專題1數(shù)字問題

小升初數(shù)學思維拓展數(shù)論問題專項訓練

(知識梳理+典題精講+專項訓練)

知的梳理

1、數(shù)字問題的主要題型。

數(shù)字問題是研究有關數(shù)字的特殊結(jié)構(gòu)、特殊關系以及數(shù)字運算中變換問題的一類問題，相對

來說，難度較大.通常情況下題目會給出某個數(shù)各個位數(shù)關系，求這個數(shù)為多少.

2、核心知識。

(1)數(shù)字的拆分。

是將一個數(shù)拆分成幾個因數(shù)相乘或者相加的形式，經(jīng)常需要綜合應用整除性質(zhì)、奇偶性質(zhì)、

因式分解、同余理論等.

(2)數(shù)字的排列與位數(shù)關系。

解答數(shù)字的排列與位數(shù)關系時，經(jīng)常需要借助于首尾數(shù)法進行考慮、判斷，同時可以利用列

方程法、代入法、假設法等一些方法，進行快速求解.

].

典敦幡餅

A.9B.120.15D.28

【分析】根據(jù)“完美數(shù)”的定義，可將下列選項中的數(shù)寫出符合要求的因數(shù)，進行計算，即

可得出答案.

因此只有。項符合題意.

故選：D.

【點評】此題主要考查的是如何尋找一個數(shù)的因數(shù)的方法的靈活應用.

【典例二】在某小區(qū)為業(yè)主舉辦的元旦晚會上，主持人為業(yè)主們準備了一個游戲：從300個

外形相同的福袋中找到唯一裝有獎品的福袋，主持人將這些福袋按1至300的順序編號排

成一列，第一次先請一位業(yè)主從中取出所有序號為單數(shù)的球，均沒有發(fā)現(xiàn)獎品，接著主持人

將剩下的福袋又按1至150重新編號排成一列(即原來的2號變?yōu)?號，原來的4號變?yōu)?

號，...，原來的300號變?yōu)?50號)，又請一位業(yè)主從中取出所有新序號為單數(shù)的球，也

沒有發(fā)現(xiàn)獎品，，如此下去，直到最后一個福袋是裝有獎品的，那么這個裝有獎品的福

袋最初的序號是。

【答案】256o

【分析】從簡單入手，找到第〃次余下的原編號為2"的倍數(shù)，再找著2"的倍數(shù)只有1個時

“為幾，此時的結(jié)果就是最初的編號。據(jù)此解答。

第〃次余下的數(shù)為2"的倍數(shù)。

所以，最初福袋的序號是256。

故答案為：256?

【點評】此題主要考查了推理論證，根據(jù)題意，分析每次取出的序號是后剩下的氣球的序號，

就能知道裝有獎品的氣球最初的序號。

【典例三】娟皇宮是神話傳說中女娟“煉石補天、拉土造人”的地方，每年農(nóng)歷三月初一至

三月十八為當?shù)氐膹R會，全國各地的人都會來娟皇宮朝拜女娟。娟皇宮景區(qū)為了方便游客，

打算在三個重要地點增設不同數(shù)量的垃圾箱，如果三個地點增設的垃圾箱數(shù)量恰好是三個連

續(xù)的自然數(shù)，且它們的積是210,你知道三個地點增設的垃圾箱數(shù)量分別是多少個嗎？

【答案】5個，6個，7個。

【分析】根據(jù)自然數(shù)的排列規(guī)律，相鄰的自然數(shù)相差1,首先把210分解質(zhì)因數(shù)，然后根據(jù)

題意再把210的質(zhì)因數(shù)作適當?shù)恼{(diào)整計算即可。

【解答】解：把210分解質(zhì)因數(shù)：

答：三個地點增設的垃圾箱數(shù)量分別是5個，6個，7個。

【點評】此題主要根據(jù)分解質(zhì)因數(shù)的方法把質(zhì)因數(shù)作適當?shù)恼{(diào)整去解決問題。

專項制秣I

一.選擇題（共8小題）

1.從1寫到100,一共寫了（）個4。

A.11B.21C.20

A.495B.497C.501D.503

3.小矮人開寶箱，寶箱上的密碼是223口，密碼既是2的倍數(shù)，又是3的倍數(shù)。請你幫小

矮人破解密碼，這個寶箱的密碼是（)

