑴求原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各多少米？

（2）負(fù)責(zé)該工程的施工單位，按原計(jì)劃對(duì)工人的工資進(jìn)行了初步的預(yù)算，工人每天人均工資為300元,

所有工人的工資總金額不超過18萬元，該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排多少名工人施工？

【答案】（1）原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米

⑵該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工

【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，以及一元一次不等式的應(yīng)用，弄清題意是解本題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道（l+25%）x,根據(jù)原計(jì)劃的時(shí)間=實(shí)際的

時(shí)間+15列出方程，求出方程的解即可得到結(jié)果；

（2）設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量+工作效率計(jì)算出原計(jì)劃的工作天

數(shù)，進(jìn)而表示出所有工人的工作總額，由所有工人的工資總金額不超過18萬元列出不等式，求出不等

式的解集，找出解集中的最大整數(shù)解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米，則實(shí)際施工每天鋪設(shè)管道（1+25%）比=1.25x米，

rpt-Lpzigpr一方日3000yl3000

根據(jù)題息得：五+15=丁,

解得：x=40,

經(jīng)檢驗(yàn)x=40是分式方程的解，且符合題意，

01.25%=50,

則原計(jì)劃與實(shí)際每天鋪設(shè)管道各為40米，50米；

（2）解：設(shè)該公司原計(jì)劃應(yīng)安排y名工人施工，3000-40=75（天）,

根據(jù)題意得：300X75y<180000,

解得：y<8,

團(tuán)不等式的最大整數(shù)解為8,

則該公司原計(jì)劃最多應(yīng)安排8名工人施工.

8.（2024?廣西?中考真題）綜合與實(shí)踐

在綜合與實(shí)踐課上，數(shù)學(xué)興趣小組通過洗一套夏季校服，探索清洗衣物的節(jié)約用水策略.

【洗衣過程】

步驟一：將校服放進(jìn)清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后擰干；

步驟二：將擰干后的校服放進(jìn)清水中，充分漂洗后擰干.重復(fù)操作步驟二，直至校服上殘留洗衣液濃

度達(dá)到洗衣目標(biāo).

假設(shè)第一次漂洗前校服上殘留洗衣液濃度為0.2%,每次擰干后校服上都?xì)埩?.5kg水.

濃度關(guān)系式：4后=布焉.其中d前、d后分別為單次漂洗前、后校服上殘留洗衣液濃度；卬為單次漂洗

所加清水量（單位：kg）

【洗衣目標(biāo)】經(jīng)過漂洗使校服上殘留洗衣液濃度不高于0.01%

【動(dòng)手操作】請(qǐng)按要求完成下列任務(wù)：

⑴如果只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要多少清水？

(2)如果把4kg清水均分，進(jìn)行兩次漂洗，是否能達(dá)到洗衣目標(biāo)？

⑶比較(1)和(2)的漂洗結(jié)果，從洗衣用水策略方面，說說你的想法.

【答案】⑴只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

⑵進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；

⑶兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí)

【分析】本題考查的是分式方程的實(shí)際應(yīng)用，求解代數(shù)式的值，理解題意是關(guān)鍵；

0.5d加

(1)把d尸=0.01%,d前=。.2%代入4尸=—~再解方程即可；

后刖后0.5+w

(2)分別計(jì)算兩次漂洗后的殘留洗衣液濃度，即可得到答案；

(3)根據(jù)(1)(2)的結(jié)果得出結(jié)論即可.

0.5%

【詳解】(1)解：把d后=0.01%,d前=0.2%代入d后=指得

得0.01%=°,5x0,2%,

0.5+w

解得w=9.5.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；

國只經(jīng)過一次漂洗，使校服上殘留洗衣液濃度降為0.01%,需要9.5kg清水.

(2)解：第一次漂洗：

把w=2kg,d前=0.2%代入4后=言削

0.5X0.2%

回d后=0.04%,

0.5+2

第二次漂洗:

把w=2kg,d前=0.04%代入d后=國5

0.5X0.04%

Hid后==0.008%,

0.5+2

而0.008%<0.01%,

團(tuán)進(jìn)行兩次漂洗，能達(dá)到洗衣目標(biāo)；

(3)解：由(1)(2)的計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：經(jīng)過兩次漂洗既能達(dá)到洗衣目標(biāo)，還能大幅度節(jié)約用水，

回從洗衣用水策略方面來講，采用兩次漂洗的方法值得推廣學(xué)習(xí).