A.2230B.2234C.2236D.2238

4.有一路公共汽車，包括起點站和終點站在內(nèi)共10個停車點.如果一輛公共汽車從起點站

開出，除終點站外，每一站上車的乘客中恰好各有一位從這一站到以后的每一站下車.為了

使每位乘客都有座位，那么這輛車至少需要（）個座位？

A.15B.16C.25D.26

A.28B.15C.12

A.8B.9C.10

7.有一個搶數(shù)游戲，其規(guī)則是兩人輪流報數(shù)，每次可以報1個、2個、3個、4個數(shù)，但不

許不報也不許多報.如果第一個人報1,2或1,2,3,第二個人接著往下報，然后第一個人

再接著往下報，以此類推，那么第一個人第一次應該報（）才可能穩(wěn)搶到2014.

A.1B.1,2C.1,2,3D.1,2,3,4

8.一個三位數(shù)，它的反序數(shù)也是一個三位數(shù)，用這個三位數(shù)減去它的反序數(shù)得到的差不為

0,而且是4的倍數(shù).那么，這樣的三位數(shù)有（）個.

A.2B.300.60D.50

二.填空題（共8小題）

10.如圖是一個正方體，已知相對的兩個面數(shù)字之和為7,若規(guī)定側(cè)面2的外側(cè)為前方，將

正方體先向后翻15次，再向右翻30次，則此時正方體上面的數(shù)字是.

0

11.有一個十八位數(shù)200103016987819002,現(xiàn)在不改變這些數(shù)字的順序，從中去掉13個數(shù)

字，剩下的5個數(shù)字能組成的最大的數(shù)是0

12.將2017進行如下操作；每次操作將這個數(shù)末兩位數(shù)字的乘積寫在這個數(shù)的后面.例如：

對2017進行3次操作，結(jié)果將依次得到20177、2017749、201774936,那么，如果對2017

進行57次操作，操作后所得到結(jié)果的末兩位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)是.

13.一個三位數(shù)，它的各位數(shù)字之和是4,這樣的三位數(shù)中，最大的是，最小的是o

14.有一個七位數(shù)，各位上數(shù)字之和是55,這個數(shù)如果加上2就會得到一個新的七位數(shù)，

這時這個新數(shù)的各位上數(shù)字之和是3,原來的數(shù)是.

15.用1,2,3,4這4個數(shù)字任意寫出一個一萬位數(shù)，從這個一萬位數(shù)中任意截取相鄰的

4個數(shù)字，可以組成許許多多的四位數(shù)，這些四位數(shù)中，至少有個相同。

16.小甬的電話號碼是一個五位數(shù)，它由五個不同的數(shù)字組成。小真說：“它是84261。”

小潮說：“它是26048?！毙∠f：“它是49280?！毙○f：“誰說的某一位上的數(shù)字與

我的電話號碼上的同一位數(shù)字相同，就算誰猜對這個數(shù)字?，F(xiàn)在你們每人都猜對了位置不相

鄰的兩個數(shù)字?！边@個電話號碼是。

三.解答題(共14小題)

17.有三個數(shù)字，用他們可以組成六個不同的三位數(shù)的和是3330,其中最大的三位數(shù)是多

少？

18.(1)把1,1,2,2,3,3排成一行，使得兩個1之間恰有一個數(shù)，兩個2之間恰有兩

個數(shù)，兩個3之間恰有三個數(shù).

(2)把1,1,2,2,3,3,4,4排成一行，使得兩個1之間恰有一個數(shù)，兩個2之間恰有

兩個數(shù)，兩個3之間恰有三個數(shù)，兩個4之間恰有4個數(shù).

(3)能否把1,1,2,2,3,3,4,4,5,5排成一行，使得兩個1之間恰有一個數(shù)，兩個

2之間恰有兩個數(shù)，兩個3之間恰有三個數(shù)，兩個4之間恰有4個數(shù)，兩個5之間恰有5個

數(shù)？

19.湖里有一只船，船上坐著穿紅色、黃色、綠色衣服的人.小剛把穿三種顏色的人數(shù)相加,

小紅把他們的人數(shù)相乘，得數(shù)都一樣，船上有幾人？

20.一個布袋里裝了一些玻璃球，第一次拿一個、第二次拿二個…這樣每一次都比前一次多

拿一個，拿了8次以后，還剩下2個玻璃球，這個布袋里一共裝了多少個玻璃球？

21.一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字和是15,百位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大5,個位上的數(shù)

字是十位上數(shù)字的3倍，則這個三位數(shù)是多少？

22.2001位學生排成一行，從排頭到排尾分別以1、2、3；1、2、3；…報數(shù).然后從排尾

到排頭分別以1、2、3、4；1、2、3、4；…報數(shù).試問有多少位學生在這二次報數(shù)中都報

1?

24.一個四位數(shù)，千位上的數(shù)字是個位上數(shù)字的6倍，百位上的數(shù)字等于千位上的數(shù)字與個

位上的數(shù)字的差，十位上的數(shù)字等于千位上的數(shù)字與個位上的數(shù)字的和，這個數(shù)是多少.

25.有一個三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)是從小到大排列的三個連續(xù)自然數(shù)，這個三位數(shù)除以6所

得的商，比這個三位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置所得的新三位數(shù)少389.求出原來的

三位數(shù).

26.在黑板上3個整數(shù)，每次操作擦去其中一個，換成其他兩數(shù)加1,這樣一直操作，最后

得到41,43,45,問原來寫的3個整數(shù)能否為2,4,6?

27.盒子里放有編號為1到9的9個球，杰克先后3次從盒中共取出8個球，如果第2次取

出的球的編號之和是第1次的2倍，第3次是第2次的2倍，那么未取出的球的編號是幾？

第3次最多取出幾個球？

28,每一次都可將黑板上所寫的數(shù)加倍或者擦去它的末位數(shù).假定一開始所寫的數(shù)為458.那

么，可怎樣經(jīng)過幾次所述的變化來得到14?

29.把100這個數(shù)分成四個整數(shù)的和，使第一個數(shù)加上4,第二個數(shù)減去4,第三個數(shù)乘4,

第四個數(shù)除以4,所得的和、差、積、商都相等，這四個數(shù)分別是多少？

30.有10個連續(xù)的兩位數(shù)，按從小到大的順序從左到右排成一行，其中每一個兩位數(shù)的兩

個數(shù)字的和都能被它所排的序號整除（即序號"能整除第九個兩位數(shù)的數(shù)字和）.那么.這

10個兩位數(shù)中，最大的兩位數(shù)的兩個數(shù)字的和是多少？

參考答案

選擇題（共8小題）

1.【答案】C

【分析】根據(jù)題意，個位是4的數(shù)有10個，十位是4的有10個，然后把個數(shù)相加即可。

答：從1寫到100,一共寫了20個4。

故選：Co

【點評】本題主要考查數(shù)字問題，關鍵注意4在哪個數(shù)位上，并且分別知道4在個位和十位

的個數(shù)。

2.【答案】A

【分析】按照題目給的條件把數(shù)字列出來找規(guī)律即可?；熘芷趩栴}：（總周期長-混周期數(shù)）

一周期長度=周期個數(shù)...余數(shù)，余幾就從一個完整周期開始數(shù)幾個。

這個多位數(shù)前100位的所有數(shù)字之和：

故選：Ao

【點評】此題考查混周期問題，及周期的求和。需找出數(shù)字的規(guī)律才是解題的關鍵。

3.【答案】D

【分析】是2的倍數(shù)，說明密碼的個位數(shù)是偶數(shù)，是3的倍數(shù)，說明密碼各個數(shù)位上的數(shù)字

之和是3的倍數(shù)，據(jù)此即可解答。

故選：D。

【點評】本題主要考查學生對2、3倍數(shù)特征的掌握和靈活運用。

【解答】解：據(jù)題意可知，到第五站時，人數(shù)達到最多，此時車上有：

故選：C.