9.(2024?重慶?中考真題)某工程隊(duì)承接了老舊小區(qū)改造工程中1000平方米的外墻粉刷任務(wù)，選派甲、乙

兩人分別用力、B兩種外墻漆各完成總粉刷任務(wù)的一半.據(jù)測(cè)算需要力、B兩種外墻漆各300千克，購買

外墻漆總費(fèi)用為15000元，已知2種外墻漆每千克的價(jià)格比B種外墻漆每千克的價(jià)格多2元.

⑴求4B兩種外墻漆每千克的價(jià)格各是多少元？

(2)已知乙每小時(shí)粉刷外墻面積是甲每小時(shí)粉刷外墻面積的點(diǎn)乙完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任

務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí).問甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是多少平方米？

【答案】(1)4種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，貝種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

(2)甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

【分析】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，理解題意建立方程是解本題的關(guān)鍵；

(1)設(shè)4種外墻漆每千克的價(jià)格為x元，貝種外墻漆每千克的價(jià)格為(x-2)元，再根據(jù)總費(fèi)用為15000

元列方程求解即可；

(2)設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是gy平方米；利用乙完成粉刷任

務(wù)所需時(shí)間比甲完成粉刷任務(wù)所需時(shí)間多5小時(shí).從而建立分式方程求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)4種外墻漆每千克的價(jià)格為x元，貝UB種外墻漆每千克的價(jià)格為(％-2)元，

0300%+300(%-2)=15000,

解得：x=26,

回％—2=24,

答：4種外墻漆每千克的價(jià)格為26元，B種外墻漆每千克的價(jià)格為24元.

(2)設(shè)甲每小時(shí)粉刷外墻面積為y平方米，則乙每小時(shí)粉刷外墻面積是gy平方米；

L.500_500

%——5=—，

py

解得：y=25,

經(jīng)檢驗(yàn)：y=25是原方程的根且符合題意，

答：甲每小時(shí)粉刷外墻的面積是25平方米.

?提升專練

1.(2024?重慶九龍坡?模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的不等式組5有且只有3個(gè)偶數(shù)解，且關(guān)于y的分

式方程管-義=1的解為正數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為

y-2y+2

【答案】-7

【分析】本題考查分式方程的解，不等式組的解，解關(guān)于x的不等式組，根據(jù)其解的情況確定a的取值范

圍；解關(guān)于y的分式方程，根據(jù)其解的情況確定a的取值范圍，從而確定符合條件的所有整數(shù)a的值并求

和即可.掌握分式方程、一元一次不等式及不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：，XT1二藝，

1—3%+a<2(2)

解不等式①得：x<4,

解不等式②得：久〉等，

0—<x<4,

3

回不等式組有且只有3個(gè)偶數(shù)解，

0-2W等<0,

0-4<a<2；

牌—旦=1,

y-2y+2

在方程兩邊同乘以(y+2)(y-2),得：

(y+a)(y+2)-a(y-2)=(y+2)(y-2),

解得：y--2(a+1),

團(tuán)分式方程的解為正數(shù)，

El—2(a+1)>0,

回a<-1,

回y=2或-2是分式方程的增根，

團(tuán)aH0或aW—2,

團(tuán)一4<a<—1且a*—2,

國a為整數(shù)，

團(tuán)a可以是-4,-3,

團(tuán)―4—3=-7,

團(tuán)符合條件的所有整數(shù)a的和為-7.

故答案為：-7.

2.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于工的方程3=白的解為非負(fù)數(shù)，則M的取值范圍是.

x-l1-X

【答案】m>—3且THW—1

【分析】本題主要考查解分式方程，分式方程的解，解一元一次不等式，先解出方程￡-3=3的解

x-l1-x

為久=等，再根據(jù)題意列出不等式知等20且等力1,最后求解即可，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的

關(guān)鍵.

【詳解】解：￡-3=看，

x-l1-x

團(tuán)m—3（%—1）=—%,

團(tuán)m—3x+3=-x,

回％=——771+3,

2

由題意可知等Z0且等W1,

解得m>一3且THH-1,