【點評】通過分析題意得出每一站上車人數(shù)與下車人數(shù)的規(guī)律是完成本題的關鍵.

5.【答案】A

【分析】根據(jù)“完美數(shù)”的定義，可將下列選項中的數(shù)寫出符合要求的因數(shù)，進行計算，即

可得出答案。

因此只有A項符合題意.

故選：A-

【點評】此題主要考查的是如何尋找一個數(shù)的因數(shù)的方法的靈活應用.

6.【答案】B

【分析】根據(jù)題意，這個兩位數(shù)的個位上是0,十位上可以是1~9中的任何一個數(shù)字。

【解答】解：100以內(nèi)個位上是0的兩位數(shù)有：10、20、30、40、50、60、70、80、90；一

共有9個。

故選：Bo

【點評】解答本題關鍵是結(jié)合數(shù)位知識，確定十位上的數(shù)字。

7.【分析】最多可以報4個，最少報1個，用2014除以5等于402次余下4個，開始報4

個數(shù)即1、2、3、4,還剩2010個數(shù)，每次根據(jù)第二個人報的數(shù)量，湊成5個數(shù)，保證剩下

的數(shù)是5個的倍數(shù)即可搶到2014,據(jù)此選擇即可.

【解答】解：最多可以報4個，最少報1個，

開始報4個數(shù)即1、2、3、4,還剩2010個數(shù)，

每次根據(jù)第二個人報的數(shù)量，湊成5個數(shù)，

保證剩下的數(shù)是5個的倍數(shù)即可搶到2014,

所以第一個人第一次應該報1、2、3、4才可能穩(wěn)搶到2014.

故選：D.

【點評】用2014除以5等于402次余下4個，得出開始報4個數(shù)即1、2、3、4是解題關

鍵.

8.【答案】C

【解答】解：設這個三位數(shù)是Me,則它的反序數(shù)為必a,可得：

所以這樣的三位數(shù)有9一1,9一5、8-4、7-3>6—2、5-1共6組，

所以這樣的三位數(shù)有60個.

故選：C。

【點評】由題意列出等式進行推理得出數(shù)的取值范圍是完成本題的關鍵.

二.填空題（共8小題）

【分析】按完全數(shù)的方法，寫出完全數(shù)的因數(shù)，然后把這些因數(shù)除了其本身的數(shù)相加即可。

【點評】根據(jù)完全數(shù)的特征，進行解答即可。

【解答】解：由于同向翻動4次，正方體狀態(tài)不變，

此時正方體1向上，2正面，3右面，將正方體先向后翻15次后，

此時正方體上面的數(shù)字應是5的對面2.

故答案為：2

【點評】此題實際操作一下更容易理解.

11.【答案】99002。

【分析】在18個數(shù)字中劃去13個數(shù)字，還剩5個數(shù)字組成五位數(shù)，要使這個五位數(shù)最大,

應當用最大的數(shù)去占最高位（萬位），18個數(shù)字中最大的9放在萬位上，萬位確定后，千

位在剩下的數(shù)中選最大的是9,而題目中要求剩下的5個數(shù)字的先后順序不改變，所以，百

位、十位、個位上的數(shù)字只能是最后三個數(shù)字0,0,2,據(jù)此解答。

【解答】解：根據(jù)題意與分析：

劃去左數(shù)9個數(shù)字和8、7、8、1,剩下的數(shù)組成的最大五位數(shù)是99002。

答：剩下的5個數(shù)字能組成的最大的數(shù)是99002。

故答案為：99002o

【點評】用不同的數(shù)字組成多位數(shù)，要使組成的數(shù)最大，應當用較大的數(shù)占較高的數(shù)位。

12.【分析】根據(jù)操作方法先找規(guī)律，結(jié)果將依次得到：20177、2017749、201774936,

20177493618、201774936188,20177493618864、2017749361886424、20177493618864248、

2017749361886424832、20177493618864248326、2017749361886424832612、

20177493618864248326122,201774936188642483261224（出現(xiàn)重復的），即8個數(shù)一循環(huán),

然后用57除以8即可.

【解答】解：20177、2017749、201774936、20177493解8、201774936188>20177493解8864、

2017749361886424,20177493618864248,2017749361886424832,20177493618864248326,

2017749361886424832612,20177493618864248326122,201774936188642483261224（出現(xiàn)

重復的），…；

除了前6個，后面6個數(shù)一循環(huán)：24、48、32、26、12、22,

余數(shù)為3,是每個周期的第3個數(shù)，即32；

所以，如果對2017進行57次操作，操作后所得到結(jié)果的末兩位數(shù)字依次組成的兩位數(shù)是

32.

故答案為：32.

【點評】此題在于考查學生總結(jié)規(guī)律的能力，關鍵是找到規(guī)律.

13.【答案】400；103o

【分析】把4拆分為三個數(shù)字的和，然后把這三個數(shù)字進行組合列舉即可解決問題。

這樣的三位數(shù)有：400、310、301、220、211、202、130、121、112、103,共10個。最大

的是400,最小的是103。

故答案為:400;103o

【點評】解答本題關鍵：是把4拆分為三個數(shù)字的和，然后結(jié)合題意分析解答即可。

【解答】解：根據(jù)題意，由所得的新的七位數(shù)的數(shù)字之和為3,可得這個新的七位數(shù)中，每

個數(shù)位中的數(shù)字只含有的是3、6個0或者是1、2、5個0,或1、1、1、4個0；

個位至少為8,十、百、千、萬、十萬位必須是9.

由分析得出：

③當只有1、1、1、4個0組成的數(shù)時沒有符合條件的數(shù)；

所以原來的數(shù)是2999998、1999999.

故答案為：2999998或1999999.

【點評】解決本題的關鍵是根據(jù)和的減少進行討論驗證.解題的難點是得到個位至少為8,

十、百、千、萬、十萬位必須是9.

15.【答案】40□

故答案為：40o

【點評】結(jié)合抽屜原理和計數(shù)問題綜合考查數(shù)字問題。屬于難題。遇到難題時，分解為一個

一個的小問題解決即可。

16.【答案】86240c

【分析】由三個號碼每人有2個正確，所以有6個正確，但是只有5位，必有某位重復；從

84261,26048,49280只有第3位上“2”重復，所以中間一定是2；小真猜對有兩個可能：

8和2,或者2和1；如果第一位8和第三位2正確，小汐就是2和0,小潮就是第2和第4

位正確，即6和4;號碼是86240。如果第三位和第五位正確，小汐就是4和2,小潮還是6

和4,號碼是46241,其中4重復，不符合“它由五個不同的數(shù)字組成”，舍去；進而得出

正確的結(jié)論。

【解答】解：因為每人猜對兩個數(shù)字，三人應該共猜對6個數(shù)字，而電話號碼只有5位，

所以必有一位數(shù)字被兩人同時猜對。

結(jié)合分析可知，猜對的是左起第三位數(shù)字2,

因為每人猜對的兩個數(shù)字不相鄰，

所以小真、小汐對的另一個數(shù)字分別在兩端。

則小潮猜對的數(shù)字是6和4,進一步推知小真猜對8,小汐猜對0。

所以，電話號碼是86240。

故答案為：86240o

【點評】此題屬于較復雜的數(shù)字邏輯推理題，抓住題中給出的條件，進行分析、推理，進而

得出所需數(shù)據(jù)，依次進行分析即可。

三.解答題(共14小題)

【解答】解：設這三個數(shù)字為A,B,C.

則A、B、C所有可能的組合為：168;159；267;258;249;357;348；

456;

其中能組成的最大的三位數(shù)為：951.

【點評】根據(jù)已知條件及數(shù)位知識列出等量關系式進行分析，得出這三個數(shù)的和是多少是完

成本題的關鍵.

18.

【分析】(1)把1,1,2,2,3,3排成一行，使得兩個1之間恰有一個數(shù)，則兩個1之間

只能為2或3其中一個，兩個2之間恰有兩個數(shù)，則兩個2之間可為必為13,兩個3之間

恰有三個數(shù)，則這三個數(shù)可由1或2組成.根據(jù)題意可這樣排列：312132.

(2)把1,1,2,2,3,3,4,4排成一行，使得兩個1之間恰有一個數(shù)，兩個2之間恰有

兩個數(shù)，兩個3之間恰有三個數(shù)，兩個4之間恰有4個數(shù)，根據(jù)規(guī)則可得兩個符合要求的數(shù)

列：41312432、23421314.

(3)題應該用反證法說明，假設可以這樣排放，則偶數(shù)占據(jù)的位置和奇數(shù)占據(jù)的位置應該

都為5個，但實際是不可能的，據(jù)此推翻假設，從而得證.

【解答】解：(1)根據(jù)規(guī)則可得數(shù)列：312132.

(2)根據(jù)規(guī)則可得數(shù)列：41312432、23421314.

(3)將10個位置按奇數(shù)位著白色，偶數(shù)位著黑色染色，于是黑白點各有5個.

假設可以排放：

因為偶數(shù)之間有偶數(shù)個位置，所以一個偶數(shù)占據(jù)一個黑點和一個白點，

奇數(shù)之間有奇數(shù)個位置，一個奇數(shù)要么都占黑點，要么都占白點.

故這種排法不可能.

【點評】問題三利用了反證法進行了證明，此題可推廣到“兩個〃之間夾著〃個數(shù)”的證法.

答：船上有6人.

【點評】觀察題干，從運算特點進行分析，可以確定數(shù)字范圍，然后經(jīng)過嘗試找到答案.

答：這個布袋里一共裝了38個玻璃球.

【解答】解：設這個三位數(shù)的十位數(shù)字是無，可得方程：

即這個三位數(shù)是：726.

答：這個三位數(shù)是726.

【點評】通過設十位數(shù)為x,根據(jù)題意列出等量關系式是完成本題的關鍵.

【解答】解：根據(jù)以上分析知：

因最后1人，從排頭報的是1,從排尾開始報的也是1,所以二次報1的人數(shù)是

答：有167位學生在這二次報數(shù)中都報1.

【點評】本題的關鍵是理解余下的人中是否有二次報1的.

所以這24個四位數(shù)中最大的一個是7543.

答：這24個四位數(shù)中最大的一個是7543.

【點評】此題為數(shù)字推理題，完成時思路要清晰，找出所給條件中的數(shù)字之間邏輯關系認真

推理，從而得出結(jié)論.

【解答】解：根據(jù)分析，這個四位數(shù)的千位上是6,百位上是5,十位上是7,個位上是1,

這個數(shù)寫作：6571；

故答案為：6571

【點評】本題是考查整數(shù)的寫法，關鍵是確定每位上的數(shù)字.

【解答】解：設原來的數(shù)為X,由題意得:

答：原來的三位數(shù)為456.

【點評】弄明白：由三個連續(xù)的自然數(shù)組成的三位數(shù)，個位數(shù)字與十位數(shù)字調(diào)換位置后減少

9,是解答此題的關鍵.

26.【分析】開始寫的2、4、6,記為（偶、偶、偶），按操作無論擦去那個數(shù)，都變?yōu)閮?/p>

偶，以后每次都得到兩偶，不可能得到像（41、43、45）這樣三奇的情形.

【解答】解：最后得到41、43、45是三個奇數(shù)；

對2、4、6這樣的偶、偶、偶型來說，

第一步，擦去一個偶數(shù)，只能寫上一個偶數(shù)，因偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù).

此時，對偶、偶、偶型的數(shù)字來說，

無論擦去哪個偶數(shù)，寫上的仍是偶數(shù)，因偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù).

即2、4、6偶、偶、偶型一旦做完第一步后，就陷入偶、偶、偶型中，永遠出不來，不可能

達到三個奇數(shù)；

所以原來寫的三個整數(shù)不能為2、4、6.

【點評】做此題要熟知奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù).

（2）要使第3次最多取出幾個球，那么前兩次就盡量少，第一只取一個，則編號是6,第

二次取兩個編號可能是4和8,或5和7,第三次所